2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）·数学 拔高冲刺卷

第2页，共SECTIONPAGES6页2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）数学拔高冲刺卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷、答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（） A. B. C. D.2.已知集合，，则（） A. B. C. D.3.某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过（）（参考数据：） A.10年 B.11年 C.23年 D.24年4.为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理，已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少.国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（） A.4 B.5 C.6 D.75.已知向量，，若，则（） A..2 B..1 C.1 D.26.在中，，，，为的中点，则（） A.8 B.12 C. D.7.已知为锐角，，则（） A. B. C. D.8.抛物线的焦点为，斜率为2的直线与抛物线相交于两点，且，，则（） A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则（） A. B. C. D.若，则的最小值为10.已知复数为纯虚数，则（） A. B. C. D.11.已知等差数列的公差为，前项和为，且，，则（） A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，，若且，则______.13.数列中，，，记数列的前项和为，则______.14.已知正方体的棱长为2，若球同时满足条件：①与平面、平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球的半径的最小值为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数，.（1）求；（2）中，若构成等差数列，且，求.16.（15分）如图，在三棱柱中，侧面是边长为的正方形，为的中点，，平面平面.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

17.（15分）在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为.游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止.游戏停止时，取球的总次数记作，表示“共有个小球，按规则取球次后游戏停止”的概率.（1）求和的值；（2）若小球的个数为，求游戏停止时取球次数为奇数的概率（用表示）.18.（17分）已知椭圆的长轴的长为4，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴于和.（i）求面积的最大值；（ii）当点运动时，求点的轨迹方程.

19.（17分）已知函数.（1）当时，求在上的最大值；（2）当时，若对任意的实数，直线与曲线恰有一个公共点，求实数的取值范围；（3）若.证明：当时，.第2页，共SECTIONPAGES6页2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）数学拔高冲刺卷参考答案及解析一、单项选择题题号12345678答案DBACDABC解析：1.解：集合，.求交集得.选D.2.解：由，得，又，故.由，得.则.选B.3.解：设经过年，种群数量变为原来的万倍即倍.则，两边取常用对数得，故.大约需要10年.选A.4.解：经过次处理后，碳排放浓度为.令，得，，故，.至少需要6次.选C.5.解：，则，即，解得.选D.6.解：以为原点，所在直线为轴建系.则，为中点，故，，则.选A.7.解：令，则.由条件得，故.因为为锐角，，.由，得，解得，.即.选B.8.解：抛物线的焦点为，准线为.设，由抛物线定义，，.直线斜率为2，设方程为.联立抛物线方程消去得，则.又.另一方面，.可得，即.再由及弦长公式或进一步关系，结合可解得，进而得坐标，计算.选C.二、多项选择题题号91011答案BCDABAD解析：9.解：计算得，故.由，可依次求出数列各项，发现周期性规律.经计算，A项不等于，A错误.B项成立，B正确.C项通过计算模长得，C正确.D项由几何意义得最小值为，D正确.选BCD.10.解：为纯虚数，则实部，虚部.解得，此时.故，A、B正确.，C错误.，D错误.选AB.11.解：由，得，即.由，得.联立解得，.故A正确，B错误.计算，，故，C错误.，D正确.选AD.

三、填空题题号121314答案(3,1)或(.3,.1) 解析：12.解：设，则，即，；，.由条件得，整理得，即，.代入，得，，.对应.故或.13.解：由，得.累乘得.则.求和.代入，得.根据原始文档参考答案，结果为.14.解：球心在二面角的角平分面上.通过几何分析，建立空间直角坐标系或平面几何关系，设球心，利用与平面相切及与棱相切的条件，得到半径满足的方程.当球心在特定位置时半径最小，计算得最小值为.四、解答题15.（13分）解：（1），得或.又，故.【评分细则】正确求出值得5分.（2）由成等差数列，结合，得..又，则.所以..【评分细则】求出角得2分，得出得3分，求出得3分.共8分.16.（15分）解：（1）连接交于，则为中点.又为中点，故.平面，平面，所以平面.【评分细则】正确作出辅助线并证明线线平行得4分，得到线面平行得2分.共6分.（2）法一（几何法）：取中点，由已知可证平面，且平面.故直线与平面所成角为.计算得，，则.法二（向量法）：建系求得与平面法向量，利用夹角公式计算得正弦值为.【评分细则】正确论证线面垂直或建系得4分，求出相关长度或坐标得3分，正确计算出结果得2分.共9分.17.（15分）解：（1）法一：即，共有种，故.即且，分类计数得330种，故.法二：利用对立事件计算同样结果.【评分细则】正确计算出得3分，正确计算出得4分.共7分.（2）记为摸到号球后还需抽取奇数次才停止的概率，通过建立递推关系，设，得，.递推得.最终.【评分细则】正确建立递推关系得4分，解出得3分，求出最终结果得1分.共8分.18.（17分）解：（1）由题意，解得.椭圆方程为.【评分细则】求出得3分，写出方程得2分.共5分.（2）联立直线与椭圆，由相切得得到.求得切点.过与垂直的直线方程求出与轴交点.（i），当时取等号，最大值为.（ii）由，反解，代入得轨迹方程.【评分细则】求出切点坐标得3分，求出面积表达式并求最值得3分，求出轨迹方程得3分.共12分.19.（17分）解：（1）当时，.求导得，在单调递减，最大值为.【评分细则】正确求导并判断单调性得3分，求出最大值得2分.共5分.（2）当时，.直线与曲线恰有一个公共点，等价于函数有唯一零点.分析的单调性，对分类讨论，得实数的取值范围为.【评分细则】正确构造函数并分类讨论得4分，得出正确范围得3分.共7分.（3）要证，即证.利用放缩，结合(1)中结论得.分和两种情况证明不等式成立.综合得证.【评分细则】正确放缩并分情况讨论得3分，每种情况证明正确得2分.共5分.多维细目表（卷四）题型题号分值必备知识学科素养预估难度单选题15集合的运算、不等式与区间数学运算易25集合的运算、函数定义域、对数数学运算易35指数函数模型、对数运算数学建模、数学运算中45等比数列模型、不等式求解数学建模、数学运算中55平面向量垂直的坐标表示数学运算易65平面向量数量积、直角三角形直观想象、数学运算易75三角恒等变换、同角关系逻辑推理、数学运算中85抛物线的定义与几何性质直观想象、数学运算难多选题96复数数列、周期性、模长最值数学抽象、数学运算难106复数的概念、纯虚数、模长数学抽象、数学运算易116等差数列通