第五章第一节向量的概念及线性运算

内容要求考情分析ABC平面向量平面向量的概念√1.平面向量主要以

填空题的形式考

查平面向量的线

性运算，向量的

数量积及其在解

决夹角、距离、

平行、垂直等问

题中的应用，另

外平面向量也常

与三角函数、解

析几何等知识相

结合在解答题中

考查．平面向量的加法、减法及数乘运算√平面向量的坐标表示√平面向量的数量积√平面向量的平行与垂直√平面向量的应用√内容要求考情分析ABC复数复数的概念√2．高考对于复数的

查以考查复数的

四则运算为主，

属于低档题．复数的四则运算√复数的几何意义√名称定义备注向量既有

又有

的量，向量的大小叫做向量的

(或

)平面向量是自由向量零向量长度为

的向量，其方向是任意的记作单位向量长度等于

的向量大小方向

模长度零

1个单位0非零向量a的单位向量为一、向量的有关概念名称定义备注平行向量方向

或

的非零向量0与

平行或共线共线向量平行向量又称为共线向量相同相反任一向量名称定义备注相等向量长度

且方向

的向量相反向量长度

且方向

的向量0的相反向量为0相等相同相等相反两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以相同.二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝

.(2)结合律：(a＋b)＋c＝

.b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝

.(2)当λ＞0时，λa与a的方向

；当λ＜0时，λa与a的方向

；当λ＝0时，λa＝

.λ(μa)＝

；(λ＋μ)a＝

；λ(a＋b)＝

.|λ||a|相同相反λ

μaλa＋μ

aλa＋λb0

1.若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：

其中正确的有

.(填序号)

解析：①式的等价式是左边＝

右边＝不一定相等；②式的等价式是成立；③式的等价式是成立.答案：②③2.在△ABC中，若点D满足则＝

.(用b，c表示)答案：解析：如图所示，可知3．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，

CD＝7a－2b，则A、B、C、D四点中一定共线的三点是________．解析：＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝∴共线.又∵有公共点B，∴A、B、D三点共线.答案：A、B、D4.已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)

共线，则λ＝

.解析：由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，解得答案：5.已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若

+＝0，则等于

.答案：2解析：由已知得，2=2=2.

1.向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任

意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，

但它们的模可以比较大小.2.由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它

的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向

线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此

也可得到：任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.【注意】向量与起点无关，有向线段与起点有关.3.判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：

(1)零向量的方向及与其他向量的关系；

(2)单位向量的长度及方向.下列命题中：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.其中为假命题的是________．(填序号)

正确理解向量的有关概念是解决本题的关键.注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【解析】

①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a与b中有一个为零向量时，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如b＝0时，则a与c不一定共线.【答案】①②③④1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由.(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；

(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意向量|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

(4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；

(5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.解：(1)不正确.因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故(1)不正确.(2)不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向.(3)正确.∵|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得a＝b.(4)不正确.由零向量性质可得0与任一向量平行，可知(4)不正确.(5)正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的.

向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；平行四边形法则的要素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同.如图，△ABC中，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设用a、b表示向量

解本题除要进行向量的加、减法外，还有数乘向量运算，如在进行计算时要充分利用DE∥BC⇒△ADE∽△ABC，△ADN∽△ABM等条件.又AM是△ABC的中线，DE∥BC，且AM与DE交于点N，【解】由△ADE∽△ABC，得

(a+b).＝a＋(b－a)＝(a＋b)．a+(b-a).2.如图所示，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，

M、N分别是DC、AB的中点，已知＝b，试

用a、b分别表示解：连接AC.=b+a-a=b-a,=-a+b+a=b-a,a-b.向量共线问题常见的有两种题型：一是根据条件证明三点共线；二是利用三点共线求参数的值.无论上述哪种题型都离不开共线向量定理.设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，CD＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．

(1)要证A、C、D三点共线，只需证存在实数λ，使

即可.(2)由于A、C、D三点共线，因此存在实数λ，使，因而可据已知条件和向量相等条件得到关于λ，k的方程，从而求k.【解】

(1)证明：∵AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，又∵AC＝AB＋BC＝4e1＋e2＝－(－8e1－2e2)＝－CD，∴AC与CD共线．又∵AC与CD有公共点C，∴A、C、D三点共线．(2)

＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三点共线，∴共线，从而存在实数λ使得即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，由平面向量的基本定理，得解得λ=,k=.3.已知