考研极限必做试题及答案

考研极限必做试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.当$x\to0$时，与$x$是等价无穷小的是（）A.$\sinx^2$B.$\ln(1+x)$C.$1-\cosx$D.$\tanx^2$2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$的值为（）A.0B.1C.3D.$\frac{1}{3}$3.若$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+ax+b}{x-1}=3$，则$a$，$b$的值分别为（）A.$a=1$，$b=-2$B.$a=-1$，$b=2$C.$a=2$，$b=-1$D.$a=-2$，$b=1$4.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x$的值为（）A.$e$B.$e^2$C.$e^{-2}$D.15.当$x\to0$时，$x^2$是$x-\sinx$的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小6.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$的值为（）A.0B.1C.$e$D.不存在7.设$f(x)=\begin{cases}x+1,&x\geq0\\x-1,&x\lt0\end{cases}$，则$\lim\limits_{x\to0}f(x)$（）A.等于1B.等于-1C.等于0D.不存在8.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}$的值为（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.29.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=B$，则$\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)-g(x)]$等于（）A.$A-B$B.$A+B$C.$AB$D.$\frac{A}{B}$（$B\neq0$）10.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x-1}{5x^2-x+3}$的值为（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{1}{5}$D.不存在二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列极限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$C.$\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$D.$\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$2.当$x\to0$时，下列是无穷小量的有（）A.$\sinx$B.$\ln(1+x)$C.$e^x-1$D.$1-\cosx$3.下列极限等于$e$的有（）A.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$B.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$C.$\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^{-x}$D.$\lim\limits_{x\to0}(1-x)^{-\frac{1}{x}}$4.设$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=B$，则下列正确的有（）A.$\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]=A+B$B.$\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)-g(x)]=A-B$C.$\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)g(x)]=AB$D.$\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$（$B\neq0$）5.当$x\to0$时，与$x$等价无穷小的有（）A.$\arcsinx$B.$\arctanx$C.$e^x-1$D.$\ln(1+x)$6.下列函数在$x=0$处极限存在的有（）A.$f(x)=\begin{cases}x+1,&x\geq0\\-x+1,&x\lt0\end{cases}$B.$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\geq0\\-x^2,&x\lt0\end{cases}$C.$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$D.$f(x)=\begin{cases}\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$7.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=\infty$，$\lim\limits_{x\toa}g(x)=\infty$，则下列正确的有（）A.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\infty$B.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)-g(x)]=0$C.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=\infty$D.$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=1$8.下列极限计算正确的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan3x}{x}=3$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$9.当$x\to\infty$时，下列是无穷小量的有（）A.$\frac{1}{x}$B.$\frac{\sinx}{x}$C.$e^{-x}$D.$\frac{1}{x^2}$10.设$f(x)$在$x=x_0$处极限存在，则（）A.$f(x)$在$x=x_0$处一定有定义B.$f(x)$在$x=x_0$处左右极限都存在且相等C.$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$是一个确定的常数D.$f(x)$在$x=x_0$处连续三、判断题（每题2分，共20分）1.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在，则$f(x)$在$x=x_0$处一定有定义。（）2.当$x\to0$时，$x^2$是比$x$高阶的无穷小。（）3.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$。（）4.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=B$，则$\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)g(x)]=AB$。（）5.当$x\to0$时，$\sinx$与$x$是等价无穷小。（）6.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=\infty$，则$\lim\limits_{x\tox_0}\frac{1}{f(x)}=0$。（）7.函数$f(x)$在$x=x_0$处极限存在，则$f(x)$在$x=x_0$处一定连续。（）8.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1$。（）9.当$x\to\infty$时，$\frac{1}{x^2}$是比$\frac{1}{x}$高阶的无穷小。（）10.若$\lim\limits_{x\tox_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\tox_0^-}f(x)$，则$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述函数极限的定义。答：设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\varepsilon$（不论它多么小），总存在正数$\delta$，使得当$x$满足不等式$0\lt|x-x_0|\lt\delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$|f(x)-A|\lt\varepsilon$，那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x\tox_0$时的极限。2.什么是等价无穷小？举例说明。答：在某一变化过程中，若$\alpha$和$\beta$都是无穷小，且$\lim\frac{\alpha}{\beta}=1$，则称$\alpha$与$\beta$是等价无穷小。如当$x\to0$时，$\sinx$与$x$是等价无穷小。3.如何判断函数在某点处极限是否存在？答：可通过判断函数在该点处的左极限和右极限是否都存在且相等。若左、右极限都存在且相等，则函数在该点处极限存在；否则极限不存在。4.简述两个重要极限及其公式。答：第一个重要极限是$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$；第二个重要极限是$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$或$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geq0\\-x+1,&x\lt0\end{cases}$在$x=0$处的极限情况。答：先求左极限，$\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(-x+1)=1$；再求右极限，$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(x^2+1)=1$。左、右极限相等，所以$\lim\limits_{x\to0}f(x)=1$。2.讨论当$x\to0$时，$1-\cosx$与$x^2$的无穷小关系。答：计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}$，利用等价无穷小$1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2$（$x\to0$），则$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$，所以当$x\to0$时，$1-\cosx$与$x^2$是同阶但非等价无穷小。3.讨论$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$的值。答：因为$|\sinx|\leq1$，即$\sinx$是有界函数，而当$x\to\infty$时，$\frac{1}{x}$是无穷小量。根据有界函数与无穷小的乘积是无穷小，所以$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$。4.讨论函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的极限情况。答：当$x\neq1$时，$f(x)=\fra