初中数学七年级下册：一元一次方程解法（三）-含分母方程专项教案

初中数学七年级下册：一元一次方程解法（三）——含分母方程专项教案

一、教学指导思想与理论依据

（一）指导思想

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向为根本遵循，秉承“以学生发展为本”的教育理念。教学的全过程致力于实现从“双基”到“核心素养”的升华，聚焦于学生数学眼光、数学思维和数学语言的协同发展。本节课将“去分母”这一具体技能的学习，置于“化归”这一基本数学思想与“方程”这一核心数学模型的双重框架之下，旨在引导学生经历“数学化”的过程，实现知识的结构化建构与思维的能力化迁移。

（二）理论依据

1.建构主义学习理论：强调知识不是被动接受，而是学习者在已有经验基础上主动建构的结果。本设计通过创设认知冲突（含有分母的方程如何求解？），引导学生调用“等式基本性质”和“分数运算”的旧知，主动探索“去分母”这一新知的合理性、必要性与操作性，实现有意义学习。

2.认知负荷理论：注重教学序列的科学设计，以优化学生的内在认知负荷。通过将“去分母”的复杂过程分解为“观察结构”、“寻找公分母”、“方程变形”、“检验反思”等逻辑清晰的步骤，并辅以程序性指引和变式训练，有效降低学习难度，促进图式形成与自动化。

3.SOLO分类评价理论：将学生的学习结果层次化，从单一结构（识记步骤）、多元结构（机械应用）、关联结构（理解原理、灵活运用）到拓展抽象结构（迁移创新、解决新问题）。教学设计中的例题选择、练习分层与提问设计均对应不同SOLO层次，以精准评估并促进每一位学生的思维发展。

二、教学背景分析

（一）教材分析

“一元一次方程的解法”是北师大版数学七年级上册第五章“一元一次方程”的核心内容，是连接算术与代数的关键枢纽，也是后续学习二元一次方程组、一元一次不等式乃至函数的重要基础。本课“含分母方程的解法”是解方程方法的第三课时，在知识链中承上启下：

1.承上：学生已熟练掌握运用等式的基本性质进行“移项”和“合并同类项”，能够顺利求解系数为整数的方程（如2x-5=3x+1

）。

2.启下：本节课学习的“去分母”是解一元一次方程一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）中的首要且关键一步。掌握它，意味着学生具备了处理形式上更复杂、更贴近实际应用场景（常涉及分数、比例关系）的方程的能力，为后续解决复杂的应用问题扫清了技术障碍。

3.教材处理：在忠实于教材核心例题（如(x+14)/7=(x+20)/4

及其变式）的基础上，将进行纵向深化与横向拓展。纵向加深对“去分母”算理（等式基本性质二）的理解；横向联系分数运算、最小公倍数等知识，并设计贴近现实的生活情境问题，增强数学的实用性与趣味性。

（二）学情分析

授课对象为七年级下学期学生，其认知与能力特点如下：

1.知识基础：已经历前两课时的学习，对等式的基本性质（特别是性质二：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等）有直观认识，并能用以解释“系数化为1”。具备较强的整数运算能力，但分数运算的熟练度与准确性存在个体差异。对“最小公倍数”的概念清晰。

2.能力储备：初步具备从具体算式中抽象概括一般步骤的能力，有一定的符号意识。但面对多步骤、综合性的问题，思维的系统性和严谨性有待提高，容易在步骤衔接处出错或遗漏。

3.思维障碍：本节课的潜在困难点在于：1.“为何去分母”的算理理解：部分学生可能仅机械记忆“两边乘以公分母”，不理解其目的在于将方程转化为已掌握的整数系数方程，体现化归思想。2.“如何正确去分母”的运算操作：容易漏乘不含分母的项（特别是常数项），或忽视分数线的括号功能。3.“去分母后”的方程处理：去分母后常伴随去括号的步骤，学生可能因步骤叠加而产生混乱。

4.心理特征：该年龄段学生好奇心强，乐于接受挑战，但注意力持久性有限。对纯技巧训练易产生倦怠，而对具有现实背景、富有探索性的问题充满兴趣。

（三）教学重点与难点

1.教学重点：掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，并能准确、熟练地解含分母的一元一次方程。

2.教学难点：

1.3.理解难点：理解“去分母”的算理依据是等式的基本性质二，体会其“化归”的数学思想本质——将新问题（分数系数）转化为旧问题（整数系数）。

2.4.操作难点：去分母时，确保方程中的每一项（包括不含分母的项）都乘以各分母的最小公倍数；正确处理去分母后产生的括号。

5.突破策略：

1.6.针对理解难点：采用“问题驱动—对比分析—原理回溯”的策略。通过呈现新旧两类方程，制造认知冲突，引导学生自主发现“分母”是求解障碍，从而主动寻求“去分母”的方法，并追问“为什么可以这样做”，将操作回溯到等式基本性质。

2.7.针对操作难点：采用“程序指引—错例辨析—分步强化”的策略。总结“一找、二乘、三注意”的操作口诀，设计典型错例让学生“找茬”、分析错因，并通过由简到繁的阶梯式练习，固化规范操作。

三、教学目标设计

基于核心素养导向，制定以下三维教学目标：

（一）知识与技能

1.理解解一元一次方程中“去分母”的必要性和依据。

2.掌握解含分母的一元一次方程的一般步骤，能准确、规范地求解。

3.能针对方程的具体形式，灵活运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。

（二）过程与方法

1.经历从具体方程中归纳“去分母”方法的过程，发展归纳概括能力。

2.通过对比分析、错例反思，提升数学运算的准确性和严谨性。

3.在解决实际背景问题的过程中，初步体验建立方程模型解决实际问题的完整流程。

（三）情感、态度与价值观

1.在克服去分母操作难点的过程中，培养不畏困难、细致耐心的学习品质。

2.通过感受方程作为有效数学模型在解决实际问题中的威力，增强学习数学的兴趣和应用意识。

3.在小组交流与辨析中，养成乐于合作、敢于质疑、理性表达的科学态度。

核心素养对应点：

1.抽象能力：从具体方程求解过程中抽象出“去分母”这一通用步骤。

2.运算能力：进行含有分数、括号的复杂代数式运算，追求合理、简洁、准确。

3.模型观念：识别现实情境中的等量关系，用含分母的方程进行刻画。

4.推理意识：依据等式性质推导“去分母”的合理性，确保每一步变形的逻辑严谨。

四、教学策略与手段

1.启发探究式教学：以核心问题链引领课堂，如“这个方程与我们之前解的方程有何不同？”“这个‘不同’带来了什么困难？”“我们有什么武器可以克服它？”“使用这个武器时，要注意什么？”让学生在问题驱动下主动探究。

2.对比辨析法：将整数系数方程与分数系数方程对比，凸显“去分母”的必要性；将正确解法与典型错误解法对比，深化对操作细节的理解。

3.程序训练与变式训练相结合：初期通过程序化步骤训练形成基本技能；随后进行变式训练（分母由数字到含字母、由两个到多个、系数由简单到复杂），提升技能灵活性和迁移能力。

4.信息技术融合：使用几何画板或PPT动画演示“等式两边同乘一个数”的平衡变化过程，直观验证算理。利用投影仪实时展示学生不同解法，便于交流与评价。

5.合作学习：在探索环节和错例分析环节，组织小组讨论，促进思维碰撞，实现互教互学。

五、教学过程实施

第一环节：创设情境，引疑激趣（预计时间：5分钟）

活动1：情境导入

呈现一个源于生活实际的问题情境，力求真实、简洁、有代入感。

“营养配餐中的数学”：学校食堂为七年级学生设计营养午餐，食谱中蔬菜与肉类的质量比建议为5:2。已知一份午餐中，蔬菜比肉类多210克。请问一份午餐中，蔬菜和肉类各有多少克？

教师引导：

1.同学们，要解决这个问题，我们之前学过什么有力的数学工具？（预设：方程）

2.谁能尝试找出其中的等量关系？（预设：蔬菜质量-肉类质量=210克；蔬菜质量:肉类质量=5:2）

3.如果我们设肉类质量为x

x

x克，根据比例关系，蔬菜质量如何表示？（预设：5

2

x

\frac{5}{2}x

25​x克）

4.请根据第一个等量关系列出方程。（学生列方程：5

2

x

−

x

=

210

\frac{5}{2}x-x=210

25​x−x=210）

板书学生所列方程：5

2

x

−

x

=

210

\frac{5}{2}x-x=210

25​x−x=210

设计意图：从真实、跨学科（营养健康）的情境出发，自然引出一个含有分数系数的方程。这既体现了数学的应用价值，又让学生直观感受到学习新解法的现实需要，激发其内在学习动机。所列方程结构相对简单，降低了入门门槛。

第二环节：探究新知，明晰算理（预计时间：15分钟）

活动2：观察对比，提出问题

将本节课的新方程与上节课的旧方程并排列出：

旧方程：2

x

−

5

=

3

x

+

1

2x-5=3x+1

2x−5=3x+1

新方程：5

2

x

−

x

=

210

\frac{5}{2}x-x=210

25​x−x=210（或教材例题x

+

14

7

=

x

+

20

4

\frac{x+14}{7}=\frac{x+20}{4}

7x+14​=4x+20​）

教师提问：

1.仔细观察，这两个方程在形式上最大的不同是什么？（预设：新方程的未知数系数或项中含有分数。）

2.这个“不同”会对我们解方程造成什么麻烦？（引导学生思考：分数运算比整数运算复杂，容易出错；我们的目标是x

=

a

x=a

x=a的形式，分数系数不直接。）

3.我们心中理想的方程形式是怎样的？（预设：所有系数都是整数。）

4.那么，我们能否将这个“不理想”的方程，转化成为我们“理想”的、会解的方程呢？转化的关键是什么？（引出核心任务：消去分母）

活动3：自主探索，尝试解决

给予学生2-3分钟独立思考或同桌小声交流，尝试求解5

2

x

−

x

=

210

\frac{5}{2}x-x=210

25​x−x=210。

教师巡视，捕捉典型思路（正确的、错误的、有创意的），为后续讲评做准备。

活动4：交流研讨，揭示原理

请不同解法的学生上台板演或口述思路。

预设学生方案：

1.方案A（先合并，后化系数）：5

2

x

−

x

=

3

2

x

\frac{5}{2}x-x=\frac{3}{2}x

25​x−x=23​x，得3

2

x

=

210

\frac{3}{2}x=210

23​x=210，两边同时除以3

2

\frac{3}{2}

23​或乘以2

3

\frac{2}{3}

32​，得x

=

140

x=140

x=140。

2.方案B（先化整数，后运算）：方程两边同时乘以2，得5

x

−

2

x

=

420

5x-2x=420

5x−2x=420，合并得3

x

=

420

3x=420

3x=420，解得x

=

140

x=140

x=140。

组织讨论：

1.两种方案都得到了正确答案，它们有什么共同点和不同点？

1.2.共同点：最终都去掉了分母，将系数化为了整数1。

2.3.不同点：A方案是在运算过程中自然消去分母（除以一个分数等于乘其倒数），B方案是主动、有目的地先通过乘法消去分母。

4.对于更复杂的方程，比如x

+

14

7

=

x

+

20

4

\frac{x+14}{7}=\frac{x+20}{4}

7x+14​=4x+20​，方案A还方便吗？（引导学生发现，当未知数分布在分子多个项中时，先通分去分母是更普适、更清晰的方法。）

5.方案B中，“方程两边同时乘以2”这一步的依据是什么？（追问算理！引导学生齐声回答：等式的基本性质二。）

6.为什么选择乘以2？乘以其他数（比如4或7）可以吗？（引导学生发现：乘以所有分母的最小公倍数，能使计算最简。乘以其他公倍数也可以，但会带来不必要的复杂计算。）

教师总结并板书要点：

1.去分母的目的：将方程转化为系数为整数的方程，化陌生为熟悉，化繁为简。（体现化归思想）

2.去分母的依据：等式的基本性质二。

3.去分母的关键：确定各分母的最小公倍数（最简公分母）。

4.去分母的操作：方程两边每一项都乘以这个最小公倍数。

设计意图：本环节是突破教学重难点的核心。通过对比、尝试、辨析、追问，让学生亲身经历方法的生成过程，而非被动接受。重点强调了“为什么去分母”（算理）和“如何去分母更好”（策略），将程序性知识建立在深刻的概念性理解之上。

第三环节：典例精析，规范步骤（预计时间：12分钟）

活动5：示范讲解，形成规范

出示例1（教材例题或改编）：解方程x

+

14

7

=

x

+

20

4

\frac{x+14}{7}=\frac{x+20}{4}

7x+14​=4x+20​

教师采用师生合作的方式，边提问边规范板书：

1.观察与规划：“同学们，我们一起来解这个方程。第一步，我们观察，这个方程有什么特点？我们打算怎么做？”（有分母，先去分母。）

2.找最小公倍数：“分母7和4的最小公倍数是多少？”（28）

3.去分母（板书关键步骤，用彩色粉笔标注）：

x

+

14

7

=

x

+

20

4

28

×

x

+

14

7

=

28

×

x

+

20

4

(依据：等式性质二)

4

(

x

+

14

)

=

7

(

x

+

20

)

(强调：每一项都乘了28，分数线隐含括号)

\begin{aligned}

\frac{x+14}{7}=\frac{x+20}{4}\\

28\times\frac{x+14}{7}=28\times\frac{x+20}{4}\quad\{(依据：等式性质二)}\\

4(x+14)=7(x+20)\quad\{(强调：每一项都乘了28，分数线隐含括号)}

\end{aligned}

7x+14​28×7x+14​4(x+14)​=4x+20​=28×4x+20​(依据：等式性质二)=7(x+20)(强调：每一项都乘了28，分数线隐含括号)​特别强调：“28乘以x

+

14

7

\frac{x+14}{7}

7x+14​时，相当于28

÷

7

×

(

x

+

14

)

28\div7\times(x+14)

28÷7×(x+14)，结果是4

(

x

+

14

)

4(x+14)

4(x+14)。这里的括号至关重要，因为它代表一个整体。漏掉括号，是接下来去括号出错的根源。”

4.去括号：4

x

+

56

=

7

x

+

140

4x+56=7x+140

4x+56=7x+140

5.移项：4

x

−

7

x

=

140

−

56

4x-7x=140-56

4x−7x=140−56（简述移项法则）

6.合并同类项：−

3

x

=

84

-3x=84

−3x=84

7.系数化为1：x

=

−

28

x=-28

x=−28

8.口头检验：引导学生将x

=

−

28

x=-28

x=−28代入原方程左右两边进行验证。

活动6：归纳步骤，提炼口诀

师生共同总结解含分母一元一次方程的一般步骤：

一化（去分母）→二去（去括号）→三移（移项）→四并（合并同类项）→五解（系数化为1）→六验（检验）。

为帮助记忆操作细节，提炼口诀：

去分母口诀：看到分母不用慌，公倍数乘两边上。每项都要乘到，分数线有括号藏。

设计意图：通过教师规范、细致的板演，为学生提供可模仿的范例。将隐性的思维过程显性化，尤其是对易错点（漏乘、忘括号）进行高亮强调。步骤和口诀的总结，帮助学生将零散的操作整合成有序的程序性知识结构，便于记忆和应用。

第四环节：变式训练，深化理解（预计时间：10分钟）

活动7：阶梯练习，巩固双基

设计三个层次的练习，采用“先做后评，错例共析”的方式。

层次一：基础巩固（去分母专项）

解方程：(1)x

3

−

1

=

x

2

+

3

\frac{x}{3}-1=\frac{x}{2}+3

3x​−1=2x​+3(2)2

y

−

1

3

=

y

+

2

4

\frac{2y-1}{3}=\frac{y+2}{4}

32y−1​=4y+2​

1.目的：巩固去分母的基本操作，重点关注常数项和分子为多项式时的处理。

2.反馈：快速巡视，抽取学生答案投影，学生互评。

层次二：辨析纠错（典型错例分析）

出示错误解法：解方程x

−

1

2

−

1

=

x

+

2

3

\frac{x-1}{2}-1=\frac{x+2}{3}

2x−1​−1=3x+2​

错解：去分母，得3

(

x

−

1

)

−

1

=

2

(

x

+

2

)

3(x-1)-1=2(x+2)

3(x−1)−1=2(x+2)

1.提问：这个解法对吗？错在哪里？如何改正？（引导学生发现：漏乘不含分母的项“-1”。改正：3

(

x

−

1

)

−

6

=

2

(

x

+

2

)

3(x-1)-6=2(x+2)

3(x−1)−6=2(x+2)）

2.目的：针对最典型的错误进行预判性打击，通过“找茬”游戏深化学生对“每一项都要乘”的理解。

层次三：综合应用（完整步骤）

解方程：2

x

−

1

3

−

10

x

+

1

6

=

2

x

+

1

4

−

1

\frac{2x-1}{3}-\frac{10x+1}{6}=\frac{2x+1}{4}-1

32x−1​−610x+1​=42x+1​−1

1.目的：分母增多（3,6,4），涉及多重括号和复杂运算，训练学生完整、连续、准确执行解方程步骤的能力。

2.策略：让学生独立完成，教师巡视指导。请一位学生板演，全班共同检查其每一步的规范性与准确性。

设计意图：练习设计遵循“循序渐进、螺旋上升”的原则。从专项到综合，从正确示范到错例辨析，全方位覆盖技能要点。通过即时反馈和生生互评，使学生在“做中学”、“评中悟”，及时巩固新知，暴露并纠正错误概念。

第五环节：联系实际，拓展升华（预计时间：5分钟）

活动8：回解情境，建模应用

回到课堂开始时的“营养配餐”问题。现在我们已经求出x

=

140

x=140

x=140。

1.“x=140表示什么？”（肉类质量140克）

2.“蔬菜质量是多少？”（5

2

×

140

=

350

\frac{5}{2}\times140=350

25​×140=350克）

3.“请口头检验一下，是否符合题中的两个条件？”（350-140=210，符合；350:140=5:2，符合。）

4.“回顾我们用方程解决这个实际问题的过程，你能梳理出一般的步骤吗？”（审题→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验答案→作答）

活动9：畅谈收获，建构体系

引导学生从知识、方法、思想、情感等多维度进行课堂小结。

1.“本节课我们学习了什么新知识？”（解含分母的一元一次方程）

2.“我们是如何获得这个知识的？”（从问题出发，探索、归纳、总结）

3.“解这类方程的核心思想和关键步骤是什么？”（化归思想；去分母及注意事项）

4.“在学习过程中，你有什么感悟或提醒大家注意的地方？”

教师最后进行总结性提升，并将本节课内容纳入更大的知识体系：“同学们，今天我们攻克了解一元一次方程的最后一个技术堡垒——去分母。至此，我们已经掌握了求解任何形式的一元一次方程的‘万能钥匙’：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。这把钥匙，将为我们下一阶段开启‘一元一次方程应用’这座宝库大门，去解决更多姿多彩的现实世界问题做好准备。”

设计意图：首尾呼应，让学生体验用所学知识成功解决初始问题的成就感，完整经历数学建模过程。通过学生自主小结和教师总结提升，将知识点串联成线，编织入网，促进知识的系统化建构，并明确学习的方向和价值。

六、板书设计

板书采用“左中右三区”结构，力求清晰、美观、逻辑性强，体现思维脉络。

左侧：主知识区（核心内容）

课题：解一元一次方程（三）——去分母

一、问题模型（引例）

蔬菜质量-肉类质量=210

设肉类x克，蔬菜(5/2)x克

→方程：(5/2)x-x=210

二、探究新知

1.目的：化分数系数为整数系数（化归）

2.依据：等式基本性质二

3.关键：找各分母最小公倍数

4.操作：方程两边同乘最小公倍数

注意：①每一项都乘！②分子是整体，添括号。

三、一般步骤

去分母→去括号→移项→合并→系数化1→检验

（口诀辅助记忆）

中间：示范演算区（例题板演）

例1：解方程(x+14)/7=(x+20)/4

解：去分母（两边同乘28），得

28×(x+14)/7=28×(x+20)/4

4(x+14)=7(x+20)（注意括号！）

去括号，得

4x+56=7x+140

移项，得

4x-7x=140-56

合并同类项，得

-3x=84

系数化为1，得

x=-28

检验：（略）

右侧：要点提示与练习区

【易错点警示】

☒漏乘不含分母的项

☒去分母后忘记给分子添括号

☒去括号时符号错误

【变式练习】

1.x/3-1=x/2+3（答案：x=24）

2.(2y-1)/3=(y+2)/4（答案：y=2）

七、分层作业设计

为满足不同层次学生的发展需求，作业分为“必做题”、“选做题”和“实践探究题”三个层次。

A层（必做题，夯实基础）：

1.完成课本对应节次的练习题（基础部分）。

2.解方程：(1)x

−

3

2

−

2

x

+

1

3

=

1

\frac{x-3}{2}-\frac{2x+1}{3}=1

2x−3​−32x+1​=1(2)0.1

x

−

0.2

0.02

−

x

+

1

0.5

=

3

\frac{0.1x-0.2}{0.02}-\frac{x+1}{0.5}=3

0.020.1x−0.2​−0.5x+1​=3（渗透小数化整数思想）

B层（选做题，能力提升）：

1.解关于x的方程：a

+

x

b

=

x

−

b

a

+

2

\frac{a+x}{b}=\frac{x-b}{a}+2

ba+x​=ax−b​+2（a

b

≠

0

ab≠0

ab=0）（引入参数，提升抽象能力）

2.若方程2

x

−

1

3

=

x

+

a

2

−

1

\