2025-2026学年湖北省武汉市武昌实验中学高二（下）段考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖北省武汉市武昌实验中学高二（下）3月段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f′(1)=3，则Δx→0limf(1+Δx)−f(1)3ΔxA.3 B.2 C.1 D.02.已知函数f(x)=ln(2x)−f′(1)x，则f′(1)=(

)A.1 B.−1 C.12 D.3.如图所示是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的图象，下列四个结论：

①f(x)在区间(−3,1)上是增函数；

②f(x)在区间(2,4)上是减函数，在区间(−1,2)上是增函数：

③x=1是f(x)的极大值点；

④x=−1是f(x)的极小值点．

其中正确的结论是(

)A.①③ B.②③ C.②③④ D.②④4.在等比数列{an}中，a1，a5是函数f(x)=(A.2 B.−2 C.±2 D.15.若数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N∗都有A.20202019 B.20192020 C.403020216.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=6A.1

B.2

C.3

7.函数f(x)的导函数f′(x)满足2f(x)+f′(x)>2，且f(1)=2025，则不等式f(x)>1+2024e2x−2的解集是A.(1,+∞) B.(0,1) C.(1,2025) D.(2025,+∞)8.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和DA.52 B.173 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论不正确的是(

)A.(cosx)′=sinx B.(sinπ3)′=cosπ3

C.10.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于A(x1,y1)，B(A.抛物线C的焦点坐标是(2,0)

B.x1x2=4

C.若x1+x2=5，则|AB|=711.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=A.an=n(n∈N∗) B.Sn三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知方程x23+k+y22−k=1，表示焦点在y轴的椭圆，则13.已知f(x)=lnx−x−1x+1，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

．14.若对任意x>0，恒有a(eax+1)≥2(x+1x)lnx，则实数a的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在公差不为0的等差数列{an}中，a1=1，且a5是a2与a14的等比中项．

(1)求{an}的通项公式；

(2)若b16.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx−ax+1a2．

(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1e,f(1e17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，AB=2，BC=22，△PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，O，F分别是BC，PC的中点，AC与BD交于点E．

(1)求证：BD⊥平面PAO；

(2)平面OEF与直线PD交于点Q，求直线OQ与平面PCD所成角θ的大小．18.(本小题17分)

已知点F1(−5,0),F2(5,0),P(x0,y0)，且||PF1|−|PF2||=4．

(1)求点P的轨迹方程C；

(2)已知点M(m,2)，斜率为k的直线l过点M．

(i)若m=0，且直线l与曲线C只有一个交点，求k的值；

(ii)已知点19.(本小题17分)

已知函数f(x)=a(x−1)x+1−lnx．

(1)若a=1，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)若f(x)≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立，求a的取值范围；

(3)证明：1参考答案1.C

2.C

3.D

4.A

5.D

6.D

7.A

8.B

9.ABC

10.ABD

11.BCD

12.(−3,−113.x−2y−1=0

14.2e15.解：(1)设{an}的公差为d(d≠0)，因为a5是a2与a14的等比中项，所以a52=a2a14，

即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，整理得d2=2a1d.

又a1=1，d≠0，所以16.解：(1)当a=−1时，则f(x)=lnx+x+1，求导得f′(x)=1x+1，

则f′(1e)=e+1，而f(1e)=1e，

所以曲线y=f(x)在点(1e,f(1e))处的切线方程为y=(e+1)(x−1e)+1e，

即(e+1)x−y−1=0；

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=1x−a，显然a≠0，

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值；

当a>0时，由f′(x)>0，得0<x<1a；由f′(x)<0，得x>1a，

因此函数f(x)在(0,1a17.解：(1)证明：因为△PBC为正三角形，O是BC中点，所以PO⊥BC，

又因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，

所以PO⊥平面ABCD，PO⊥BD，

因为BD⋅AO=(BC+BA)⋅(12BC−BA)=12BC2−BA2=4−4=0，所以BD⊥AO，所以AO⊥BD，

又因为PO，AO在平面POA内且相交，故BD⊥平面PAO；

(2)因为E，O分别为BD，BC的中点，所以EO//DC，

又平面PDC过DC且不过EO，所以EO//平面PDC，

又平面OEF交平面PDC于QF，故EO//QF，进而QF//DC，因为F是PC中点，所以Q是PD的中点，

以O为原点，OE，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则P(0,0,6)，C(0,2,0)，D(2,2,0),Q(1,22,62)，

所以CD=(2,0,0),PC=(0,18.解：(1)因为||PF1|−|PF2||=4，且点F1(−5,0),F2(5,0)，4<25，

所以点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，且2a=2，c=5，所以b2=c2−a2=5−4=1，

所以P点的轨迹C的方程为x24−y2=1；

(2)(i)当m=0时，直线l的方程为y=kx+2．

由(1)得双曲线C的渐近线方程为y=±12x，

则当k=±12时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线C只有一个交点；

当k≠±12时，要使直线l与C只有一个交点，则l与C相切，

联立y=kx+2x2−4y2=4，消去y得(1−4k2)x2−16kx−20=0，

则Δ=256k2+80(1−4k2)=0，解得k=±52，

即k=±52时，直线l与C只有一个交点．

综上所述，当k=±12或k=±52时，直线l与双曲线C只有一个交点；

(ii)直线l的方程为y=k(x−m)+2，

联立y=k(x−m)+2x2−4y2=4，消去y得(1−4k2)x2−8k(2−mk)x−4k2m2+16km−20=0