2025年湖南省郴州市初中学业水平考试第二次监测数学试卷（原卷版+解析版）

郴州市2025年初中学业水平考试第二次监测数学（试题卷）注意事项：1.本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有三道大题，共26道小题，满分120分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目．3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各数中最小的一个数是（）A.0 B. C. D.2.下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.2025年清明节假期全国国内出游126000000人次，将数据126000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（）A. B. C. D.5.下列运算正确的是（）A. B. C. D.6.5名同学1分钟跳绳成绩分别为176，191，188，190，191，则这组数据的中位数是（）A.176 B.188 C.190 D.1917.如图，，，，则的周长是（）A.18 B.20 C.26 D.288.在平面直角坐标系中，点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.明代时，1斤=16两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有两，则可列方程为（）A. B.C D.10.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，下列说法错误的是（）A.函数图象上的“和谐点”在第二象限 B.函数图象上有两个“和谐点”C.函数图象上只有一个“和谐点” D.函数图象上“和谐点”的横坐标为二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.绝对值是_______．12.已知关于的方程的一个根为2，则的值为________．13.将分别标有“大”“美”“郴”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其他差别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“美”的概率是________．14.某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为________分钟．15.如图，，．若，则________度．16.校运会上铅球场地的有效落地区是以点O为圆心的扇形面．如图，在扇形面中，半径米，，则的长为________米（结果保留）．17.如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为________．18.小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）．2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为________（用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为________．三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每小题6分，21-22题每小题8分，23-24题每小题9分，25-26题每小题10分，共66分．解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：．20.解方程组：．21.某班参加学校举行的“宪法学习”知识竞赛，赛后将该班参赛学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）该班参加竞赛的学生有________人；扇形统计图中，________，圆心角________度；（2）补全条形统计图（要求在条形图上方标注人数）；（3）若该校有3000名学生参加知识竞赛，请估计全校学生成绩为“B等级”的人数．22.某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同．（1）求A、B两款吉祥物的销售单价；（2）A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？23.如图，在中，点D为线段上任意一点．（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②点G为中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）．求证：四边形是菱形．24.综合与实践目标篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度工具测角仪、卷尺素材1小敏借助测角仪测得：，，．素材2为计算篮球架的伸臂距离地面的高度，小明在点处测得：米，.在距离点左侧米的处测得：．（参考数据：，，）任务一利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂地面，支架地面）．任务二利用素材2，求篮球架的伸臂距离地面的高度．（结果保留一位小数）25.在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．（1）求b的值；（2）如图1，点P是直线上方抛物线上一点，横坐标设为m，且．连接，交于点D，．①求点P的坐标；②如图2，将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M．点N为抛物线上任意一点，连接．若，求线段的长．26.如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点．（1）求证：；（2）如图2，连接，①若，，求长度；②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点，求证：．

郴州市2025年初中学业水平考试第二次监测数学（试题卷）注意事项：1.本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有三道大题，共26道小题，满分120分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目．3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列各数中最小的一个数是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项．【详解】解：∵，∴，∴最小的数为：；故选：B．2.下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D．即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；故选D．3.2025年清明节假期全国国内出游126000000人次，将数据126000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．【详解】解：将数据126000000用科学记数法表示为，故选：B．4.如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义．根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形，的左视图是，故选B．5.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【详解】解：A、，故此选项符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：A．6.5名同学1分钟跳绳成绩分别为176，191，188，190，191，则这组数据的中位数是（）A.176 B.188 C.190 D.191【答案】C【解析】【分析】本题考查中位数，按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数叫作中位数，按照定义求解即可．【详解】解：该组数据从小到大排序为：176，188，190，191，191，共5个数，第3个数是190，即中位数是190，故选C．7.如图，，，，则的周长是（）A.18 B.20 C.26 D.28【答案】A【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键．根据，得，则，由此即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴的周长是，故选：A

．8.在平面直角坐标系中，点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查了点所在象限的判定，掌握平面直角坐标系的特点是关键．根据平面直角坐标系中各象限中点的符号特点判定即可，第一象限点的符号，第二象限点的符号，第三象限点的符号，第四象限点的符号．【详解】解：∵，，∴点所在象限是第四象限，故选：D

．9.明代时，1斤=16两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有两，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题关键是列出未知数，找出等量关系．根据两种分配方案的人数相等这一等量关系，列出方程即可．【详解】解：根据题意，半斤8两，根据两种分配方案的人数相等可列如下方程：．故选：C．10.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，下列说法错误的是（）A.函数图象上的“和谐点”在第二象限 B.函数图象上有两个“和谐点”C.函数图象上只有一个“和谐点” D.函数图象上的“和谐点”的横坐标为【答案】C【解析】【分析】本题考查了新定义，一次函数，二次函数图形点的特点，理解新定义的计算方法是关键．点的关系为，即，由此代入一次函数，二次函数解析式中计算即可求解．【详解】解：平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，则点的关系为，即，A、函数，∴，解得，，则，∴“和谐点”为，在第二象限，正确，不符合题意；B、函数，∴，整理得，，解得，，则对应的，∴“和谐点”为，∴函数图象上有两个“和谐点”，正确，不符合题意；C、函数，∴，整理得，，无解，∴函数图象上没有一个“和谐点”，故原选项错误，符合题意；D、函数，∴，整理得，，解得，，则，∴“和谐点”为，∴函数图象上的“和谐点”的横坐标为，正确，不符合题意；故选：C

．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.的绝对值是_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了求一个数的绝对值，掌握是解题的关键．【详解】解：；故答案：．12.已知关于的方程的一个根为2，则的值为________．【答案】1【解析】【分析】将代入方程中，求出的值即可．【详解】将代入方程中，得，，∴．故答案为：1【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程的根求字母的值，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．13.将分别标有“大”“美”“郴”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其他差别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“美”的概率是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了概率．根据概率公式直接计算即可．【详解】解：摸出小球上的汉字为“美”的概率是，故答案为：．14.某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为________分钟．【答案】5【解析】【分析】本题考查求反比例函数的函数值，将代入计算即可．【详解】解：当时，（分钟），故答案为：5．15.如图，，．若，则________度．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等得到，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，据此求解即可．【详解】解：，，，，，故答案为：．16.校运会上铅球场地的有效落地区是以点O为圆心的扇形面．如图，在扇形面中，半径米，，则的长为________米（结果保留）．【答案】##【解析】【分析】本题考查弧长的计算，根据弧长公式计算即可．【详解】解：米，，，故答案为：．17.如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为________．【答案】3【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，勾股定理等知识；当时，线段的长取得最小值，利用勾股定理求得，，再由角平分线的性质定理即可求解．【详解】解：由垂线段最短知，当时，线段的长取得最小值，∵，，，∴，∵平分，，∴，即的最小值为3．故答案为：3．18.小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）．2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为________（用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为________．【答案】①.②.17【解析】【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，正确列出代数式与一元一次不等式是解此题的关键．（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．【详解】解：由题意得，小明在乙窗口排队取到餐所需时间为：，不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间为：，由题意得，解得，所以排队人数m的最小值为17，故答案为：；17．三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每小题6分，21-22题每小题8分，23-24题每小题9分，25-26题每小题10分，共66分．解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查0指数幂，负整数指数幂及特殊角的三角函数值．根据0指数幂，二次根式的性质，负整数指数幂及特殊角的三角函数值直接求解即可得到答案．【详解】解：．20.解方程组：．【答案】．【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组．用加减消元法求出其中一个未知数的值，将求出的未知数的值代入其中的一个方程求解，即可求解．【详解】解：，①②得：，解得：，将代入①得，解得：，原方程组的解为．21.某班参加学校举行的“宪法学习”知识竞赛，赛后将该班参赛学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）该班参加竞赛的学生有________人；扇形统计图中，________，圆心角________度；（2）补全条形统计图（要求在条形图上方标注人数）；（3）若该校有3000名学生参加知识竞赛，请估计全校学生成绩为“B等级”的人数．【答案】（1）50，40，72（2）见解析（3）720人【解析】【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合，利用样本估计总体．（1）用A等级人数除以所占百分比可得参赛总人数，进而可求出m，；（2）总人数减去A，C，D人数可得B等级人数，再补全图形即可；（3）用学校总人数乘以“B等级”的人数所占百分比可得答案．【小问1详解】解：该班参加竞赛的学生有（人），扇形统计图中，，圆心角，故答案为：50，40，72；【小问2详解】解：B等级人数为：（人），补全图形如下：【小问3详解】解：（人）答：估计全校学生成绩为“B等级”的人数为720人．22.某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同．（1）求A、B两款吉祥物的销售单价；（2）A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元；（2）当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元．【解析】【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得A、B两款吉祥物的销售单价，注意分式方程要检验；（2）根据题意可以得到利润与购买A款吉祥物数量的函数关系，然后根据B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，可以求得A款吉祥物数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是多少元．【小问1详解】解：设A款吉祥物单价是a元，则B款吉祥物的单价是元，根据题意得：，解得，，经检验，是原分式方程的解，∴，答：A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元；【小问2详解】解：设购买A款吉祥物x个，则购买B款吉祥物个，利润为w元，，∵B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，∴，解得，，∵，w随x的增大而增大，∴当时，w取得最大值，此时，120-x=40，答：当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元．23.如图，在中，点D为线段上任意一点．（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②点G为中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）．求证：四边形是菱形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定定理．（1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图即可；（2）选择①平分，先证明四边形为平行四边形，根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明．选择②点G为中点，先证明是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质求得，即可证明四边形为菱形．【小问1详解】解：如图：即为所求；；【小问2详解】解：选择①平分；证明：平分，，∵是线段垂直平分线，∴，，，，，，，，四边形为平行四边形，，为菱形．选择②点G为中点，证明：∵是线段垂直平分线，∴，∴是线段的垂直平分线，∵是线段垂直平分线，∴，，∵是线段的垂直平分线，∴，，∴，∴四边形为菱形．24.综合与实践目标篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度工具测角仪、卷尺素材1小敏借助测角仪测得：，，．素材2为计算篮球架的伸臂距离地面的高度，小明在点处测得：米，.在距离点左侧米的处测得：．（参考数据：，，）任务一利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂地面，支架地面）．任务二利用素材2，求篮球架的伸臂距离地面的高度．（结果保留一位小数）【答案】任务一：合理，理由见详解任务二：篮球架的伸臂距离地面的高度约为米【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是关键．任务一：根据题意得到，合格，如图所示，过点作，根据平行线的判定可得，合格，由此即可求解；任务二：如图所示，过点作于点，则，可得，设米，则，可得米，根据题意得到，是等腰直角三角形，则，即，由此即可求解．【详解】解：任务一：篮球架安装合格，理由如下，∵，∴，合格，如图所示，过点作，∴，∴，∴，∴，∴，合格，综上所述，篮球架安装合格；任务二：如图所示，过点作于点，则，∵，∴，设米，则，∴米，∵，，∴，是等腰直角三角形，∴，即，解得，，∴米，∴篮球架的伸臂距离地面的高度约为米．25.在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．（1）求b的值；（2）如图1，点P是直线上方抛物线上一点，横坐标设为m，且．连接，交于点D，．①求点P的坐标；②如图2，将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M．点N为抛物线上任意一点，连接．若，求线段的长．【答案】（1）（2）①；②或【解析】【分析】（1）把点A坐标代入对应抛物线解析式中计算求解即可；（2）①过点P作轴于H，交于G，先求出，直线解析式为；再证明，得到；设，则，则，解方程即可解题；②先求出抛物线的解析式为；点F的坐标为；再求出直线解析式为，则，可证明是等腰直角三角形，得到；再分如图2所示，当点N在y轴右侧时，如图3所示，当点N在y轴左侧时，两种情况讨论求解即可．【小问1详解】解：把代入中得，解得；【小问2详解】解：①如图