2026北京海淀高三一模数学（含答案）

第1页/共1页2026北京海淀高三一模数学2026.04本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知全集，，则（A） （B）（C） （D）（2）已知等差数列，，，则（A） （B）（C） （D）（3）抛物线的焦点为，点在上，且，则线段中点的横坐标为（A） （B）（C） （D）（4）若函数是奇函数，则（A） （B）（C） （D）（5）在中，，，则（A） （B）（C） （D）（6）已知，则（A） （B）（C） （D）（7）在某密码系统中，生成密码需要从含有个符号的字符集中随机选择字符.密码熵（单位：比特）的计算公式为,其中为密码长度.根据密码熵估计表，当时，比特.若某用户将密码长度从增加到，则密码熵的增加量约为（A）比特 （B）比特（C）比特 （D）比特（8）已知函数则“”是“在上为单调函数”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（9）已知平行四边形的两个顶点为，，另两个顶点在圆上.若对于给定的，这样的平行四边形有且只有一个，则的取值范围是（A） （B） （C） （D） （10）已知平面上的点满足,且,则下列等式中一定不成立的是（A） （B）（C） （D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）若复数满足，则_______，_______．（12）已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点满足，则_______.（13）设等比数列的前项和为.若，则公比_______．（14）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象位于图象的上方，则的一个取值为_______,的最大值为_______．（15）如图，正方体的棱长为，以底面的中心为原点建立空间直角坐标系，其中坐标轴分别与正方体的三条棱平行.设正方体表面及其内部所有点构成的集合为，集合，记为中所有点构成的几何体.给出下列四个结论：①；②被平面所截的截面面积为；③的体积大于；④表面上的点到点的距离的最小值为.其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数两个相邻零点的距离为，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的单调递增区间.（17）（本小题14分）如图，在直四棱柱中，,,,，分别为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）从下列条件=1\*GB3①，条件=2\*GB3②，条件=3\*GB3③中选择一个作为已知条件，使得直四棱柱存在且唯一，求平面与平面夹角的余弦值.条件=1\*GB3①：；条件=2\*GB3②：；条件=3\*GB3③：与平面所成角为.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

（18）（本小题13分）为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表：学区甲乙性别男女男女达到预期260人200人240人190人未达到预期190人150人60人110人假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率.（I）估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率；（Ⅱ）若教师的评价为“达到预期”，则赋分为；若教师的评价为“未达到预期”则赋分为.（ⅰ）从这两个学区的所有男教师中随机抽取人，所有女教师中随机抽取人，记随机变量为这人的赋分之和，估计的数学期望；（ⅱ）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知椭圆的离心率为,其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为第一象限内上的动点，点在直线上，且.过作的垂线交直线于，求的值.（20）（本小题15分）设函数.（Ⅰ）当时，求证：直线是曲线的切线；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由.

（21）（本小题15分）对于正整数，集合.给定集合的一个子集，对于中的元素，若存在且，使得集合与的交集所含元素个数为或，则称为的一个“同形点”.（Ⅰ）当时，写出集合的所有“同形点”；（Ⅱ）当只有一个元素时，求其“同形点”的个数；（Ⅲ）若的任意子集都有“同形点”，求的最小值.（考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）B （3）C （4）A （5）C（6）D （7）A （8）A （9）D （10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）（13） （14）（答案不唯一）（15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）因为，所以．所以. 因为的两个相邻零点的距离为，所以的最小正周期. 所以.所以，. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以． 令解得的单调递增区间为． （17）（共14分）解：（Ⅰ）法一：取中点，连接，因为直四棱柱，所以四边形为平行四边形. 因为分别是的中点，所以，， 又，点是的中点，所以. 所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面平面所以平面. 法二：在直四棱柱中，连接，因为，，为中点，所以，又因为，即， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，，，且平面，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （Ⅱ）连接.因为，所以，由，所以，又因为平面，所以,所以两两垂直， 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系. 选=2\*GB3②：连接，在中，因为，，所以，所以， 所以，,，设平面的法向量为，则，即 令，则，所以，又平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，所以.选=3\*GB3③：因为平面，所以为在平面上的射影，所以为与平面所成的角.因为与平面所成角为，所以.在中，，所以，后续解法同=2\*GB3②.

（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据题中数据，样本中甲学区教师的人数为人，其中评价为“达到预期”的人数为人，所以甲学区教师评价为“达到预期”的概率估计为.（Ⅱ）(i)的取值范围为. 男教师的评价为“达到预期”的概率估计值为 女教师的评价为“达到预期”的概率估计值为所以，，，，所以.(ii)（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意得 解得，，． 所以椭圆的方程为． （Ⅱ）设.因为，所以. 当时，解得.直线为，又直线为，所以，. 法一：当时， 所以， 直线的方程为， 又为， 联立得，所以 所以法二：当时，，所以， 方程为 又为，联立得，，，，，所以. 所以（20）（共15分）解：（Ⅰ）当时，，定义域为.所以． 因为，， 所以曲线在点处的切线为. 问题得证.（Ⅱ）因为． 令，得，． 当时，的定义域为.，与的变化情况如下表：↘极小值↗所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，的定义域为.，与的变化情况如下表：↘极小值↗所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （Ⅲ=3\*ROMAN）不存在极值. 因为，所以， 由（Ⅱ）知，当时，，所以，当时，，所以，且， 所以，不存在极值. （21）（共15分）解：（Ⅰ）； （Ⅱ）的“同形点”的个数为. 证明如下：设，由题：取集合.若为的“同形点”，应有，且.当时，若且，取为，则与的交集元素个数为0，此时为的“同形点”，共有个；当时，同理可得中除外，其余元素都是的“同形点”，共有个；当时，同理可得中除外，其余元素都是的“同形点”，共有个；当时，同理可得中除外，其余元素都是的“同形点”，共有个.综上可得的“同形点”的个数为. （Ⅲ）的最小值为21.