2024-2025学年广东深圳外国语高中园高一下学期期中数学试题含答案

高中深圳外国语学校高中园2024-2025学年度第二学期期中考试高一数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上．2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁和平整．第Ⅰ卷（选择题）一、单项单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.若复数，，则（）A. B. C. D.2.如图所示，用符号语言可表达（）A，， B.，，C.，，， D.，，，3.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A. B.C. D.4.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（）A.4 B. C.8 D.5.已知，则在上的投影向量为（）A. B. C.. D.6.如图，在中，为的三等分点且靠近点，为的中点，设，，则向量（）A. B.C D.7.已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（）A B.且 C. D.且8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A.－1 B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或多选错的不得分．9.已知是三个向量，则下列结论中正确的是（）A B.C. D.若，则10.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则11.已知复数，以下结论正确的是（）A.是纯虚数 B.C. D.在复平面内，复数对应的点位于第三象限第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，且，则________________.13.复数满足，则的最大值为________.14.如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为_______．四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16-17题各15分，第18-19题各17分，共77分．15.已知复数满足，是虚数单位.（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围.16.如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点．（1）若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积；（2）若，，，求四面体外接球的表面积．17.如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由.18.已知向量，，且与的夹角为.（1）求，；（2）当实数取何值时，向量与方向相反?（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.19.在锐角中，内角所对的边分别为，且满足．（1）求角；（2）求的取值范围；（3）当时，角的平分线交于，求长度的最大值．深圳外国语学校高中园2024-2025学年度第二学期期中考试高一数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上．2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁和平整．第Ⅰ卷（选择题）一、单项单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.若复数，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的加法法则计算即得.【详解】故选：C.2.如图所示，用符号语言可表达为（）A.，， B.，，C.，，， D.，，，【答案】A【解析】【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可．【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，故用符号语言可表达为，，，故选：A3.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断两个向量是否共线即可.【详解】对于A选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故A不合题意；对于B选项，

假设存在实数使得，则，，无解，所以不共线，可以作为平面的基底，故B正确；对于C选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故C不合题意；对于D选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故D不合题意.故选：B.4.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（）A.4 B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】求出矩形的面积，再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系求得答案.【详解】依题意，矩形的面积，而斜二测画法中直观图面积是原图形面积的，所以的面积为.故选：D5.已知，则在上的投影向量为（）A. B. C.. D.【答案】D【解析】【分析】计算，根据投影向量的计算公式直接计算即可.【详解】因为，所以，在上的投影向量为.故选：D6.如图，在中，为的三等分点且靠近点，为的中点，设，，则向量（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为为的三等分点且靠近点，则为的中点，．故选：D．7.已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（）A. B.且 C. D.且【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合共线向量的坐标表示求解.【详解】向量，则，由与的夹角为锐角，得，且与不共线，因此，解得且，所以实数的取值范围为且.故选：D8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A.－1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果.【详解】∵分别表示与方向的单位向量，∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线，∵，∴的平分线与垂直，故.取的中点，连接，则，由题意得，，∴.如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，故.设，则，∴，∴，，∴，当时，取得最小值，最小值为.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或多选错的不得分．9.已知是三个向量，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.若，则【答案】AB【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的数量积的运算律，结合向量数量积的几何意义，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由数量积的运算公式，可得，所以，所以A正确；对于B中，由向量数量积的运算律，可得，所以B正确；对于C中，，，所以与不一定相等，所以C错误；对于D中，由，若向量，此时，而与不一定相等，所以D错误.故选：AB.10.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AD【解析】【分析】利用面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理判断，即可判断.【详解】显然A正确；由面面垂直的性质定理可知，只有当时，才能推出，B错误；当时，与矛盾，C错误；借助直二面角的定义及法向量的定义可知成立，即D正确.故选：AD.11.已知复数，以下结论正确的是（）A.是纯虚数 B.C. D.在复平面内，复数对应的点位于第三象限【答案】ABD【解析】【分析】利用复数运算，及模的运算，结合复平面可作出各选项判断.【详解】对于A，，纯虚数，A正确；对于B，，B正确：对于C，，C错误：对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，且，则________________.【答案】【解析】【分析】由向量平行的充要条件可求得，进而可得的坐标.【详解】由题意，且，所以，解得，所以.故答案为：.13.复数满足，则的最大值为________.【答案】##【解析】【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值.【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，的几何意义为所对应的点到点的距离，因为，所以的最大值为.故答案为：14.如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为_______．【答案】【解析】【分析】取的中点，的中点，通过线面平行可得平面平面，由此可确定点的轨迹为线段，求出的长即可得到结果.【详解】如图，取的中点，的中点，连接，则，∵平面平面，∴平面，∵为的中点，∴，∵平面平面，∴平面，∵平面平面，∴平面平面，∵是侧面上一点，且平面，∴的轨迹为线段，由得点的轨迹的长度为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16-17题各15分，第18-19题各17分，共77分．15.已知复数满足，是虚数单位.（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简复数，由纯虚数的定义可得方程组，解出即可；（2）由复数的几何意义可得，解出的范围即可.【小问1详解】由，得，若是纯虚数，则有，所以.【小问2详解】复数在复平面内对应的点为，由在复平面上对应的点在第二象限，得，解得，所以实数的取值范围为.16.如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点．（1）若四面体各棱长均为，求该四面体的表面积和体积；（2）若，，，求四面体外接球的表面积．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依题意可得为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，即可求出其表面积，利用割补法求出其体积；（2）依题意长方体的外接球即为此四面体的外接球，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得到外接球的表面积．【小问1详解】若四面体各棱长均为，则长方体为棱长为的正方体，且四面体为正四面体，所以，；【小问2详解】由于四面体的四个顶点均为长方体的顶点，所以四面体外接球与长方体的外接球是同一个球，设此四面体所在长方体的棱长分别为，，，则，解得，设长方体外接球的半径为，则，则，所以外接球的表面积为．17.如图所示，四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证；（2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时，

分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论.【小问1详解】因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面.

下面给出证明：因为，所以，，又因为点为上靠近点三等分点，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为面，面，所以面，因为E在棱PD上且，即，又因为，所以，所以，又平面，平面，所以平面，又因为平面，平面，，所以平面平面.18.已知向量，，且与的夹角为.（1）求，；（2）当实数取何值时，向量与方向相反?（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根据向量的夹角公式结合已知条件列方程可求出，然后求出的坐标，从而可求出；（2）由题意得，且，然后列方程组可求得结果；（3）由题意得，且与的不共线，从而可求出实数的取值范围.【小问1详解】因为向量，，且与夹角为，所以，解得，所以，所以，所以；【小问2详解】因为向量与方向相反，所以存在，使，因为与不共线，所以，解得（舍去），或，所以；小问3详解】因为，，所以，，因为与的夹角为锐角，所以，且与的不共线，由，得，解得，由与的不共线，得，得，所以且，即实数的取值范围为.19.在锐角中，内角所对的边分别为，且满足．（1）求角；（2）求的取值范围；（3）当时，角的平分线交于，求长度的最大值