2025-2026学年广东深圳坪山区九年级上学期期末数学试题含答案

初中初中广东省深圳市坪山区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，按箭头方向为主视方向，那么这个几何体的左视图是（

）A． B． C． D．2．下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2+1x=0 B．ax3．本学期我们学习了许多特殊的平行四边形，下列平行四边形一定相似的是（

）A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．以上都正确4．幼儿园的丽丽小朋友和妈妈晚上散步（即丽丽身高小于妈妈），在同一路灯下，丽丽的影子比妈妈的影子长，这时妈妈和丽丽离路灯的距离谁近一点（

）A．妈妈 B．丽丽 C．一样 D．无法判断5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球共30个，这些球除颜色外都相同，其中黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过100次重复试验，共有61次摸出黑球，则n的值最可能是（

）A．5 B．10 C．16 D．186．在本学期综合实践“制作视力表”活动中，某小组用硬纸板复制视力表中的“E”形图，如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，测得AH=18，HC=12，若BC=15，则GH的长为（

）A．3 B．5 C．6 D．97．如图，点A为反比例函数y=−9xx<0图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y=1xx>0的图象交于点A．3 B．32 C．9 D．8．如图，正方形ABCD中，AB=2，点P为直线AD上的动点，连接BP、CP，Q为PC上一动点，连接BQ，使∠BQC=∠CBP，连接DQ，在点P运动过程中，DQ的最大值为（

）A．32 B．2 C．53 二、填空题9．已知5a=4b，那么ab=10．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)的一个解是x=1，则2025−a−b11．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为．12．如图，已知点A为反比例函数y=kxk>0,x>0图象上一点，AB⊥x轴于点B,C为y轴上任一点，若△ABC的面积为5，则k13．如图，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，连接AC和DE相交于F，将△DAF沿着AD翻折得到△AGD，连接CG交DE于H，则HFEF=三、解答题14．（1）解方程：x2（2）小明用配方法解关于x的方程x2解：x2−6x=7……第x2−6x+9=7+9……第x−32=16……第x−3=±4……第④步x−3=4，或x−3=−4……第⑤步∴x1=7，x2小明第②步的理论依据是______．小明的结果是否正确______（填“是”或“否”）请你用不同于小明的方法解这个方程：x215．某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球等五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如表：球类名称乒乓球排球羽毛球足球篮球人数a123618b解答下列问题：(1)a=______，b=______；(2)试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数；(3)该学校将组织趣味运动会，某班决定从2名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的4名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动，那么被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是多少？请用树状图或列表法说明理由．16．如图，操场上竖立着两根木杆AB、CD，木杆CD后面有一堵墙，AB在阳光下的影子如图所示．(1)画出此时CD在太阳光下的影子（用线段表示影子）(2)如果AB高度为1.2米，影长为1.6米，CD距离墙面1米，在墙面的影长为1米，求CD的高度．17．如图，在矩形ABCD中，AC为矩形的一条对角线．(1)请用直尺和圆规完成以下作图：分别在BC、AD上取点P、Q，使PA=PC，QA=QC．（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接AP、CQ，请证明四边形APCQ是菱形；(3)在（2）的条件下，当AC=10，AB=6时，求四边形APCQ的周长．18．综合与实践坪山是客家人聚居地，有舞麒麟的传统．这项已有300多年历史的客家民间传统文化，不仅传承着世代客家人“麒麟呈祥”的美好祝愿，而且在岁月的变迁中烙下了深深的坪山印记，成为深圳客家文化中的重要组成部分，并散发着民间传统艺术的流光溢彩．坪山文化馆为了推广舞麒麟文化，专门设计了文创产品——舞麒麟积木玩具，并在各商店销售．如何设计商品销售方案？素材1某商店以固定的进价购进一批舞麒麟积木玩具，销售单价不低于140元，并且销售单价为整数．素材2该商店舞麒麟积木玩具的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：y=−2x+400．当积木玩具的售价为140元/只时，日销售利润为2400元．问题解决任务1确定商品进价请根据以上信息，求出每个积木玩具的进价．任务2探究商品售价商场搞促销活动，为尽快扩大销售量，且积木玩具销售利润为3000元，则该日每个积木玩具的售价为多少元？设计方案任务3该商店决定日销售利润为3200元，请问方案是否可行，如可行，请你通过计算设计方案；如不可行，请说明理由．19．【知识重现】阅读下列材料，并完成问题：如图1，在平面直角坐标系中，射线OA的解析式为y=3x，与反比例函数y=33xx>0的图象相交于点P，以点P为圆心、2OP为半径作弧，交反比例函数的图象于点R．过点P、点R分别作x轴和y轴的平行线，交点分别为点M、点Q，并且点Q在直线OM上．结合以上材料回答下列问题：（1）点P坐标为______，∠PON和∠PNO的数量关系是______，∠MOB的度数为______．【拓展提升】（2）上述条件中，如果锐角∠AOB=α，反比例函数解析式为y=kx，其他条件不变，∠MOB与【变式应用】（3）如图2，在平面直角坐标系中，点A1,1，∠OAB=120°，AB=22，BC⊥x轴于点C，则20．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．

【问题探究】(1)如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，BF⊥AE于点O，交CD于点F．求证：AE=BF．(2)如图2，数学兴趣小组经过进一步探究发现，在正方形内部作两条互相垂直的直线，这两条互相垂直的直线分别被正方形的两组对边所截得的线段EG、FH，则EG、FH的数量关系是______．(3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=α，AE与BF相交于点O，且AE与BF的夹角∠EOF=α，则AE与BF的数量关系是什么？并说明理由．(4)如图4，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点G为AD中点，将△ABG沿BG翻折至△OBG处，GO、BO的延长线分别与BC、CD相交于点E、F．请根据题意画出图形，并完成下列问题：①BFEG②请根据上述结论，求OE的长．初中初中《广东省深圳市坪山区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题》参考答案题号12345678答案BCCADDAB1．B【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左边看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．【详解】解：几何体的左视图是，故选：B．2．C【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程．根据一元二次方程的定义判断各选项即可．【详解】解：一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2．A：x2+1B：ax2+bx+c=0中，a、b、cC：x2−x−6=0是整式方程，只含未知数D：3x2−2xy+6=0中含有两个未知数x故选：C．3．C【分析】本题考查了相似图形的判断，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质．判断平行四边形是否相似需对应角相等且对应边成比例．矩形角相等但边不一定成比例；菱形边成比例但角不一定相等；正方形角相等且边成比例，故一定相似．【详解】解：相似多边形需对应角相等且对应边成比例，矩形所有角均为90°，但如矩形2×3与4×5，对应边比24菱形所有边相等，但角可能不相等，如一个菱形角为90°，另一个为60°和120°，角不相等，不一定相似；正方形所有角均为90°，所有边相等，故对应角相等，对应边成比例，一定相似；故选：C．4．A【分析】本题考查了中心投影．根据离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长可得答案．【详解】解：∵离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长，且丽丽的影子比妈妈的影子长，丽丽身高小于妈妈，∴妈妈和丽丽离路灯的距离妈妈近一点．故选：A．5．D【分析】本题考查了根据频率估计概率，根据概率求数量．根据频率估计概率，摸出黑球的频率为61100=0.61，即概率约为【详解】解：∵摸出黑球的频率为61100∴摸出黑球的概率约为0.61，∴n=30×0.61=18.3≈18．故选：D．6．D【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的定义是解题的关键．求出AC=30，根据位似图形的定义计算即可．【详解】解：∵AH=18，HC=12，∴AC=30，∵右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，∴GH∴GH:BC=3:5，∵BC=15，∴GH:15=3:5∴GH=9，故选：D．7．A【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，作AG⊥x轴，BH⊥x轴，可证明△AGO∽△OHB，利用面积比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H，∵点A在函数y=−9xx<0图象上，点B∴S△AGO∵∠AOB=90°，∴∠AOG=∠HBO=90°−∠BOH，又∠AGO=∠OHB=90°，∴△AGO∽△OHB，∴S△AGO∴AOBO故选：A．8．B【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．证明△BCQ∽△PCB，可得出BCPC=CQBC，等量代换得出CDPC=CQCD，证明△CDQ∽△CPD，得出∠CQD=∠CPD=90°，则点Q在以【详解】解：∵∠BQC=∠CBP，∠BCQ=∠PCB，∴△BCQ∽△PCB，∴BCPC∵正方形ABCD中，AB=2，∴BC=AD=AB=2，∠D=∠BCD=90°，∴CDPC又∠DCQ=∠PCD，∴△CDQ∽△CPD，∴∠CQD=∠CDP=90°，∴点Q在以CD为直径的圆上运动，当CP取得最大值时，DQ有最大值，即当点P与点A重合时，如图，DQ=12故选：B．9．45【分析】本题考查比例的性质，解决本题的关键是熟练掌握比例的性质．利用已知条件，通过代数变形求解即可．【详解】解：由5a=4b，两边同除以bb≠0，得5⋅再两边同除以5，得ab故答案为：4510．2026【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．将x=1代入方程得到a+b+1=0，即a+b=−1，然后代入所求表达式计算．【详解】∵x=1是方程ax∴代入得a×12+b×1+1=0∴a+b=−1，∴2025−a−b=2025−a+b故答案为：2026．11．20【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【详解】解：如图，根据题意得AO=12×8=4，BO=1∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD．∴△AOB是直角三角形．∴AB=A∴此菱形的周长为：5×4=20故答案为：20．12．10【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值如图，连接OA，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB=5，再根据反比例函数的比例系数k【详解】解：如图，连接OA，∵AB⊥x轴∴OC∥∴S△OAB∵S△OAB∴12|k|=5，即∵由图像可知k>0，∴k=10．故答案为：10．13．4【分析】以点A为原点建立直角坐标系，且设正方形ABCD的边长为2．则A0,0，D0,2，B2,0，C2,2，E1,0，通过设一次函数的解析式，分别求出直线AC，DE的解析式，然后即可求出点F的坐标，再根据翻转的性质得出点G的坐标，然后同理求出点H【详解】解：如下图以点A为原点建立直角坐标系，且设正方形ABCD的边长为2．则A0,0，D0,2，B2,0∵点E是AB边的中点，∴E1,0设AC的解析式为：y=k1x+b1则b1=02解得：b1=0k则AC的解析式为：y=x，DE的解析式为：y=−2x+2，联立直线AC，DE的解析式y=xy=−2x+2解得：x=2∴F2∵将△DAF沿着AD翻折得到△AGD，∴G−设GC的解析式为：y=则−2解得：k则GC的解析式为：y=联立直线GC，DE的解析式y=1解得：x=2∴H2∴HF=25−∴HFEF故答案为：45【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数的应用，两点之间的距离公式，正方形的性质，建立直角坐标系是解题的关键．14．（1）x1=2，【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的四种常规解法是解题的关键．（1）根据直接开平方法解方程即可．（2）根据等式的性质，配方法解方程回答即可，利用因式分解法解方程即可．【详解】解：（1）xx2x1=2，（2）小明第②步两边同时加上9，理论依据是等式的基本性质1．小明运用的是配方法，过程正确，结果正确，故答案是：等式的基本性质1；是；不同于小明的方法：xx+1x+1=0或x−7=0x1=−115．(1)30，24(2)150人(3)16【分析】本题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）首先用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量；再用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值；（2）用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可；（3）通过列表即可求出被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率．【详解】（1）解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%，∴样本容量为12÷10%∴a=120×25%b=120−30−12−36−18=24（人）；故答案为：30,24；（2）解：500×36（3）解：2名喜欢乒乓球的同学分别记为甲和乙，1名喜欢羽毛球的同学记为丙，1名喜欢篮球的同学记为丁，画树状图如下，由树状图得共有12种等可能结果，其中甲和乙（喜欢乒乓球的同学）被抽到的情况有2种，∴被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是21216．(1)见解析(2)CD的高度为1.75米【分析】本题考查了平行投影的知识，相似三角形的应用．（1）先画出线段DE，并作出DE的垂线EF，过点C作CF∥AM，交EF于点F；此时CD在太阳下的影子为线段DE+EF；（2）过点F作FG⊥CD于点G，由△CFG∽△AMB，据此列式计算即可求解．【详解】（1）解：如图所示：∴此时CD在太阳下的影子为线段DE+EF；（2）解：过点F作FG⊥CD于点G，则EF=DG=1，DE=FG=1，由题意可知：∠A=∠C，∠CGF=∠B=90°，∴△CFG∽△AMB，∴CGFG∴CG1∴CG=0.75，∴CD=CG+DG=1.75（米）答：CD的高度为1.75米．17．(1)见解析(2)见解析(3)25【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可；（2）连接AP、CQ，由等腰三角形的性质得∠PAC=∠PCA和∠QAC=∠QCA，结合矩形的性质得到∠PAC=∠PCA=∠QAC=∠QCA，即可判定AP∥QC，则四边形APCQ为平行四边形，再结合PA＝PC，即可证明平行四边形APCQ为菱形；（3）AC与PQ的交点为O，由（2）菱形得AC⊥PQ和AO=OC，利用矩形的性质证明△POC∽△ABC，有PCAC=OC【详解】（1）解：如图，点P、Q即为所求；（2）解：如图，连接AP、CQ：∵PA=PC，QA=QC，∴∠PAC=∠PCA，∠QAC=∠QCA．又∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠QAC=∠PCA，∴∠PAC=∠PCA=∠QAC=∠QCA，∴AP∥QC．又∵AQ∥PC，∴四边形APCQ为平行四边形．又∵PA＝PC，∴平行四边形APCQ为菱形．（3）解：如图，AC与PQ的交点为O，由（2），∵四边形APCQ为菱形．∴AC⊥PQ，AO=OC，又∵四边形ABCD为矩形，∴∠POC=∠B=90°，又∵∠PCO=∠ACB，∴△POC∽△ABC，∴PCAC∵AC=10，AB=6，∴OC=5，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=8∴PC10=5又∵四边形APCQ为菱形．∴四边形APCQ的周长为25．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等腰三角的性质、菱形的判定和性质，矩形的性质、相似三角形的判定和性质，以及作图-基本作图，熟悉特殊四边形的性质和判定是解题的关键．18．任务1：每个积木玩具的进价120元；任务2：每个积木玩具的售价为150元；任务3：该商店日销售利润能达到3200元，理由见解析【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．（1）求出当x=140时y的值，再根据利润等于每个积木玩具的利润乘以销售量建立方程求解即可；（2）根据利润等于每个积木玩具的利润乘以销售量建立方程求解即可；（3）根据利润等于每个积木玩具的利润乘以销售量建立方程求解即可．【详解】解：任务1：当x=140时，y=−2×140+400=120，设每只积木玩具的进价a元，根据题意得120140−a解得a=120，答：每个积木玩具的进价120元．任务2：由题意得x−120−2x+400整理得x解得x1=150，∵要尽快扩大销售，x=150，答：每个积木玩具的售价为150元．任务3：该商店日销售利润能达到3200元，理由如下：当x−120−2x+400解得x1∴当销售单价是160元时，商店日销售利润能达到3200元．19．（1）P3,3、相等或∠PON=∠PNO、20°；（2）∠MOB=【分析】（1）根据题意可列出一元二次方程组并解得点P，由题意知，四边形PQRM为矩形，则PN=NR，结合矩形的性质得PN=NR=OP，则有∠PON=∠PNO，设∠MOB=x，则∠MOB=∠MQR=x，结合∠NRQ=∠MQR=x和tan∠POH=PHOH（2）由矩形的性质得QN=RN=MN=PN=12PR=12QM，有∠NQR=∠NRQ，则∠PNO=∠NQR+∠NRQ=2∠NQR，结合平行得∠NQR=∠MOB，进一步得到（3）过点A作x轴的垂线交OC于点D、过点B作y轴的垂线交AD于点F，在BF上取一点E，使得AE=BE，则四边形BCFD为矩形，FD=BC，BF=CD，设∠EAB=∠EBA=α，通过直角三角形两锐角互余列出等式求出α，则∠AEF=30°，设AF=a，则AE=BE=2a，再分别表示出EF，BF，AB，再根据AB=22求出a的值，最后再求出OC，BC的值，进而可求出S【详解】解：（1）∵射线OA的解析式为y=3x，与反比例函数y=3∴y=3xy=则点P坐标为3,3由题意知，四边形PQRM为矩形，则PN=NR，∵以点P为圆心、2OP为半径作弧，∴PN=NR=OP，∴∠PON=∠PNO，设∠MOB=x，∵QR∥OB，∴∠MOB=∠MQR=x，∵四边形PQRM为矩形，∴NQ=NR，∠NRQ=∠MQR=x，∴∠PON=∠PNO=∠NRQ+∠MQR=2x，∵点P坐标为3,3∴tan∠POH=PHOH则∠POH=∠PON+∠MOB=2x+x=60°，解得x=20°，那么，∠MOB=20°，故答案为：3,3，∠PON=∠PNO，20°（2）∠MOB=1∵四边形PQRM为矩形，∴QN=RN=MN=PN=1∴∠NQR=∠NRQ，∴∠PNO=∠NQR+∠NRQ=2∠NQR，∵QR∥x轴，∴∠NQR=∠MOB，∴∠PNO=2∠MOB，∵PR=2OP，∴OP=PN，∴∠PON=∠PNO，∴∠PON=2∠MOB，∴∠MOB=1（3）过点A作x轴的垂线交OC于点D、过点B作y轴的垂线交AD于点F，在BF上取一点E，使得AE=BE，如图，则四边形BCDF为矩形，∴FD=BC，BF=CD，∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵点A1,1∴OD=DA=1，∴∠AOD=∠OAD=45°，∵∠OAB=120°，∴∠FAB=120°−∠OAD=75°，设∠EAB=∠EBA=α，∴∠FAE=75°−α，∠AEF=2α，∵∠FAE+∠AEF=90°，∴75°−α+2α=90°，∴α=15°，∴∠AEF=30°，设AF=a，则AE=BE=2a，∴EF=A∴BF=DC=3∴AB=A∵AB=22∴6+∴a=2∴FD=BC=AD−AF=1−a=2−3，OC=OD+DC=OD+BF=1+∴S△BOC故答案为：12【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的性质，解二元一次方程，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质和解直角三角形等知识点，解题的关键是熟悉反比例函数的性质和利用现有的结论解决问题．20．(1)证明见解析(2)EG=FH(3)AE=BF，理由见解析(4)①43；②【分析】（1）证明△ABE≌△BCFASA（2）把GE平移到AM位置，把