5.3.3-角平分线的性质

第3课时

角平分线的性质第五章生活中的轴对称5.3简单的轴对称图形1课堂讲解角平分线的画法角平分线的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升如图5-16，将∠AOB对折，你发现了什么?角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗?角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.总结1知识点角平分线的画法知1－讲（来自《教材》）例1利用尺规，作∠AOB的平分线(如图).已知：∠AOB.求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.知1－讲（来自《教材》）作法：1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE.2.分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.OC就是∠AOB的平分线(如图).知1－讲例2某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图(点M，N表示大学，AO，BO表示公路)．现计划在∠AOB内修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；(2)阐述你的设计理由．（来自《点拨》）知1－讲（来自《点拨》）到M，N两点的距离相等的点在线段MN的垂直平分线上，到OA，OB距离相等的点在∠AOB的平分线上．(1)仓库应该建在MN的垂直平分线和∠AOB的平分线的交点P处．如图.(2)MN的垂直平分线l上的点到M，N两点的距离相等，∠AOB的平分线OC上的点到OA，OB的距离相等．P为l和OC的交点，因此P点即为所求．解：导引：1知1－练先任意画一个角，然后将它四等分.（来自《教材》）如图．点拨：

画出已知角∠AOB.①作∠AOB的平分线OC.②分别作∠BOC和∠AOC的平分线OD，OE.OC，OD，OE即将∠AOB四等分．解：2知1－练用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(

)A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边的距离相等（来自《典中点》）A3知1－练作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为(

)A．大于

CDB．等于

CDC．小于

CDD．以上都不对（来自《典中点》）A4知1－练【2017·枣庄】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是(

)A．15B．30C．45D．60（来自《典中点》）D2知识点角平分线的性质知2－导做一做(1)在一张纸上任意画∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.(2)在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?（来自《教材》）知2－讲（来自《点拨》）1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．知2－讲（来自《点拨》）例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝5cm，BD＝3cm，则点D到AB的距离为_____．点D到AB的距离就是过点D作AB的垂线段的长度．过D作DE⊥AB于E.因为∠C＝90°，AD平分∠BAC，所以ED＝CD＝BC－BD＝5－3＝2(cm)．导引：2cm求角平分线上的点到角两边的距离时，应用角平分线的性质将未知线段向已知线段转化．总结知2－讲（来自《点拨》）知2－讲（来自《点拨》）例4如图，BD是∠ABC的平分线，BA＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N，试说明：PM＝PN.要说明PM＝PN，由PM⊥AD，PN⊥CD，可说明PMD≌△PND或者DP平分∠ADC.题目已知BD平分∠ABC，所以用第二种方法更简单些．导引：知2－讲（来自《点拨》）因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD.因为BA＝BC，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD(SAS)，所以∠ADB＝∠CDB.又因为PM⊥AD，PN⊥CD，所以PM＝PN.解：用角平分线的性质说明两条线段相等，就不用再说明两条线段所在的三角形全等．性质的具体运用是：一平分两垂直得相等．总结知2－讲（来自《点拨》）1知2－练【2016·怀化】如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(

)A．PC＝PD

B．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPO

D．OC＝OD（来自《典中点》）B2知2－练如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是(

)A．PA＝PB

B．PO平分∠APBC．OA＝OB

D．AB垂直平分OP（来自《典中点》）D3知2－练【2017·台州】如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是(

)A．2B．3C.D．4（来自《典中点》）A4知2－练如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是(

)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm（来自《典中点》）A5知2－练【2016·湖州】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(

)A．8B．6C．4D．2（来自《典中点》）C角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，DE交OC于点F.(1)角的相等关系：①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝∠EFP＝90°；③∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.1知识小结2易错小结如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为(

)A．AD>DEB．AD＝DE