初中数学专题《母子相似》含答案

初中专题03母子相似【小题热身】1．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对2．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（） B． C． D．3．如图，已知中，P是AB上一点，连接CP，B=ACP，求证：．4．已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．5．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．6．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．若，AC＝3，求CD的长．【磨刀霍霍】7．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1，AD+AC=8．（1）找出图中的一对相似三角形并证明；（2）求AC长．8．尺规作图：如图，在中，，请你利用尺规在边上求一点，使得．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）9．如图，在中，于，于，试说明：（1）（2）10．已知：如图，在中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD=∠ACB．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的长.11．如图，AB=16cm，AC=12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止，（点P到达点C后，点Q继续运动）（1）请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出定义域．（2）当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？12．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．13．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．

（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（）A．2B．C．2或（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．求证：与互为母子三角形．（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．14．在等腰中，顶角，点D在一腰上，连接，线段与底边的长相等．若．则________；若，则________．15．如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为_____．初中专题03母子相似【小题热身】1．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】C【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD所以有三对相似三角形，故选：C．2．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（） B． C． D．【答案】D【详解】A．已知∠B=∠B,若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；B．已知∠B=∠B,若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；C．已知∠B=∠B,若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；D．若，但夹的角不是公共等角∠B，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意，故选：D．3．如图，已知中，P是AB上一点，连接CP，B=ACP，求证：．【答案】见解析解：∵∠A=∠A，B=ACP，

∴△ACP∽△ABC，∴，∴AC2=AP•AB．4．已知：如图所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的长．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠A=∠BCD，且∠ADC=∠BDC=90°，∴△ACD∽△CBD∴，∴CD2=BD•AD=4∴CD=2，∴．5．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．【答案】证明见解析．解：∵AC=，CD＝4，BD＝2∴，∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．6．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．若，AC＝3，求CD的长．【答案】2解：连接OD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∴∠OBD

+∠CAD

=90°∵CD是切线∴∠CBD

+∠BDO

=90°∵OB=OD∴∠OBD=∠BDO∴∠CAD=∠BDC∵∠C=∠C，∠CAD=∠BDC∴△CDB

∽△CAD∴∵∴∵

AC=3∴

CD=2．【磨刀霍霍】7．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1，AD+AC=8．（1）找出图中的一对相似三角形并证明；（2）求AC长．【答案】（1）△BAD∽△BCA，理由见详解；（2）解：（1）△BAD∽△BCA，理由如下：AB＝2，BC＝4，BD＝1，，，又∠B=∠B，△BAD∽△BCA；（2）由（1）得：，即，AD+AC=8，，解得：，．8．尺规作图：如图，在中，，请你利用尺规在边上求一点，使得．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）【答案】如图所示：点即为所求．见解析．【详解】如图所示：点即为所求．9．如图，在中，于，于，试说明：（1）（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠AEB=∠ADC=90°，在△ABE和△ACD中∴△ABE∽△ACD；（2）∵△ABE∽△ACD，∴．在△ADE和△ACB中，∴△ADE∽△ACB∴∴AD·BC=DE·AC．10．已知：如图，在中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD=∠ACB．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的长.【答案】(1)见详解；（2）【详解】（1）证明：∵∠A=∠A,∠ABD=∠ACB,∴△ABD∽△ACB.（2）解:∵△ABD∽△ACB，∴，∴，∴11．如图，AB=16cm，AC=12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止，（点P到达点C后，点Q继续运动）（1）请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出定义域．（2）当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？【答案】（1），；（2）在中，当时，，在中，当时，．解：（1）由题意得：，；（2）当时，①若，则有，∴，∵，，，，∴，解得：，②∵，若，则有∴，∴，解得：（不符合题意，舍去）；当时，点与重合，∵，只有当时，有，∴，∴，解得：，在中，当时，，在中，当时，．12．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中线，，，即：，∴．13．如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．

（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（）A．2B．C．2或（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．求证：与互为母子三角形．（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3．【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2故选：C（2）是的角平分线，，，．又，与互为母子三角形．（3）如图，当分别在线段上时，

与互为母子三角形，，，是中线，，又，．，，．如图，当分别在射线上时，与互为母子三角形，，，是中线，，又，．，，．综上所述，或3

14．在等腰中，顶角，点D在一腰上，连接，线段与底边的长相等．若．则________；若，则________．【答案】6解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=72°，∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠ABD=72°-36°=36°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，∵BD=BC=6，∴AD=6；若AB=AC=6，设AD=x，则BD=BC=x，∴CD=6-x，∵∠BDC=∠ABC=72°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，即，解得：x=或（负值舍去），经检验：x=是原方程的解，∴AD=，故答案为：6，．15．如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为_____．【答案】解：由已知得OA＝2，OB＝4，根据勾股定理得出，AB＝2，如图，过点C作CE⊥x轴于E，作CG⊥y轴G，过点D作DH⊥x轴于H，作DF⊥y轴于F，连接GH，GD，CH，∵点C，D是反比例图象上的点，∴S矩形FDHO＝S矩形GCEO，∴S矩形FDHO＝S矩形GDEO．∴S△DGH＝S△GHC．∴点C，D到G