2023年高二数学建模综合应用题专项训练及全思路答案

2023年高二数学建模综合应用题专项训练及全思路答案

一、单项选择题，(总共10题，每题2分)1.某城市水费阶梯计价：≤10吨2元/吨，10<吨≤20吨3元/吨，>20吨4元/吨。若用户用水15吨，水费为（）A.30元B.35元C.40元D.45元2.某公司2020年利润100万元，年增长率8%，则2023年利润约为（）A.124万元B.126万元C.128万元D.130万元3.生产甲产品每件利润30元，需工时2小时；乙产品每件利润50元，需工时3小时。每天总工时≤120小时，甲最多生产30件。若生产甲20件，乙最多生产（）A.26件B.27件C.28件D.29件4.等比数列建模中，本金1000元，年利率5%，复利计算，3年后本利和为（）A.1150元B.1157.625元C.1160元D.1162.5元5.从5个红球、3个白球中任取2个，恰有1个红球的概率是（）A.15/28B.10/28C.5/28D.3/286.线性回归方程y=0.3x+2.1，若x=10，则y的预测值为（）A.5.1B.5.2C.5.3D.5.47.正方形面积S与边长a的关系是幂函数，其解析式为（）A.S=aB.S=a²C.S=√aD.S=1/a8.矩形周长20米，最大面积为（）A.20平方米B.25平方米C.30平方米D.35平方米9.出租车计价：3公里内8元，超过3公里每公里1.5元（不足1公里按1公里算），行驶5.2公里费用为（）A.11元B.11.5元C.12元D.12.5元10.频率分布直方图中，组距5，某组高度0.2，则该组频率为（）A.0.1B.0.2C.0.5D.1二、填空题，(总共10题，每题2分)1.已知一次函数过(0,2)和(2,6)，解析式为________2.人口初始100万，年增长率1%，n年后人口为________3.线性规划约束：x+y≤5，x≥0，y≥0，目标函数z=2x+y最小值为________4.等比数列首项100，公比1.05，第5项为________5.从4男2女中选2人，都是男生的概率为________6.回归方程y=0.2x+1.2，x=15时预测y为________7.圆面积S与半径r的幂函数解析式为________8.二次函数y=-x²+4x+3的最大值为________9.分段函数f(x)=x（x≤0），f(x)=2x（x>0），f(-1)+f(2)=________10.频率分布直方图中，某组频率0.3，组距10，则高度为________三、判断题，(总共10题，每题2分)1.线性规划最优解一定在可行域顶点处（）2.指数函数模型增长速度越来越快（）3.回归方程中x每增1，y一定增回归系数b（）4.等比数列公比q>1时，数列一定递增（）5.分段函数各段定义域不重叠（）6.古典概型每个基本事件概率相等（）7.频率分布直方图纵轴是频率（）8.二次函数开口向下则有最大值（）9.可行域一定是封闭图形（）10.建模时拟合度越高越好（）四、简答题，(总共4题，每题5分)1.某工厂生产A、B两种产品，A每件利润50元，需2小时；B每件利润80元，需3小时。每天总工时≤120小时，A最多生产30件。求最大利润的生产方案。2.某城市2020年人口100万，年增长率1.2%，计算2030年人口（保留整数）。3.某商品日销售量y=-2x+80（x为售价，元），求日销售额最大时的售价。4.从10个产品（3次品7正品）任取2个，求至少1个次品的概率。五、讨论题，(总共4题，每题5分)1.某地区水费阶梯计价：≤10吨2元/吨，10<吨≤20吨3元/吨，>20吨4元/吨。建立水费y与用水量x的函数模型，分析25吨水的费用，并讨论节约水费的方法。2.公司年初投入100万研发，年利率5%复利，每年末追加20万，求第5年末总收益（本利和），讨论该投资模式的优缺点。3.班级身高频率分布直方图：组距5cm，各组频率0.1（150-155）、0.2（155-160）、0.3（160-165）、0.25（165-170）、0.15（170-175）。计算平均身高，讨论频率分布直方图的作用。4.手机销量y（万台）与广告投入x（万元）的回归方程y=0.2x+1.5，预测x=20时的销量，讨论线性回归模型的适用条件。答案及解析一、单项选择题答案1.B2.B3.A4.B5.A6.A7.B8.B9.D10.A解析：1.10吨×2+5吨×3=35元；2.100×(1+8%)³≈126万；3.2×20+3b≤120→b≤26.66→26；4.1000×1.05³≈1157.625；5.(C51×C31)/C82=15/28；6.0.3×10+2.1=5.1；7.面积是边长平方；8.长5宽5时面积25；9.8+3×1.5=12.5；10.频率=高度×组距=0.2×5=1？哦不对，题目10选项可能我错了，重新算：频率分布直方图纵轴是频率/组距，所以频率=高度×组距，若高度0.2，组距5，则频率=1？但选项没有，可能题目组距是1？哦可能我笔误，调整：题目10组距1，则频率0.2，选B。抱歉，修正后10答案B。二、填空题答案1.y=2x+22.100×(1.01)^n万3.04.100×(1.05)^4≈121.555.6/15=2/56.4.27.S=πr²（幂函数r²部分）8.79.-1+4=310.0.03解析：1.斜率(6-2)/(2-0)=2，截距2；3.可行域顶点(0,0)时z最小；5.C42/C62=6/15=2/5；8.顶点x=2，y=7；10.高度=频率/组距=0.3/10=0.03。三、判断题答案1.√2.√3.×4.×5.√6.√7.×8.√9.×10.×解析：3.是预测值增b，不是实际y；4.首项负则递减；7.纵轴是频率/组距；9.如x≥0,y≥0,x+y≥1是开放；10.过拟合不好。四、简答题答案1.设生产A=a件，B=b件，目标函数L=50a+80b，约束：2a+3b≤120，a≤30，a≥0,b≥0。顶点：(0,40)→L=3200；(30,20)→L=50×30+80×20=3100；(30,0)→1500；(0,0)→0。最优方案：A0件，B40件，最大利润3200元。2.2030-2020=10年，人口=100×(1+1.2%)^10≈100×1.1268≈113万（保留整数）。3.销售额=售价×销量=x×(-2x+80)=-2x²+80x，开口向下，顶点x=20，此时销售额最大。4.至少1次品的对立事件是2正品，概率=1-C72/C102=1-21/45=24/45=8/15。五、讨论题答案1.函数模型：x≤10时y=2x；10<x≤20时y=2×10+3(x-10)=3x-10；x>20时y=2×10+3×10+4(x-20)=4x-30。25吨费用：4×25-30=70元。节约方法：控制用水量在20吨内，比如分阶段用水，避免超第三阶梯；合理规划家庭用水（如收集雨水浇花）。2.第5年末总收益：100×1.05^5+20×(1.05^4+1.05^3+1.05^2+1.05+1)≈100×1.2763+20×5.5256≈127.63+110.51≈238.14万。优点：复利增值，每年追加扩大本金；缺点：初期投入大，长期收益依赖利率稳定，若利率下降则收益降低。3.平均身高=152.5×0.1+157.5×0.2+162.5×0.3+167.5×0.25+172.5×0.15≈15.25+31.5