《线性代数》全套教学课件

线性代数全套可编辑PPT课件目录content线性方程组与行列式1矩阵及其运算2矩阵的初等变换和线性方程组求解3向量组与线性方程组解的结构4目录content矩阵的特征值与二次型5线性空间与线性变换6线性方程组与行列式PartOneEnterTheAppropriateContentHere,OrAfterCopyingTheText11.1线性方程组线性方程组在当时被称为“方程”，其解法被称为“方程术”.“方”的本义是“并”，即将两条船并起来，将船头拴在一起；“程”则是求其标准.通过将天元术与方程术相结合，形成二元术、三元术与四元术，即二元方程组、三元方程组与四元方程组的解法.1.1线性方程组一般地，由含有n个未知量的m个方程组成的方程组称为n元线性方程组，其一般形式为

当方程组的常数项不全为零时，方程组称为n元非齐次线性方程组；当全为零时，方程组称为n元齐次线性方程组，其一般形式为1.2二阶与三阶行列式二阶行列式可由二元一次线性方程组引入，即方程组1.2.1二阶行列式1三元一次线性方程组：1.2.2三阶行列式2当

时，有在用加减消元法求解的过程中，引进记号称为三阶行列式，也称三元一次线性方程组的系数行列式1.3n阶行列式定义定义1

由数1,2,…,n组成的一个有序数组，称为一个n级全排列，简称n级排列.n级排列的一般形为

，其中

为数1,2,…,n中的某一个数，且互不相等.例如，312是一个3级排列，123…(n-1)n是一个n级排列.1定义2

在一个排列中，若某两个数的先后次序与标准次序不同，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.n级排列

的逆序数记作.例如:2定义3

将一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列，这样的变换称为对换.相邻两个数对换称为相邻对换.定理1

任意一个排列在经过一次对换后，其奇偶性必改变.推论1

奇排列经过奇数次对换后成为标准排列，偶排列经过偶数次对换后成为标准排列.31.3.1排列及其逆序数1.3n阶行列式定义对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.为了引出n阶行列式的定义，在研究二阶与三阶行列式展开式的基础上，提出了一种更为统一的表达形式.三阶行列式的展开式为1定义4

由n2个数组成的记号2定理2n阶行列式也可定义为注意

矩阵与行列式是两个截然不同的概念，矩阵是由m×n个元素排成的一个m行n列的表，它的行数与列数不一定相等，而行列式则是一个数，它的行数和列数必须相等.从形式上来看，矩阵是用括弧包裹的一组数，行列式是用两条竖线包裹的一组数.31.3.2n阶行列式的定义称为n阶行列式，其中横排称为行，竖排称为列，n阶行列式的值等于所有取自行列式中属于不同行不同列的n个元素的乘积.1.4行列式的性质将行列式D的行和列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D’.即若1性质2

互换行列式的任意两行（列），行列式变号.推论1

若行列式中有两行（列）对应元素相等，则此行列式等于零.性质3

以数k乘以行列式中某一行（列）的所有元素等于以数k乘以此行列式.即23则性质1

行列式与它的转置行列式相等,即D=DT.推论2若行列式中有一行（列）的元素全为零，则此行列式为零.推论3若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.此处注意符号的使用，第i行（列）乘以k记为ri×k（ci×k）.1.4行列式的性质性质4

行列式中任意一行（列）可拆分为两个行列式，即1性质5

将行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式值不变，即21.5行列式按行（列）展开定义1

在n阶行列式D中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素依照原来的排法构成一个n-1阶行列式，将这个n-1阶行列式称为元素aij的余子式，记作Mij，称为元素aij的代数余子式.1.5.1余子式与代数余子式1引理1

如果一个n阶行列式的第i行元素除外都为零，那么该行列式等于与它的代数余子式的乘积，即1.5.2按一行（列）展开定理2定理1

行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即3或1.6克拉默法则克拉默（Cramer）法则

若方程组的系数行列式D≠0，则方程组有唯一解1定理1

若非齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则该方程组一定有解，且解唯一.定理2

若非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则其系数行列式D=0.2定理3

若齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组只有零解.定理4

若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0.3其中是将系数行列式D中第j列的元素用方程组右边的常数项替代后所得的n阶行列式.1.7扩展阅读行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数.当然，如果行列式中含有未知数，那么该行列式就是一个多项式.行列式本质上代表一个数值，虽然其形式看似一个数表，但需要按照规则对这个数表进行进一步计算，最终得到一个实数、复数或多项式.那么从几何角度来理解，这个数字代表什么呢？1.7.1行列式的几何意义1对于大多数人，常需要借助相关的工具来进行计算.常用的数学类软件有很多，如MATLAB、Mathematica、Maple，功能最多且最强大的当属MATLAB.MATLAB不仅可以计算行列式，在后续讨论到矩阵时，还可以使用MATLAB求矩阵的乘法、求矩阵的逆、求矩阵的特征值和特征向量等.1.7.2使用MATLAB计算行列式2矩阵及其运算PartTwoEnterTheAppropriateContentHere,OrAfterCopyingTheText22.1矩阵的概念及应用1．行矩阵和列矩阵2.1.2几种常用的矩阵定义1

由m×n个数aij(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表2.1.1矩阵的定义称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵.为了表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示，记作这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元.以数aij为(i,j)元的矩阵可简记作(aij)或(aij)m×n.m×n矩阵A也记作Am×n.2．零矩阵若一个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩阵为零矩阵.例如，一个m×n的零矩阵为记作Om×n.在不引起混淆的情形下，也可记作O.1632.1矩阵的概念及应用5．单位矩阵3．方阵由n2个数排成的n×n矩阵2.1.2几种常用的矩形称为n阶方阵，记作A=(aij)n×n或An×n，即行数与列数相同的矩阵称为方阵.在n阶方阵A中，从左上角到右下角的直线或过元素a11,a22,…,ann的直线，称为方阵的主对角线，主对角线上的元素称为主对角元；而从右上角到左下角的直线或过元素a1n,a2n-1,…,an1的直线，称为方阵的副对角线，副对角线上的元素称为副对角元，有时也称为次对角线和次对角元.4．对角矩阵主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵.例如6．数量矩阵主对角元全相等的对角矩阵称为数量矩阵.例如为一个n阶数量矩阵，其中为常数.为n阶对角矩阵，即aij=0，i≠j(i,j=1,2,…,n)，常简记为A=diag(a11,a22,…,ann).对角矩阵的特点是不在主对角线上的元素都是0.主对角元全为1的对角矩阵为单位矩阵，简记为E或I.有时为了表明矩阵的阶数，将阶数写在下标处.例如表示n阶单位矩阵.单位矩阵的特点是主对角线上的元素都是1，其他元素都是0.单位矩阵在方阵运算中起到数字1的作用.2.1矩阵的概念及应用矩阵的应用非常广泛，本节仅举几例.在处理许多实际问题的过程中，人们经常涉及一“堆”一“堆”的数.此时，人们不仅要考虑如何表示这些数“堆”，而且还要研究一“堆”数与另一“堆”数之间的关系.2.1.3矩阵的应用.例2-3（赢得矩阵）赢得矩阵是对策论或竞赛论的一个数学分支，是研究社会现象的一种特定数学方法.我国古代有“田忌赛马”的事例，讲的是在战国时期齐王与其大将田忌赛马，双方约定各派出上、中、下3个等级的马匹各一匹进行三场比赛.每次比赛的败者付给胜者一百金.已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操胜券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、下等级的马.齐王和田忌在排列赛马出场顺序时可各取下列6种策略（方案）之一.（1）（上，中，下）；（2）（中，上，下）；（3）（下，中，上）；（4）（上，下，中）；（5）（中，下，上）；（6）（下，上，中）.2.1矩阵的概念及应用从本质上讲，线性方程组就是一“堆”数和另外一“堆”数之间的关系..在求解未知元的过程中，线性方程组的未知元用什么符号表示并不重要，重要的是方程组中每一个方程中未知元前面的系数和常数项.线性方程组的一般形式为2.1.4线性方程组的矩阵表示.其矩阵形式为2.2矩阵的运算若矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)p×q满足m=p且n=q，则称这两个矩阵为同型矩阵.定义1

如果矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)m×n是同型矩阵，并且它们对应元素相等，即.那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B.由定义可知，两个m×n矩阵构成一个矩阵等式，等价于m×n个元素的等式，例如2.2.1矩阵的加法则A=B⟺x=3，y=6.注意

（1）矩阵相等必须满足行和列对应相等且元素对应相等.（2）矩阵的加法、数量乘法和乘法是矩阵最基本的运算.定义2设两个m×n矩阵A=(aij)m×n和B=(bij)m×n，那么矩阵A与B的和记作A+B，规定矩阵A与B的差定义为A-B=A+(-B)，也就是说，矩阵的减法A-B即矩阵A加负矩阵B，这是减法的本质.后续不再单独提矩阵的减法，将它归入矩阵的加法运算中.不难验证，矩阵的加法满足下面的运算律.设A、B、C为同型矩阵，下列运算成立.（1）A+B=B+A（加法交换律）；（2）(A+B)+C=A+(B+C)（加法结合律）；（3）A+O=O+A=A，其中O是与A同型的零矩阵；（4）A+(-A)=O.2.2矩阵的运算定义3

设矩阵A=(aij)m×n，λ是一个数，则称矩阵2.2.2数与矩阵相乘注意

当矩阵A为方阵时，数乘矩阵与数乘行列式是有明显区别的.另外，-A=(-1)A，-(-A)=A.要使定义了的矩阵运算自洽，就要进一步揭示其结合的规则.设A、B为同型矩阵，λ、μ为常数，数乘矩阵满足下列运算规律为数λ与矩阵A的数量乘积，简称数乘矩阵，记为λA或Aλ.数乘以矩阵是用数λ乘以矩阵的每一个元素.因为A-B=A+(-B)，所以A+B=C⟺

A=C-B.这是最常见的移项规则.2.2矩阵的运算2.2.3矩阵与矩阵相乘矩阵乘法是矩阵运算中的重点，也是难点.2.2矩阵的运算2.2.3矩阵与矩阵相乘性质1

（1）设A为m×p矩阵，则Ok×mA=Ok×p，AOp×n=Om×n.（2）设A为m×p矩阵，则EmA=A，AEp=A，其中Em与Ep分别为m阶与p阶单位矩阵.特别地，有EnAn×n=An×n=An×nEn，简写为EA=AE=A.可见，零矩阵与单位矩阵在矩阵乘法中的作用与数0与数1在数的乘法中的作用相同.（3）乘法结合律：设A为m×p矩阵，B为p×q矩阵，C为q×n矩阵，则A(BC)=(AB)C，(λA)B=A(λB)=λ(AB)，其中λ为数.特别地，有(λEn)An×n=λ(EnAn×n)=λAn×n，An×n(λEn)=λ(An×nEn)=λAn×n，因此，数量矩阵和同阶方阵乘法可换，即(λEn)An×n=An×n(λEn).（4）乘法对加法分配律：设A为m×p矩阵，B1、C1均为p×n矩阵，B2、C2均为q×m矩阵，则A(B1+C1)=AB1+AC1，(B2+C2)A=B2A+C2A.2.2矩阵的运算定义6

设m×n矩阵A=,将A的行与列依次互换位置，得到n×m矩阵.这个矩阵称为A的转置矩阵，记为AT.2.2.4矩阵的转置矩阵的转置也可以看作矩阵的一种运算（一元运算），这种运算具有以下性质.性质2设k是实数，A,B,A1,A2,…,Ak是矩阵，它们的行数和列数使下列各式有意义，则有2.2矩阵的运算定义7

设A为n阶方阵，若A=AT，则称A为一个n阶对称矩阵；若A=-AT，则称A为一个n阶反对称矩阵.由定义知，A为对称矩阵⟺aij

=

aji(i,

j=1,2,…,n)；A为反对称矩阵⟺aij

=-aji(i,

j=1,2,…,n)；A既是对称矩阵，又是反对称矩阵⟺A=On×n.2.2.4矩阵的转置对称矩阵的特点是它的元素以主对角线为对称轴对应相等，而反对称矩阵的主对角元为零.此外，对称矩阵和反对称矩阵满足下列性质.性质3

（1）同阶对称矩阵的和、数量乘积、方幂仍为对称矩阵.（2）同阶反对称矩阵的和、数量乘积、方幂仍为反对称矩阵.（3）若A为反对称矩阵，则当k为奇数时，Ak为反对称矩阵；当k为偶数时，Ak为对称矩阵.2.2矩阵的运算对n阶方阵A而言，可确定一个n阶行列式，该n阶行列式即方阵A的行列式.定义8

由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或detA=.性质4

设A和B为n阶方阵，λ为数，则（1）|AT|=|A|；

（2）λ|A|=λn|A|；

（3）|AB|=|A||B|.推论1

设A1,A2,…,Am均为n阶方阵，则|A1A2…Am|=|A1||A2|…|Am|.2.2.5方阵的行列式定义9

设A=(aij)n×n为n阶矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，i，j=1,2,…,n，则称矩阵

为A的伴随矩阵，记为A*或adjA.定理1

设A是n阶矩阵，A*为其伴随矩阵，则有AA*=A*A=|A|E.2.2矩阵的运算2.2.6共轭矩阵2.3逆矩阵定义1

对于n阶矩阵A，若存在一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称矩阵A可逆，并把矩阵B称为A的逆矩阵，记为B=A-1.如果不存在满足AB=BA=E的矩阵B，则称矩阵A不可逆.定理1

若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.证明

若B和C均为A的逆矩阵，则有AB=E=BA，AC=E=CA，从而有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.如果A是可逆矩阵，则它有逆矩阵A-1使得AA-1=A-1A=E.从此式可以看出，此时的A-1也是可逆矩阵，并且(A-1)-1=A.2.3.1逆矩阵的定义2.3逆矩阵定义1

对于n阶矩阵A，若存在一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，则称矩阵A可逆，并把矩阵B称为A的逆矩阵，记为B=A-1.如果不存在满足AB=BA=E的矩阵B，则称矩阵A不可逆.定理1

若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.证明

若B和C均为A的逆矩阵，则有AB=E=BA，AC=E=CA，从而有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.如果A是可逆矩阵，则它有逆矩阵A-1使得AA-1=A-1A=E.从此式可以看出，此时的A-1也是可逆矩阵，并且(A-1)-1=A.2.3.1逆矩阵的定义2.3逆矩阵定理2n阶方阵A=(aij)n×n可逆的充要条件为|A|≠0.若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩阵，否则，称A为奇异矩阵.定理2表明，矩阵A可逆与矩阵A非奇异是等价的概念.定理2有如下两个重要推论.推论1

设A和B均为n阶方阵，若AB=E，则A和B均可逆，且A-1=B，B-1=A.定理2不仅给出了矩阵可逆的充要条件，还给出了求矩阵的逆矩阵的一种方法，通常称这种方法为伴随矩阵法.推论2

若A为可逆矩阵，则其逆矩阵

，其中A*为矩阵A的伴随矩阵.伴随矩阵法通常只用来求阶数较低的或较特殊的矩阵的逆矩阵.对于阶数较高的矩阵，通常用初等变换法求其逆矩阵.2.3.2可逆矩阵的性质2.3逆矩阵2.3.2可逆矩阵的性质2.3逆矩阵性质2若A为可逆矩阵，则矩阵方程AX=C有唯一解X=A-1C，矩阵方程XA=C有唯一解X=CA-1.若矩阵A和B均可逆，则矩阵方程AXB=C存在唯一的解X=A-1CB-1.注意“当

时，解矩阵方程AX=C(XA=C)”和“当a≠0时，解线性方程ax=c”的思路是相似的，解线性方程是在等式两边同时乘以a-1，解矩阵方程是在等式两边同时左（或右）乘A-1.只是因矩阵乘法交换律不成立，所以在乘A-1时，要分左乘和右乘，这一点务必注意.这样，求矩阵方程的解的问题归结为求逆矩阵与矩阵乘法的问题.2.3.3逆矩阵在方程组中的应用2.4矩阵多项式2.5矩阵分块法在处理阶数较高的矩阵运算时，常采用矩阵分块法，就是用若干条横线和竖线把大矩阵分割成若干个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵的子块或子阵，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.把一个大型矩阵分成若干个小块，构成一个分块矩阵，这是矩阵运算中的一个重要技巧，它可以把大型矩阵的运算化为若干个小型矩阵的运算，使运算更为简明.2.5.1分块矩阵的概念矩阵A可以有多种分块的方法，可根据讨论的问题或实际需要选择某一种分块方法.显然，分块矩阵的规模一般要小于原矩阵的规模，每个子块的规模一般也小于原矩阵的规模.但仅考虑这一点是不够的，在实际分块的过程中，还要针对具体问题与具体情况考虑其他元素.一般来说，根据矩阵元素的局部特征或按行或列对矩阵分块.同一个矩阵可以有多种不同的分块方法.将矩阵分块常可简化运算，更便于看清矩阵间的关系.矩阵按某种方法分块有两个原则：第一，在矩阵运算中，在进行适当分块后，可将子矩阵当作“数”来处理，就像以普通的数为元素的矩阵一样运算.第二，要尽量使运算简便.因此，矩阵分块时必须注意到矩阵的运算规则，对于不同的运算，矩阵分块的原则也不相同.2.5矩阵分块法分块矩阵的加法设A，B都是m×n矩阵，将A，B按同样的方法进行适当分块.2.5.2分块矩阵的运算分块矩阵的数乘设A为m×n矩阵，λ为数，将A适当分块，即容易直接验证：2.5矩阵分块法分块矩阵的乘法设A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，对矩阵A的列的分块方法与对矩阵B的行的分块方法一致，即2.5.2分块矩阵的运算类似地，还可以证明：对于两个分块矩阵，只要它们的分法满足某些条件，则它们的乘法就可以按照普通矩阵的乘法定义进行，其条件如下.（1）左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数.（2）左矩阵的每个列组数所含列数等于右矩阵的相应行组所含行数.总而言之，左矩阵的列的分法应与右矩阵的行的分法一致.还要注意，子矩阵之间的乘法应当是左分块矩阵的子矩阵在左边，右分块矩阵的子矩阵在右边，不能颠倒次序.分块矩阵A和B之间乘法的规则等同于将子矩阵看成“数”，并按照与以数为元素的p×t矩阵与t×q矩阵相乘的规则进行计算.注意

分块矩阵相乘要保证乘积AB本身有意义，且A的列的分法与B的行的分法相同，则可将子块作为元素，按照矩阵乘法规则进行计算.由于矩阵的加法和数乘比较简单，一般不需要分块计算.而矩阵的乘法比较繁杂，因此，对于矩阵的乘法，分块计算有较大的实际意义.2.5矩阵分块法分块矩阵的转置设分块矩阵A=,容易直接验证分块矩阵A的转置矩阵为2.5.2分块矩阵的运算注意

一方面，作为元素的每个子矩阵要转置；另一方面，每个子矩阵本身也要转置.2.5矩阵分块法分块对角矩阵当n阶矩阵A中的非零元素都集中在主对角线附近时，有时可以分块成对角块矩阵，又称准对角矩阵.2.5.3矩阵的特殊分块法特别地，当Ai(i=1,2,…,t)均为1×1矩阵（可视为数）时，分块对角矩阵A就是对角矩阵.对角矩阵是分块对角矩阵；反之，分块对角矩阵未必是对角矩阵.例如，上述矩阵就是分块对角矩阵，但不是对角矩阵，所以分块对角矩阵是对角矩阵的推广.从直观上看，分块对角矩阵就是非零元素都集中在主对角线附近的方阵.根据分块矩阵的运算规律可直接推导出准对角矩阵的运算规律.性质1

设A=diag(A1,A2,…,At)，B=diag(B1,B2,…,Bt)，其中Ai和Bi都是ni阶方阵(i=1,2,…,t)，λ为数，则（6）|A|=|A1||A2|…|At|；（7）A可逆⟺Ai()均可逆，且若A可逆，则2.5矩阵分块法按行（列）分块矩阵设分块矩阵,若把A按行分成m个子块，即,其子块

称为矩阵A的第i个行向量，i=1,2,…,m.注意

行向量（行矩阵）用列向量的转置表示.2.5.3矩阵的特殊分块法2.5矩阵分块法此部分内容在第一章已有叙述，为了理论的完备性，在这里仍按逻辑展开，但记法略有不同.对于一般线性方程组2.5.3矩阵的特殊分块法如果把系数矩阵A按行分成m块，则AX=β可记作矩阵分块是矩阵运算中的一个很有效的方法，它不仅能使运算简明，而且在理论的推导中也起着重要作用.在下面章节中会经常采用矩阵分块这一方法.2.5矩阵分块法此部分内容在第一章已有叙述，为了理论的完备性，在这里仍按逻辑展开，但记法略有不同.对于一般线性方程组2.5.3矩阵的特殊分块法如果把系数矩阵A按行分成m块，则AX=β可记作矩阵分块是矩阵运算中的一个很有效的方法，它不仅能使运算简明，而且在理论的推导中也起着重要作用.在下面章节中会经常采用矩阵分块这一方法.2.6扩展阅读PageRank算法是谷歌（Google）所采用的一种网页排名算法，该算法在1998年前后使搜索的相关性有了质的飞跃，比较圆满地解决了网页搜索中排序不佳的问题，并在此过程中成就了谷歌这一世界级公司.PageRank算法的核心思想就是民主投票.互联网上的网页都是由超链接链接在一起的，每个网页都会被其他网页所链接，被链接得越多则说明这个网页越重要，它的排名就应该越高.可据此给每个网页计算一个得分，保证被链接得越多的网页得分越高，从而给出网页排名.谷歌PageRank算法1云计算的关键之一是如何把一个非常大的计算问题自动分解到许多计算能力不是很强大的计算机上，并使这些计算机共同解决这个计算问题.针对这个问题，谷歌给出的解决工具是MapReduce，其根本原理是所谓的分治（Divide-and-Conquer）算法，也就是分而治之，先将一个复杂的问题分成若干个简单的子问题，并进行解决，然后对子问题结果进行合并，得到原有问题的解.MapReduce22.7课后习题1．试写出3×4矩阵A，其元素aij=i+j.2．写出下列线性方程组的系数矩阵.3．假设有5个网页a、b、c、d、e，网页间存在指向对方的链接a→b、a→e、b→d、b→c、b→d、c→a、c→b、c→a、d→c、d→e、e→c、e→d.写出这些网页间的通路矩阵.矩阵的初等变换和线性方程组求解PartThreeEnterTheAppropriateContentHere,OrAfterCopyingTheText33.1矩阵的初等变换观察下面使用高斯消元法解线性方程组的实例，注意在解题过程中所采用的运算.例3-1解线性方程组3.1.1高斯消元法解

交换原方程组的第1、2式，并将第3式乘以1/2，得先将第3式的(-1)倍加到第2式上，再用第1式消去后两式的第一个未知元，得将第2式乘以1/2，得将第2式的5倍和(-3)倍分别加到第3、4式上，得先将第3式乘以1/2，然后在第4式上减去第3式，得整理、移项，并将缺项补上，得3.1矩阵的初等变换将第4式代入前三式，整理得3.1.1高斯消元法尽管上述表示无误，确实表明了线性方程组的问题已经得到了解决，但是数学追求的简洁性和统一性在此并未得到充分展现.为了更好地理解线性方程组解的结构，现进行以下处理.令X3=c，c（称为自由未知量）为任意常数，利用列矩阵，方程组的解可表示为在用高斯消元法求解线性方程组的过程中，用到了以下变换：（1）互换两个方程的位置；（2）用一个非零数与某一个方程相乘；（3）将某一个方程的k倍加到另一个方程上.不难看出，施行这三种变换不会改变方程组的同解性.方程组的系数和常数项发生了变化，而变量并无改变.因此，如果将方程组的系数和常数项作一个矩阵，这个矩阵称为方程组的增广矩阵，那么线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的，而对方程组施行上述三种变换，就相当于对增广矩阵B进行以下变换：

（1）交换两行；（2）某行乘以非零数；（3）某行加上另一行的k倍.由此得到与原方程组同解的新方程组的增广矩阵.因此，对方程组的消元过程等同于对增广矩阵进行相应的初等行变换.3.1矩阵的初等变换将第4式代入前三式，整理得3.1.2矩阵的初等行变换和初等列变换定义2如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价，记作A～B由定义可以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质：

（1）反身性：A～A；（2）对称性：若A～B，则B～A；（3）传递性：若A～B且B～C，则A～C.矩阵之间的等价是一个等价关系.这里要区分矩阵A和矩阵B等价、命题A和命题B等价，这两个等价既有不同点，又有相同点.3.1矩阵的初等变换将第4式代入前三式，整理得3.1.3行阶梯形矩阵及行最简形矩阵定义4

若一个行阶梯形矩阵同时满足下面两条性质，则称其为行最简形矩阵.（1）矩阵每一非零行的第一个非零元素是1；（2）矩阵每一非零行的第一个非零元素是它所在列的唯一非零元素.注意

行阶梯形矩阵未必是行最简形矩阵，而行最简形矩阵一定是行阶梯形矩阵.在解线性方程组时，尽量将增广矩阵化为行最简形矩阵，它也是在保证同解的前提下对增广矩阵所能简化的最大程度.矩阵的初等变换源于线性方程组消元过程中的同解变换，它在将矩阵变换为简单形式、解线性方程组、求矩阵的逆阵、解矩阵方程及研究矩阵的秩等方面起着重要的作用.定义3

满足下列两条性质的矩阵称为行阶梯形矩阵.（1）完全由零组成的行（如果有）在含有非零元素行的下面；（2）每一非零行中的第一个非零元素必须在前一行（如果前面还有）第一个非零元素的右边.3.2初等矩阵3.1.3行阶梯形矩阵及行最简形矩阵定义1

单位矩阵经过一次初等变换后所得矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着如下三种初等矩阵.（1）对调两行或两列.一般地，把单位矩阵中第i、j两行对调（

），得到初等矩阵3.2初等矩阵定义1

（2）以数k≠0乘以某行或某列.（3）以数k≠0乘以某行（列）加到另一行（列）上.定理1

设A是一个m×n矩阵，对A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A进行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.定理2

方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵

，使推论1

方阵A可逆的充要条件是A行等价于单位矩阵E.推论2

设A和B都是矩阵，则A等价于B的充分必要条件为存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得记

，

，则P和Q都可逆，且PAQ=B.一般地，初等矩阵E(i(k))由单位矩阵的第i行（列）乘以数k得到.3.3用矩阵的初等变换求逆矩阵3.4矩阵的秩3.4.1矩阵的秩的定义3.4矩阵的秩3.4.2矩阵的秩的性质3.4矩阵的秩3.4.2矩阵的秩的性质3.5线性方程组求解3.5.1齐次线性方程组的解3.5线性方程组求解3.5.1齐次线性方程组的解3.5线性方程组求解3.5.2非齐次线性方程组的解3.6扩展阅读3.6.1矩阵的初等变换在电路分析中的应用3.6扩展阅读3.6.2矩阵的初等变换在图像变换中的应用矩阵的初等变换在工程领域有着广泛的应用，特别是在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域.下面将详细解释矩阵的初等变换在图像处理中的一个具体应用——图像变换.在图像处理中，经常需要对图像进行各种变换，如缩放、旋转、平移等.这些变换可以通过矩阵运算来实现，而矩阵的初等变换则是这些运算的基础.以图像的仿射变换为例，仿射变换是一种二维坐标之间的线性变换，可保持图像的“平直性（即原图中的直线和平行线在结果图像中仍然保持直线和平行线）”，允许图像进行缩放、旋转、平移等操作.假设有一个原始图像，其上的每一个点都可以用二维坐标(x,

y)来表示.现在想对这个图像进行仿射变换，将其变换到新的位置.这个变换可以通过一个2×3的仿射变换矩阵来实现.仿射变换矩阵的一般形式为实际上，这个计算过程涉及矩阵的初等变换.具体来说，它包括了矩阵的乘法运算，而乘法运算可以通过矩阵的加法、数乘及行交换等初等变换来实现.在实际应用中