山西省卓越联盟2025～2026学年高三4月质量检测卷数学+答案

2025～2026学年高三4月质量检测卷考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={2,3,4},N={1,2,3},则集合M∩N中的元素个数为2.设复数z满足(1+zi)(1—i)=2i,则z=A.2—iB.1-2i3.已知向量a=(1,一1),b=(x,一5),4.已知等差数列{an}的各项都是整数，且a₁+a²=2,a₄=5,则{an}的前5项和为(一4,96)时，函数y=2f(x)—x-1的零点个数为A.95B.96【高三4月质量检测卷·数学第1页(共4页)】x轴垂直,则E的离心率为A.(1,十∞)B.[0,1]CD.A.该组数据的平均数为94B.该组数据的众数与中位数相同C.该组数据的极差为8D.该组数据的方差为4.44A.函数f(x)的图象关于点对称B.函数f(x)的图象关于直线对称D.g(x)在上单调递增11.已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,过点F斜率为2的直线与C交于A,B两点，|AB|=10,过点F与AB不重合的直线与C交于D,E两点，分别以D,E为切点的C的两A.p=2B.F(2,0)C.|TF|的最小值为4D.点T到AB中点的距离为5【高三4月质量检测卷·数学第2页(共4页)】【高三4月质量检测卷·数学第3页(共4页)】三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若定义在R上的奇函数f(x)满足x≥0时，f(x)=√x+1+a,则f(a)=13.有4张相同的卡片，有一张卡片上标有数字0,有两张卡片上分别标有数字1,2,另一张卡片的两面分别标有数字3,4,将这4个卡片摆在一起，使4张卡片上4个数字组成一个四位数，则这样的四位数共有个.14.已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为,AB=2,△BCD是边长为3的正三角形，AC=AD,则四面体ABCD的体积为·四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)(1)求sinA;(2)若a=√15,求b+c的最大值.16.(本小题满分15分)有30名同种疾病患者随机分成三组，每组各10名，分别服用A,B,C三类药物.服药一段时ABC已知该生理指标正常范围是(3.9,6.1).(1)从服用A,B,C类药物的患者中各随机选出1人，分别求选出的1人指标在正常范围内(2)30名患者中有5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5,6.3,6.4,5.6,5.2,现从这5名患者中随机选出2人，记X为选出的2人中指标不在正常范围的人数，求X的分布列和数学期望.【高三4月质量检测卷·数学第4页(共4页)】17.(本小题满分15分)(2)求直线PC与平面PBE所成的角的正弦值；(3)求平面PAB与平面PBE所成二面角的正弦值.18.(本小题满分17分)已知椭圆C₁与椭圆C(a₂>b₂>0),过C2的右顶点A与x轴垂直的直线与C₁的一个交点为,过C₁的右焦点F作x轴的垂线与C₂(1)求C₁,C2的方程；(2)若斜率为k的直线OM交C₂于点M,O是坐标原点，垂直于OM的直线ON交C₁于(ii)是否存在一个与直线MN相切的定圆?若存在，求出这个圆的标准方程；若不存19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=(x+a)e“,a∈R.(i)求曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线方程(用b表示);(ii)若x₁,x₂,x₃是g(x)的3个极值点，将x₁,x2,x₃经过一定顺序排列后成等比数列，,求b的值.参考答案、提示及评分细则1.B因为M={2,3,4},N={1,2,3},所以M∩N={2,3},集合M∩N中的元素个数为22.D由(1+zi)(1—i)=2i得(1+i)z=-1+3i,所以故选D.4.A设{a}的公差为d,由ax<96时，2f(x)=x+1有95个解，所以当x∈(一4,96)时，y=2f(x)一x—1的零点个数为96.故选B.8.D令g(x)=xlnx—x,则g'(x)=Inx,0<x<1时，g′(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减，0<x<1时，,h(x)在(0,十∞)上单调递增【高三4月质量检测卷·数学参考答案第1页(共6页)】【高三4月质量检测卷·数学参考答案第2页(共6页)】9.BCD由90+92+95+96+98+95+95+95+93+95=944得该组数据的平均数为94.4,A错误；将该组数据由小到大排列知该组数据的众数与中位数都是95,极差为98-90=8,BC正确；由(90-94.4)²+(92一94.4)²+…+(95—94.4)²=44.4知方差s²=4.44,D正确.故选BCD.10.BD因为f(x)的最小正周期为,所以f(x)的图象向左平个单位长度后得到*,*,12.1—√2f(0)=1+a=0,a=-1,f(a)=f(—1)=—f(1)=—(√2-1)=1—√2.24个，共36个.取CD中点E,连接AE,BE,则CD⊥平面ABE,设球心为(,过(O作OO⊥平面BCD,垂半径R,BF=1.由,由OF²+BF²=R²=0O+OB²,点A到平面BCD的距离d=ABsin,四面体ABCD的体积由A∈(0,π)知sinA>0,又sin²A+cos²A=1,…………………9分,其中锐角0满足…11分当时，b+c取得最大值2√10,此时………12分所以b+c的最大值2√10…………………… 16.解：(1)因为服用A类药物的10名患者中，有7人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在 正常范围内的概率为………………因为服用B类药物的10名患者中，有8人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范因为服用C类药物的10名患者中，有9人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范围内的概率为…………………【高三4月质量检测卷·数学参考答案第3页(共6页)】【高三4月质量检测卷·数学参考答案第4页(共6页)】(2)因为5名患者中，3人生理指标在正常范围内，2人生理指标不在正常范围内，所以X的可能取值为0,………………………11分所以X的分布列为：X012P17.(1)证明：因为E为AD的中点，AD=2,所以因为BC=CD=1,AD⊥CD,BC⊥CD,所以四边形BCDE是正方形，因为PA⊥平面ABCD,BEC平面ABCD,所以BE⊥PA,则P(0,0,2),E(0,1,0),B(1,1,0),C(1,2,0)…………4分设平面PBE的法向量为m=(x,y,≈),EB=(1,0,0),EP=(0,—1,2),有取z=1,得m=(0,2,1)……………7分设直线PC与平面PBE所成的角为θ,则……9分设平面PAB的法向量为n=(a,b,c),取a=1,得n=(1,—1,0)……………12分………………14分故平面PAB与平面PBE所成二面角的正弦值……15分18.解：(1)由题意知C₁的右焦点是F(1,0),由对称性知C₁的左焦点是F₁(一1,0),则|BF|+|BF₁|=2ai,………………… 当k≠0时，设直线OM:y=kx,所以当k=0时，|MN|取得最小值，|MN|的最小值为2√2.……………11分………15分所以k变化时，点O到直线MN的距离都是√2,…………16分所以存在圆x²+y²=2与直线MN相切.…………………17分当a=0时，f(x)=x在(-2,2)上单调递增；………………5分【高三4月质量检测卷·数学参考答案第5页(共6页)】【高三4月质量检测卷·数学参考答案第6页(共6页)】所以g(x)=(x—b)²f(x)=(x—bg(x)的定义域为R,g'(x)=2(x—b)(x+1)e+(x—b)