中考数学 圆的基本性质 专项训练

第六章圆第01讲圆的基本性质目录01·趋势领航练02·考点通关练03·真题诊断练基础通关题型01圆的概念辨析（★）题型02利用垂径定理求值（★）题型03垂径定理的实际应用（★）题型04利用弧、弦、圆心角的关系求解（★）题型05圆周角定理（★）题型06利用圆周角定理推论求解（★）题型07利用圆内接四边形的性质求解（★）题型08关于圆的性质的综合（★★）能力通关【趋势】结合变速自行车齿轮结构，考查圆的弧长（齿距本质为弧长）、旋转圈数与齿数的关联，侧重等量关系推导（相同时间内啮合齿数相等），以及实际场景中数学模型的应用。1．（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中A、B处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为n1、n2，主动轮每分钟转ω1圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转ω2圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出ω1（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿．若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）．【趋势】新定义“邻等内接四边形”的判断，圆内接四边形的性质（对角互补、直径所对的圆周角为直角），勾股定理、三角形中位线定理的应用，以及图形面积的计算。2．（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．(1)请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）．(2)如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AB=AD，求四边形ABCD的面积．【趋势】等腰三角形的三线合一、勾股定理的应用，圆的外接圆性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积计算，解直角三角形，以及探究类问题的思路迁移（从特殊到一般）。3．（2025年江苏省淮安市中考数学试题）探究与应用【问题初探】（1）在等腰三角形ABC的底边BC上任取一点P（不与端点重合），连接AP，线段AB、AP、BP、CP有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空：如图（1），过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∴AB2=A在Rt△APD中，∵∠ADP=90°，∴AP2=由①－②得：AB∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=．∴BD−PD=CD−PD=CP．……根据小刚的方法，可以得到线段AB、AP、BP、CP的数量关系是．【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，AD=AC=2，以CD为边构造正方形CDEF，利用（1）中的结论求正方形CDEF的面积．【灵活应用】（3）如图（3），⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交AC于点D，连接OB、OD，若OB=9，OD=5，CDBC=1【深度思考】（4）如图（4），在△ABC中，∠C=120°，点D、E分别在边AC、BC上，且满足AD=DE=BE，AE、BD交于点P，若tan∠CAE=15，则PB−PD【趋势】三角函数的定义，直角三角形的性质，圆的外接圆半径与正弦定理的关联（a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R），垂径定理、圆周角定理，以及线段最小值的求解。4．（2025年青海省西宁市中考数学数学试卷）综合与实践【问题提出】原题呈现（人教版九年级下册85页第14题）如图1，在锐角△ABC中，探究asin∠BAC，bsin【问题探究】将下列探究过程补充完整：（1）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E．在Rt△ABD中，sin∠ABC=∴AD=c⋅sin在Rt△ADC中，sin∠ACB=∴AD=b⋅sin∴c⋅sin∠ABC=b⋅sin同理，在Rt△AEB中，BE=在Rt△BEC中，BE=∴______=_____，即asin∴asin【结论应用】（2）如图2，在△ABC中，AB=23，∠A=70°，∠B=50°．求AC，BC的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：sin50°≈0.77，【深度探究】（3）如图3，⊙O是锐角△ABC的外接圆，半径为R．求证：asin【拓展应用】（4）如图4，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．则线段EF【趋势】尺规作图（找对称点），平行四边形的判定（对角线互相平分），相似三角形的判定与性质，圆周角定理，以及线段最大值的求解（利用外接圆直径的性质）。5．（2025·广东广州·中考真题）如图1，AC=4，O为AC中点，点B在AC上方，连接AB，BC．(1)尺规作图：作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接AD，DC，并证明：四边形ABCD为平行四边形；(2)如图2，延长AC至点F，使得CF=AC，当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的动点E，连接EA，EB，EC，EF，若∠AEC=45°，且△ABC∽△FCE．①求证：△ABC∽△CBE；②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．题型01圆的概念辨析（★）1．（2025·江苏泰州·三模）已知：下列函数①y=2x−5②y=12x2−1③y=A．①② B．②③ C．③④ D．①④2．（2025·四川成都·模拟预测）如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形ABC为等边三角形，若圆的半径为2cm，组合烟花的高为20cm，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）________cm23．（2025·四川南充·一模）如图，零件轮廓由一个半圆和一段抛物线y=23x2+c围成．若AB=6A．12 B．10 C．9 D．84．（2025·湖南娄底·三模）“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（

）A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径题型02利用垂径定理求值（★）5．（2025·新疆·模拟预测）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=43，则圆OA．43 B．2 C．4 D．6．（2025·甘肃酒泉·一模）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长．7．（2025·四川绵阳·一模）如图，D是△ABC的外接圆⊙O上的一点，EF是⊙O的弦，且EF经过OD的中点P．若∠A=30°,BC=4，则EF的长的取值范围是________．8．（2025·天津·一模）在⊙O中，直径BD垂直于弦AC，垂足为E，连接AB，(1)如图①，若∠ABC=110°，求∠BAE和∠CAD的大小；(2)如图②，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F．若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长．题型03垂径定理的实际应用（★）9．（2025·陕西汉中·二模）如图所示的是排污管道的横截面⊙O，其直径为1m，测得淤泥（阴影部分）横截面的最大宽度MN为0.8m，则淤泥的最大深度CD为（

）A．0.5m B．0.4m C．0.3m D．0.2m10．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交弧AB于点C，测出AB=8cm，CD=2cm，则圆形工件的半径为（A．4cm B．5cm C．7cm D．10cm11．（2024·浙江绍兴·二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB=4cm，CD=3cmA．4.8cm B．5cm C．5.2cm 12．（2025·江苏宿迁·一模）秋千吊绳的长度为3米，当秋千摆动时，吊绳向两边摆动的角度均为30°．则秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为_______．（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41,13．（24-25九年级上·浙江温州·期中）图1是建在溪边的一部水车，O是水车旋转中心，水车上的两个竹筒A，B到O的距离相等，当A，B离地高度相等时（如图2），水平距离AB为3米，当A转动到最低位置A'时，它的高度下降了0.5米，B也随之转动到B'的位置，此时B的高度上升了题型04利用弧、弦、圆心角的关系求解（★）14．（2025·湖南·模拟预测）如图，AD，BD是⊙O的两条弦，点C在⊙O上，B是AC的中点，连接OB，OC，若∠BOC=46°，则∠D的度数为（）A．22° B．23° C．44° D．46°15．（2025·陕西西安·二模）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，M为劣弧AC上一点，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，翻折后点M恰好与圆心O重合，则∠B的大小等于（

）A．50° B．55° C．60° D．65°16．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AB=AD．点E在BA的延长线上，若∠EAD=40°，则∠B的度数为_____．17．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形ABCD(由AB，BC，CD，DA组成)是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若AB=2，则封闭图形ABCD的周长是______．题型05圆周角定理（★）18．（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P是圆上任意一点，连接BP，CP，则∠BPC的度数为（

）A．60° B．54° C．48° D．30°19．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为4cm的⊙O中，劣弧AB的长为2πcm，则∠C=（A．90° B．60° C．45° D．30°20．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，AB为⊙O直径，点C在AB上，∠BAC=60°，D为AC的中点，DO的延长线与⊙O交于点E，CE和AB交于点F，则OFBF的值为（

A．33 B．12 C．3221．（2025·四川绵阳·一模）如图．△ABC内接于⊙O，连OA，点D在⊙O上，连AD，交BC于E，∠CAD=∠BAO，过D作DF⊥AB于F，交BC于G，若2∠BAD−∠ADB=3∠CAD，2AE=3DE，AC=1，则OA的长是______．题型06利用圆周角定理推论求解（★）22．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ADC=116°，点E在⊙O上，则∠BEC=________．23．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，若⊙O的半径是6.5，AB=12，则sin∠ACD的值为_____24．（2025·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以△ABC的边AB为直径的圆交BC边于点M，∠ABC=60°，B、M为格点．（1）线段AB的长为_____；（2）在线段AC上有一点N，满足MN与以AB为直径的圆相切于点M，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点N，并简要说明点N的位置是如何找到的（不要求证明）___________．25．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2，E为BC的中点，AB上有一点F，若∠CFE=∠CAE，则△CFE的面积等于______．题型07利用圆内接四边形的性质求解（★）26．（2025·安徽·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD=（

）A．100° B．110° C．120° D．130°27．（2025·陕西·模拟预测）如图，点A, B, C, D, E均在⊙O上，且A．34° B．30° C．28° D．32°28．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在⊙O中，AC是圆的直径，四边形BDFC是圆的内接四边形，且BF⊥CD，已知AB=4,tanA=34，∠CFD=120°，AC+BF+CD=3A．103−67 B．303−48729．（2025·河南信阳·三模）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直线BE与⊙O相切于点B，AC∥BE，∠BAC=55°，则∠ADC的度数为题型08关于圆的性质的综合（★★）30．（2025·北京·模拟预测）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，PD是⊙O的切线，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．(1)求证：AP平分∠DAB；(2)若AC=5，sin∠APC=51331．（2025·天津·一模）已知CD，BE为⊙O的直径，弦AB⊥CD，连接AC，BC，∠(1)如图①，求∠BCD和∠(2)如图②，过点D作⊙O的切线，与CB的延长线交于点G，⊙O的半径为4，求线段BG的长．32．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，E为DC边上一点．若AE∥BC，AE=EC=7，AD=6，连接AC、BE交于点(1)AB的长．(2)EG的长．33．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，E在DA的延长线上，且BE与⊙O相切．AB平分∠EAC．(1)判断BO与CD的位置关系，并说明理由；(2)若BE=4，AD=3AE，求⊙O的半径．34．（2025·安徽合肥·二模）如图，AB是⊙O的弦，点C为⊙O上一点，CO的延长线垂直于AB，垂足为H，点D为弧AC上一点，且∠ABD=∠OCB，延长AD交OC的延长线于点E，连接AC、BD、BC、CD．(1)求证：AC⊥BD；(2)点F为CE上一点，DF平分∠CDE，且∠DFC=45°，求∠DCE的度数．35．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接AC、BD，(1)求证：CA=CB；(2)若点B为CAD的中点，DE=2，CE=6时，求1．（2026·湖南·模拟预测）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用寒假时间进行测量活动．活动主题摩天轮每个座舱的运行速度测量工具测距仪、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某广场有一座摩天轮（如实物图），其轮盘呈圆形，其示意图如下：O为轮盘的圆心，OA、OB是支撑架，OA=OB,C是轮盘的最低点，OC垂直于地面，每个座舱（大小忽略不计）都在轮盘的圆周上匀速运行．测绘过程与数据信息①在地面取一点D，使得D、A、B在同一条直线上，过点C作CE⊥AB，连接DO交⊙O于点F；②用测距仪测得AB的长为24m,DF的长为③在点A处用测角仪测得∠CAB=60°，在点D处用测角仪测得∠ODA=45°；④用计算器计算得：2≈1.41，3≈1.73，请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：(1)求轮盘最低点C离地面的高度；(2)若此摩天轮旋转一周需要26分钟，求此摩天轮每个座舱的运行速度．（结果保留π）2．（2026·陕西西安·一模）【问题探究】（1）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若△ABC的面积为（2）如图②，半圆O的直径AB=8，点C是半圆O上的一个动点，求△ABC面积的最大值；【问题解决】（3）如图③，某公园有一个三角形的演艺广场ABC，其中AB=20米，∠ACB=90°，∠CAB=60°．在演艺广场的三个角各装有一个旋转射灯，点A和点B处的射灯发出的光线夹角∠AMB始终等于45°，且光线AM在∠BAC的内部运动．点C处的射灯发出的光线与AM交于点N，且光线CN始终与光线BM平行．请探究四边形BMCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形BMCN面积的最大值；若不存在，请说明理由．3．（2026·江苏南京·一模）如图1，在⊙O中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧COD与直线AB相切于点C，且OC=10．(1)求点D到直线AB的距离．(2)如图2，优弧COD上存在一动点M，OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线l∥OC，直线l与优弧COD交于另一点N．①当直线l与优弧COD相切时，t的值为______．②当t=2时，求阴影部分面积．(3)在（2）的转动过程中，如图3，过点M作直线MP⊥OD，与直线AB交于点P，则在转动过程中，CP的最大值为___．4．（2025·上海·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，圆O的圆心在△ABC内部，与△ABC的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段AB上），射线AO交边MN于点P．如果DE=FG；(1)求证：BM=NC．(2)连接EM、NG，求证：∠BEM=∠NGC．5．（2026·江苏南通·一模）综合与实践问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．探究发现：如图1，在△ABC中，AC=BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F，连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC=S△APC+，则实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC=3，点G是AB边上一点．连结CG，将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，当AG=1时，求PD+PE的值；拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC=BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB=10，AD=2，BD=456．（2026·安徽·一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，E是AB上一点，连接CE并延长交AD于点F，延长AD，CB交于点G，AC⏜=CD⏜，(1)求证：CF⊥AB；(2)若EF=2，AG=14，求⊙O的半径长．7．（2025·江西·二模）课本再现（1）如图（1），四边形ABCD内接于⊙O，请你写出∠B与∠D之间的关系，并给出证明；拓展应用（2）如图（2），△ABC内接于⊙O．∠B=2∠C，将弧AC沿着AC边对折，与BC边交于点D，连接AD．求证：AB=CD．1．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=2CD．若AB=6, CD=13A．134 B．72 C．92．（2025·四川南充·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（

）A．4 B．27 C．6 D．3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使AD=AC，连接CD，则∠ACD为（

）A．70° B．50° C．45° D．40°4．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=90°，DC=BC，直线EA与⊙O相切于点A．若∠BCD=128°，则∠DAE的度数为（

）A．52° B．54° C．64° D．74°5．（2025·广东·中考真题）如图，在直径BC为22的圆内有一个圆周角为90°的扇形ABC．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（

A．15 B．14 C．136．（2025·山西·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若AC=BC，则∠D的度数为（A．30° B．45° C．60° D．75°7．（2025·四川自贡·中考真题）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．点C在⊙O上，不与点A，B重合．若A．50° B．100° C．130° D．50°或130°8．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是（

）A．50° B．55° C．65° D．70°9．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点A3,0为圆心，13为半径作⊙A．直线y=kx−3k+2与⊙A交于B,C两点，则BC的最小值为____________10．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1−12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0−12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______．（参考数据：sin15°=6−11．（2025·江苏淮安·中考真题）观察点和观察的图形在同一平面内，我们把以观察点为顶点，包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角．如图（1），α为观察点P观察正方形的张角．如图（2），在正方形所在平面内观察这个正方形，若张角为90°，则观察点的位置都在图中的圆弧上．如图（3），等边三角形ABC的边长为6，在三角形所在平面内观察这个三角形，若张角为30°，则所有符合条件的观察点组成的图形周长为______．12．（2025·海南·中考真题）如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB=90°，AB=4，BC=7．（1）△AEB面积的最大值为_______；（2）连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD=120°，则线段MN长度的最小值为_______．第六章圆第01讲圆的基本性质目录01·趋势领航练02·考点通关练03·真题诊断练基础通关题型01圆的概念辨析（★）题型02利用垂径定理求值（★）题型03垂径定理的实际应用（★）题型04利用弧、弦、圆心角的关系求解（★）题型05圆周角定理（★）题型06利用圆周角定理推论求解（★）题型07利用圆内接四边形的性质求解（★）题型08关于圆的性质的综合（★★）能力通关【趋势】结合变速自行车齿轮结构，考查圆的弧长（齿距本质为弧长）、旋转圈数与齿数的关联，侧重等量关系推导（相同时间内啮合齿数相等），以及实际场景中数学模型的应用。1．（2025·江苏镇江·中考真题）为什么变速自行车会“变速”？变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是_____．（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿．若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是_____（写出一种即可）．【答案】［探究]（1），，（2）从动轮的转速为每分钟160圈，“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致［发现]更换不同齿数的从动轮或主动轮【分析】本题主要考查了圆的性质，旋转的性质，比的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系．［探究]（1）根据题意，列出代数式，根据等式求出比值即可；（2）借助（1）的结论，根据齿数相等，进行求解即可，观察图中圆旋转的方向，可得“惰轮”的作用；［发现]根据齿数相等，可选择更换不同齿数的从动轮或主动轮进行变速．【详解】解：［探究]（1）主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有个，∵∴，故答案为：，，；（2）从动轮的转速为（圈/分钟），“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致，∴从动轮的转速为每分钟160圈；［发现]实现自行车“变速”的方法可以是：更换不同齿数的从动轮或主动轮．【趋势】新定义“邻等内接四边形”的判断，圆内接四边形的性质（对角互补、直径所对的圆周角为直角），勾股定理、三角形中位线定理的应用，以及图形面积的计算。2．（2025·四川遂宁·中考真题）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．(1)请同学们判断下列分别用含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）．(2)如图，四边形是邻等内接四边形，且，，，，求四边形的面积．【答案】(1)③(2)【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答．（2）先根据勾股定理算出，设，，结合勾股定理整理得，代入数值得，再证明是的中位线，则，分别算出和，即可作答．【详解】（1）解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形，图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形，故答案为：③；（2）解：∵，，，∴，∵四边形是邻等内接四边形，∴四点共圆，且为直径，把的中点记为点，即四点在上，连接，，相交于点，∵，∴，设，，∵，∴，则在中，，在中，，∴，即，解得，∴则即，∵是直径，∴，∵，，∴是的中位线，∴，则．，∴四边形的面积．【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【趋势】等腰三角形的三线合一、勾股定理的应用，圆的外接圆性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积计算，解直角三角形，以及探究类问题的思路迁移（从特殊到一般）。3．（2025年江苏省淮安市中考数学试题）探究与应用【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空：如图（1），过点A作于点D，在中，∵，∴．

①在中，∵，∴．

②由①－②得：．∵，，∴．∴．……根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是．【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积．【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长．【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为．【答案】（1），，，见解析（2）（3）（4）【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可；（2）利用（1）中结论得到，进而求出，即可得出结果；（3）延长交于点，连接，利用（1）中结论得到，证明，得到，推出，代入中，进行求解即可；（4）设，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出，作，垂足分别为，则：，根据，设，则，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出的长，进行求解即可．【详解】解：（1）如图（1），过点A作于点D，在中，∵，∴．①在中，∵，∴．②由①－②得：．∵，，∴．∴．∵，∴，故答案为：，，；（2）∵等腰直角三角形中，，，∴，∵，∴；由（1）中结论可知：，即：，∴，∴正方形的面积；（3）延长交于点，连接，则：，由（1）中结论可知：，即：，∴；∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得；（4）∵，∴，设，则：，∵，∴，∴，作，垂足分别为，则：，∵，∴设，则，在中，，∴，，∴，，同理：，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形，熟练掌握（1）中得到的结论，是解题的关键．【趋势】三角函数的定义，直角三角形的性质，圆的外接圆半径与正弦定理的关联（a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R），垂径定理、圆周角定理，以及线段最小值的求解。4．（2025年青海省西宁市中考数学数学试卷）综合与实践【问题提出】原题呈现（人教版九年级下册85页第14题）如图1，在锐角中，探究，，之间的关系．【问题探究】将下列探究过程补充完整：（1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E．在中，，

∴，在中，，

∴，∴，即，同理，在中，_____，在中，_____，∴___________，即，∴；【结论应用】（2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．）【深度探究】（3）如图3，是锐角的外接圆，半径为．求证：．【拓展应用】（4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________．【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）．【分析】（1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可；（2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可；（3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证；（4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解．【详解】（1）解：同理，在中，，在中

，，∴，即，∴；故答案为：，，，；（2）解：，，由（1）知：，，，，，；（3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则，，是直径，，在中，，∴，在中，，

∴，∴，同理，在中，，在中，可得，，∴；（4）解：过O作，连接，，，，，，，，在中，，，，当时，最小，此时也最小，过A作于，在中，，，，长度的最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识解决问题．【趋势】尺规作图（找对称点），平行四边形的判定（对角线互相平分），相似三角形的判定与性质，圆周角定理，以及线段最大值的求解（利用外接圆直径的性质）。5．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，．(1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形；(2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且．①求证：；②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键；（1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；（2）①根据得出，，根据已知可得；②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解．【详解】（1）解：如图，∵为中点，∴，根据作图可得，∴四边形为平行四边形，（2）①∵，∴，∵，∴，∵，∴且，∴，∴，②∵，，∴在的外接圆上运动，设的外接圆为如图，设与交于点，连接，∴∴∵∴，∵∴又∵∴又，则，∴∴∴当为的直径时，取得最大值为∴的最大值为题型01圆的概念辨析（★）1．（2025·江苏泰州·三模）已知：下列函数①②③④，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【分析】要确定三点能否确定一个圆，需判断三点是否共线，若三点共线，则无法确定圆；否则可以确定唯一的圆，再结合所给函数图象与性质逐个判定即可得到答案．【详解】解：①是直线，其图象上任意三点必然共线，无法确定圆，故①不满足题意；②是抛物线，直线与抛物线最多有两个交点，因此抛物线上任意三点不共线，可以确定圆，故②满足题意；③是反比例函数，图象为双曲线，直线与双曲线最多有两个交点，因此双曲线上任意三点不共线，可以确定圆，故③满足题意；④图象上三点、和共线，在直线图象上，存在三点共线的情况，这三点无法确定圆，故④不满足题意；综上所述，满足题意的是②③，故选：B．2．（2025·四川成都·模拟预测）如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形为等边三角形，若圆的半径为，组合烟花的高为，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）________．（取3）【答案】960【分析】本题考查了圆的周长、等边三角形的性质，先根据圆和等边三角形的相关知识点求出烟花的截面周长，结合组合烟花的高为，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图：由题意可得：等边三角形的边长，∴等边的周长是，∵圆的周长，∴烟花的截面周长，∴组合烟花侧面包装纸的面积．故答案为：960．3．（2025·四川南充·一模）如图，零件轮廓由一个半圆和一段抛物线围成．若，则（

）A．12 B．10 C．9 D．8【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，求出．得到，代入得到，则，即可求出答案．【详解】解：由题意可得，．∴,将代入抛物线，，解得，∴,∴．故选：C4．（2025·湖南娄底·三模）“转化”是一种重要的解决问题策略，在我们数学学习中经常会运用到．例如探索圆的面积计算公式时，许多同学会将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的平行四边形（如图①），然后推导出圆的面积计算方法．小亮在研究时，将圆形纸片剪成16等份，拼成一个近似的梯形（如图②）．请仔细观察拼成的这个梯形，梯形的上底与下底的和与梯形的高分别是（

）A．圆周长，圆的半径 B．圆周长，圆的直径C．圆周长的一半，圆的半径 D．圆周长的一半，圆的直径【答案】D【分析】本题考查圆的面积的推算，观察图形可知梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径，据此解答．【详解】解：由图可得梯形的上底与下底的和为圆周长的一半，梯形的高为圆的直径，故选：D．题型02利用垂径定理求值（★）5．（2025·新疆·模拟预测）如图，是圆O的直径，弦，，，则圆O的半径是（）A． B．2 C．4 D．【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．先根据垂径定理得到，，再利用圆周角定理得到，然后根据含度的直角三角形三边的关系结合勾股定理求解．【详解】解：如图，记于点E．∵弦直径，∴，，∴，∴，∴∵在中，，即，∴．故选：C6．（2025·甘肃酒泉·一模）如图所示，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与，分别交于点，，求，的长．【答案】，．【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，作于，则，由勾股定理得，通过，从而求出，然后通过勾股定理得，然后代入即可求出的长，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，作于，∴，在中，由勾股定理，得∵，得，∴，在中，由勾股定理，得：，∴，∴．7．（2025·四川绵阳·一模）如图，D是的外接圆上的一点，是的弦，且经过的中点P．若，则的长的取值范围是________．【答案】【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，，根据已知条件得到是等边三角形，求得，得到，求得，当时，连接，由勾股定理得到，由垂径定理得，当是过点的直径时，，于是得到结论．【详解】解：连接，，，，，是等边三角形，，，∵经过的中点P，，当时，连接，，，当是过点的直径时，，的长的取值范围是，故答案为：．8．（2025·天津·一模）在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接．(1)如图①，若，求和的大小；(2)如图②，过点C作的切线交的延长线于点F．若，，求此圆半径的长．【答案】(1)，(2)半径为4【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理．熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到，所以，然后利用为直径得到，则利用互余可计算的度数；（2）连接，如图②，利用垂径定理得到，则垂直平分，所以，于是可判断是等边三角形得到，根据圆周角定理得到，，接着证明是等边三角形得到，，然后根据切线的性质得到，所以，则，于是利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可．【详解】（1）解：∵直径于E点，∴，∴，∴，∵为直径，∴，∴；（2）解：连接，如图②，∵，∴，即垂直平分，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，，又∵，∴是等边三角形，∴．∵切于点C，∴，∴，∴，∴，∴．∴，即半径为4．题型03垂径定理的实际应用（★）9．（2025·陕西汉中·二模）如图所示的是排污管道的横截面，其直径为1m，测得淤泥（阴影部分）横截面的最大宽度为0.8m，则淤泥的最大深度为（

）A．0.5m B．0.4m C．0.3m D．0.2m【答案】D【分析】连接，可得m，m，，在中，通过勾股定理求得，然后即可求解．【详解】解：连接，如图由题可得：m，m，，∴m，在中，，∴m，∴m，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理的实际应用，掌握垂径定理，勾股定理是解答本题的关键．10．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心一定在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，∵是弦的垂直平分线，∴圆心一点在直线上，又∵是弦的垂直平分线，，∴，，设圆形工件的半径为，则，∵，∴，在中，，即，解得，∴圆形工件的半径为，故选：B．11．（2024·浙江绍兴·二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，，，∵，，，，设，，，，，，，，，纸杯的直径为．故选：B．12．（2025·江苏宿迁·一模）秋千吊绳的长度为3米，当秋千摆动时，吊绳向两边摆动的角度均为．则秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为_______．（结果精确到0.1米，参考数据：）【答案】米【分析】本题考查了解直角三角形的应用，垂径定理的应用，解题的关键是将实际问题抽象为几何问题．设秋千摆至最低点时的位置为，连接，交于，当秋千摆至最低点时，点为弧的中点，由垂径定理的推论知，，再解直角，求得，进而求出即可．【详解】解：如图，设秋千摆至最低点时的位置为，连接，交于，由题意得，点为弧的中点，经过圆心，，，，∵，，∴在中，，，，即它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为米，故答案为：米．13．（24-25九年级上·浙江温州·期中）图1是建在溪边的一部水车，是水车旋转中心，水车上的两个竹筒，到的距离相等，当，离地高度相等时（如图2），水平距离为3米，当转动到最低位置时，它的高度下降了0.5米，也随之转动到的位置，此时的高度上升了__________米．【答案】1.3【分析】本题考查了勾股定理，生活中的旋转现象，垂径定理，设与相交于点C，过点作，垂足为D，根据题意可得：米，米，，米，然后设米，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算可得：米，最后设米，则米，在和中，利用勾股定理可得：，从而进行计算即可解答．【详解】解：如图：设与相交于点C，过点作，垂足为D，由题意得，米，米，∵当转动到最低位置时，∴，（米），，设米，则米，在中，，∴，解得：，∴米，设米，则米，在中，，在中，，∴，解得：，∴米，∴（米），∴此时B的高度上升了1.3米，故答案为：1.3．题型04利用弧、弦、圆心角的关系求解（★）14．（2025·湖南·模拟预测）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．【详解】解：连接，是的中点，，，，故选：．15．（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了翻折的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，连接，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，结合圆周角定理求解即可．【详解】解：连接，，，，由翻折得：，，为等边三角形，，∴，∴，，故选：C．16．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形内接于，为的直径，．点在的延长线上，若，则的度数为_____．【答案】/70度【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质等，连接，由圆内接四边形的性质和补角性质可得，即得，又由得，即得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，连接，∵四边形内接于，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．17．（2025·浙江·模拟预测）如图，以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形由，，，组成是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若，则封闭图形的周长是______．【答案】/【分析】连接，如图，先根据等边三角形的性质得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到，所以，所以封闭图形ABCD的周长的长，然后根据弧长公式计算即可．本题考查了弧长的计算，弧长公式：其中n为圆心角的度数，R为圆的半径也考查了等边三角形的性质．【详解】解：连接，如图，为等边三角形，，，，，，，封闭图形的周长的长故答案为：题型05圆周角定理（★）18．（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正六边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键．连接、，根据正六边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案．【详解】解：连接、，如图所示：正六边形内接于，，P是圆上任意一点，，根据圆周角定理，，故选：D．19．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键．连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：连接、，设的度数为，则，解得，，，故选：C．20．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，为直径，点C在上，，D为的中点，的延长线与交于点E，和交于点F，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．连接，作于点，证明是等边三角形，是等腰直角三角形，设的半径为，利用勾股定理求得，证明，求得，∴，据此求解即可．【详解】解：连接，作于点，∵，，∴是等边三角形，∴，∵D为的中点，∴，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，设的半径为，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，故选：A．21．（2025·四川绵阳·一模）如图．内接于，连，点D在上，连，交于，，过D作于F，交于G，若，，，则的长是______．【答案】【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，圆周角与圆心角的关系，直角三角形的性质，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．连接，过点O作，先利用题目中给的角度关系进行转换，得到，再证明垂直平分，从而证得是等腰直角三角形，根据题意设，，用含有x的式子将的三边表示出来，并用勾股定理列方程，求解出的值，再分类讨论，即可求解．【详解】解：连接，过点O作，根据图形，可知，，，，，在中，，，，，，，，，，，又，，，，垂直平分，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，设，，，，在中，，解得或，，，当时，，，，，，当时，，，，，此情况不成立，综上所述，．故答案为：．题型06利用圆周角定理推论求解（★）22．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则________．【答案】【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求出．【详解】解：如图，连接，∵四边形内接于，，∴，∵是的直径，∴，∴，由圆周角定理得：，故答案为：．23．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径是6.5，，则的值为_____．【答案】【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，求一个角的正弦值，连接，将要求的值转化到中求解是解题的关键；连接，利用题中条件和勾股定理得出的三边长，进而可求的值，根据同弧所对的圆周角相等得，即可作答．【详解】如图，连接，为直径，的半径是6.5，，，，又在中，，，故答案为：24．（2025·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以的边为直径的圆交边于点M，，B、M为格点．（1）线段的长为_____；（2）在线段上有一点N，满足与以为直径的圆相切于点M，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点N，并简要说明点N的位置是如何找到的（不要求证明）___________．【答案】6见解析；见解析【分析】该题考查了直角三角形的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出图形．（1）根据直径，再根据直角三角形30度角的性质求解即可；（2）取格点E、F、G、H、R、I、S、Z，连接、、、，分别与格线交于点P、Q、X、Y，连接、，与交于点O，则O为中点，即圆心；取格点D，连接，与圆交于点J，连接并延长，交于点K，连接交于点N，则点N即为所求．【详解】解：（1）∵为直径∴，∵，，∴，∴；故答案为：6．（2）如图，点N即为所求．取格点E、F、G、H、R、I、S、Z，连接、、、，分别与格线交于点P、Q、X、Y，连接、，与交于点O，则，且，，且，P、Q、X、Y是、、、的中点，点是的中点，，，，，，由（1）可知，，O为中点，即圆心；取格点D，连接，与圆交于点J，连接并延长，交于点K，连接交于点，，，，、、、、是等边三角形，，，，，，，，，，，，又，，，，，，即是的切线，与的交点即为所求作点．25．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，E为的中点，上有一点F，若，则的面积等于______．【答案】【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．作的外接圆，圆心为点O，过点C作于点H，根据等腰直角三角形性质得，，则，进而得，是外接圆的直径，再根据得点F在外接圆上，则，由此得是等腰直角三角形，设，，据此得，则，继而得，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积．【详解】解：作的外接圆，圆心为点O，过点C作于点H，如图所示：在等腰中，，，，由勾股定理得：，，，，是外接圆的直径，又，根据圆周角定理得：点F在外接圆上，，即，，是等腰直角三角形，设，由勾股定理得：，点E是的中点，，，解得：，，，的面积为：．故答案为：．题型07利用圆内接四边形的性质求解（★）26．（2025·安徽·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理；根据已知得出，则，进而即可求解．【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，∴，∴，∴；故选：D．27．（2025·陕西·模拟预测）如图，点均在上，且，连接，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据题意求出，根据在同圆（或等圆）中，圆心角所对的弧度数是其所对圆周角的2倍求出的度数．【详解】解：如图，连接，四边形为的内接四边形，，即，，即，，，故选：D28．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在中，是圆的直径，四边形是圆的内接四边形，且，已知，，，则的长度为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，连接，根据解直角三角形得到，根据勾股定理求出，则，由圆的内接四边形的性质得到，再根据勾股定理求得，则，设，则，根据解直角三角形得到，联立得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：连接，如图：∵是直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四边形是圆的内接四边形，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，设，则，∴，∴，联立得：，解得：，∴，故选：D．29．（2025·河南信阳·三模）如图，是四边形的外接圆，直线与相切于点B，，，则的度数为___________．【答案】【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，连接、，先根据圆周角定理得，则，再根据切线的性质求出，根据平行线的性质得，则，再根据圆内接四边形的性质可求出的度数．【详解】解：如图，连接、，∵，∴，∵，∴，∵直线与相切于点B，∴，∴，∵，∴，∴，∵是四边形的外接圆，∴．故答案为：．题型08关于圆的性质的综合（★★）30．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，为的直径，C为上一点，是的切线，过点P作的垂线，交的延长线于点D．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)6【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是掌握切线的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质．（1）由切线的性质，垂直的定义推出，得到，由得到，因此，即可证明平分；（2）由圆周角定理得到，因此，求出的长，由勾股定理求出的长，由垂径定理求出的长，由矩形的性质即可求出的长．【详解】（1）证明：连接，∵与圆相切于P，∴半径，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）解：连接，如图，∵是圆的直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴．31．（2025·天津·一模）已知为的直径，弦，连接．(1)如图①，求和的度数；(2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点的半径为4，求线段的长．【答案】(1)，(2)的长是【分析】（1）由为的直径，弦，得垂直平分，，则，所以，则是等边三角形，所以，由，得，则；（2）为的直径，的半径为，得，因为，所以是等边三角形，则，由切线的性质得，则，所以，则，求得．【详解】（1）解：∵为的直径，弦∴垂直平分，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴和的度数都是．（2）∵为的直径，的半径为4，∴，∴，∵是等边三角形，∵，∴是等边三角形，∴，∵与相切于点D，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴的长是．【点睛】本题主要考查垂径定理，切线的性质，特殊角的三角函数值的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键．32．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形内接于，为的直径，为边上一点．若，，，连接交于点．求：(1)的长．(2)的长．【答案】(1)(2)【分析】（）由等腰三角形和平行线的性质可得，即得，得到，即可求解；（）延长交于点，可证，得到，进而由可得，即得，即得到，再由得，得到，即得到，最后根据即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴；（2）解：如图，延长交于点，由（）可知，，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴为的中点．∵，∴，∴，∵，

∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，弧弦圆心角的关系，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键．33．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，四边形内接于，为直径，在的延长线上，且与相切．平分．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的半径．【答案】(1)，见解析(2)【分析】（1）连接，，先证，得点B在线段的垂直平分线上，再证点O在线段的垂直平分线上，从而有垂直平分线段，即可得解；（2）连接，，先证，得，，从而求得，，，再利用勾股定理求得，，从而即可得解．【详解】（1）解：，理由如下：如下图，连接，，∵四边形内接于，，，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴点B在线段的垂直平分线上，∵，∴点O在线段的垂直平分线上，∴垂直平分线段，∴；（2）解：连接，，∵与相切，∴，∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，，，∴，，∴，，，

∴，，∴，∴的半径为．【点睛】本题主要考查了切线的性质、线段垂直平分线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定以及性质，勾股定理；熟练掌握线段垂直平分线的判定以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．34．（2025·安徽合肥·二模）如图，是的弦，点为上一点，的延长线垂直于，垂足为，点为弧上一点，且，延长交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)点为上一点，平分，且，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，垂直平分线的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．（）设与交于点，由垂径定理得，，则有，，然后通过三角形的内角和定理即可求证；（）由角平分定义可设，则，通过圆内接四边形和平角定义可得，则有，，，最后由角度和差求出的值即可．【详解】（1）证明：设与交于点，∵，∴，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵平分，∴，设，则，∵四边形是圆内接四边形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，解得，∴．35．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分．(1)求证：；(2)若点B为的中点，时，求的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．（1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，即可证明；（2）过点C作于H，设，则，由角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，则，再由弧与弦之间的关系得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【详解】（1）证明：∵四边形内接于，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：过点C作于H，，设，则，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，同理可证明，∴，∴，∵点B为的中点，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，1．（2026·湖南·模拟预测）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用寒假时间进行测量活动．活动主题摩天轮每个座舱的运行速度测量工具测距仪、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某广场有一座摩天轮（如实物图），其轮盘呈圆形，其示意图如下：为轮盘的圆心，是支撑架，是轮盘的最低点，垂直于地面，每个座舱（大小忽略不计）都在轮盘的圆周上匀速运行．测绘过程与数据信息①在地面取一点，使得在同一条直线上，过点作，连接交于点；②用测距仪测得的长为的长为；③在点处用测角仪测得，在点处用测角仪测得；④用计算器计算得：，，．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：(1)求轮盘最低点离地面的高度；(2)若此摩天轮旋转一周需要26分钟，求此摩天轮每个座舱的运行速度．（结果保留）【答案】(1)轮盘最低点离地面的高度为(2)此摩天轮每个座舱的运行速度为【分析】该题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，圆的周长，解题的关键是解直角三角形．（1）根据等腰三角形的性质得出，在中，解直角三角形求出即可．（2）设，在中，表示出，求出，再求出此摩天轮旋转一周的路径长，即可解答．【详解】（1）解：由题意得：，，，，，在中，，则轮盘最低点离地面的高度为．（2）解：由题意得：，，，，设，在中，，解得：，，则，又，，则此摩天轮每个座舱的运行速度为．2．（2026·陕西西安·一模）【问题探究】（）如图①，在四边形中，，对角线相交于点，若的面积为，则的面积为______；（）如图②，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，求面积的最大值；【问题解决】（）如图③，某公园有一个三角形的演艺广场，其中米，，．在演艺广场的三个角各装有一个旋转射灯，点和点处的射灯发出的光线夹角始终等于，且光线在的内部运动．点处的射灯发出的光线与交于点，且光线始终与光线平行．请探究四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（）；（）；（）平方米【分析】（）根据平行线的性质即可求解；（）当时，点到的距离最大，此时面积最大，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解；（）过点作交的延长线于点，可得四边形为平行四边形，进而得到，即得到，又由，米，可得点在上运动，连接，过点作于，的延长线交于点，过点作于点，则，，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得米，米，即得到，再根据三角形的面积公式计算即可求解．【详解】解：（）∵，∴点和点到的距离相等，∴，故答案为：；（）如图，当时，点到的距离最大，此时面积最大，∵，，∴，又∵，，∴，∴，即面积的最大值为；（）解：存在，理由如下：如图③，过点作交的延长线于点，∵，∴四边形为平行四边形，，∴，∴，∴，∵，∴，∵米，，，∴米，∴点在上运动，连接，过点作于，的延长线交于点，过点作于点，则，，∵，，，∴米，米，∴米，∴米，∴（平方米），∴四边形面积的最大值为平方米．【点睛】本题考查了平行线的性质，圆的性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，点和圆的位置关系，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．3．（2026·江苏南京·一模）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且．(1)求点到直线的距离．(2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点．①当直线与优弧相切时，的值为______．②当时，求阴影部分面积．(3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___．【答案】(1)；(2)①或；②；(3)【分析】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，关键是熟练掌握圆的相关性质，结合几何图形的特点，通过作辅助线构造直角三角形或特殊三角形，结合图形的运动变化分析求解．（1）先根据圆心角和半径相等判定为等边三角形，得到的长度和的度数，再结合切线的性质得到，进而求出的度数，最后利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，求出点到的距离．（2）①分直线在左侧和右侧两种相切的情况，结合切线的性质、平行线的性质得到，分别求出两种情况下旋转的角度，再结合转动速度求出对应的值；②先根据的值求出的度数，结合平行线和切线的性质得到相关角的度数，再利用垂径定理和直角三角形的性质求出的长度和圆心到的距离，最后用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积．（3）通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将的长度转化为与相关的表达式，再根据垂线段最短的性质得到的最大值，进而求出的最大值．【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，∵，，∴为等边三角形，∴，，∵优弧与直线相切于点，∴，∴，∴，在中，，，∴，即点到直线的距离为；（2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，∵直线与优弧相切，∴，∵直线，∴，∴，∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒，∴，解得；当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，∵直线与优弧相切，∴，∵直线，∴，∴，此时顺时针旋转的度数为，∴，解得；综上，当直线与优弧相切时，的值为或，故答案为：或；②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点，∵，∴，∵优弧与直线相切于点，∴，∵直线，∴直线，∵，∴四边形为矩形，∴，∴，在中，，，，∴，，∵，，∴，，∴，∴阴影部分面积；（3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点，∵，，，∴四边形为矩形，∴，，∴，在中，，，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴为点到直线的垂线段，∴，∵，∴，当点与点重合时，取得最大值，此时的最大值为，故答案为：．4．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果；(1)求证：．(2)连接，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、垂径定理的实际应用等知识点，熟记相关几何结论是解题关键．（1）作，推出，进而得平分，即可求证；（2）证得，，进而得，再证即可；【详解】（1）证明：作，，，∴平分，，（2）证明：如图所示：，，，；，，，，，，，，，；5．（2026·江苏南通·一模）综合与实践问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．探究发现：如图1，在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F，连结，由图形面积分割法得：，则+；实践应用：如图2，是等边三角形，，点G是边上一点．连结，将线段绕点C逆时针旋转得，连结交于P，过点P作于D，于E，当时，求的值；拓展延伸：如图3，已知是半圆O的直径，，是弦，，P是上一点，，垂足为D，，，，求的值．【答案】探究发现：，，；实践应用：；拓展延伸：24【分析】本题考查了图形面积的分割与组合，三角形面积公式的应用，等边三角形、圆的相关性质及勾股定理．探究发现：通过三角形的面积关系得出线段关系；实践应用：结合等边三角形和旋转的性质求出线段长度；拓展延伸：利用圆的性质和勾股定理求出相关线段长度，进而求出三角形面积之和．【详解】解：探究发现：∵在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F，∴，∴，∵，∴，故答案为：，，；实践应用：如图，过点C作于点M，过点F作于点N，∵是等边三角形，，∴，∵，∴，，在中，，∵，∴，在中，，∵将线段绕点C逆时针旋转得到，∴，，∴是等边三角形，∴，则，∴；拓展延伸：如图，延长、交于点T，过点P作于点S，连接，设，∵是半圆O的直径，∴，∵，，，在中，，在中，，∴，解得，即，∵，∴，，∴，∴，∵，在中，，∴，∵，∴．6．（2026·安徽·一模）如图，是的直径，，是上的点，是上一点，连接并延长交于点，延长，交于点，，，连接．(1)求证：；(2)若，，求的半径长．【答案】(1)