人教版八年级数学上册全等三角形的证明习题

人教版八年级数学上册全等三角形的证明习题全等三角形的证明是平面几何入门的关键一步，它不仅要求我们熟练掌握基本的判定定理，更需要培养观察图形、分析条件、规范表达的能力。下面，我们将结合实例，梳理证明思路，并通过典型习题的解析，帮助同学们深化理解，提升解题技巧。一、全等三角形证明的基础知识回顾在开始习题演练之前，我们先简要回顾一下证明三角形全等的核心依据：1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（此性质在证明线段相等或角相等时常用到）3.全等三角形的判定定理：*SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（注意：这里的角必须是两边的夹角，不可混淆为任意角）*ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（仅适用于直角三角形）温馨提示：在寻找对应边和对应角时，要注意图形的位置关系，如公共边、公共角、对顶角等往往是隐含的相等条件。书写全等三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上。二、证明全等三角形的一般思路与技巧面对一道全等三角形证明题，通常可以按照以下步骤进行思考：1.明确目标：看清题目要求证明的是哪两个三角形全等，或者通过证明哪两个三角形全等来进一步得到线段或角的关系。2.罗列已知：将题目中给出的已知条件在图形上标记出来，同时挖掘图形中隐含的条件（如公共边、公共角、对顶角、角平分线定义、垂直定义等）。3.选择定理：根据已知条件和图形特征，联想合适的全等三角形判定定理。例如：*若已知两边对应相等，则考虑寻求第三边相等（SSS）或这两边的夹角相等（SAS）。*若已知两角对应相等，则考虑寻求夹边相等（ASA）或其中一角的对边相等（AAS）。*若已知一边一角对应相等，则需根据角的位置（是夹角还是对角）来选择合适的定理。4.规范书写：证明过程要做到条理清晰，步步有据。通常按照“∵（因为）……∴（所以）……”的格式书写，最后点明依据的判定定理。三、典型习题解析与证明示范（一）基础巩固型例1：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。分析：已知条件给出了两组边相等：AB=DE，AC=DF。要证明△ABC≌△DEF，根据SSS或SAS，还需要一个条件。第三个条件可以是BC=EF（SSS），或者∠A=∠D（SAS）。题目中还给出了BE=CF，观察图形可知，点B、E、C、F共线，因此BE+EC=CF+EC，即BC=EF。这样，三组边对应相等，可用SSS证全等。证明：∵BE=CF（已知）∴BE+EC=CF+EC（等式的性质）即BC=EF在△ABC和△DEF中，AB=DE（已知）AC=DF（已知）BC=EF（已证）∴△ABC≌△DEF（SSS）点评：本题直接利用公共线段EC进行等量加等量，得到第三边相等，从而应用SSS定理证明全等，是对基础知识的直接考查。（二）利用公共边或公共角型例2：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC。求证：△ABC≌△ADE。分析：已知AB=AD，AC=AE，这是两组对应边相等。要证全等，可考虑SAS（找夹角）或SSS（找第三边）。题目给出∠BAE=∠DAC，观察这两个角，发现它们都包含∠CAE。因此，∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE，即∠BAC=∠DAE。这正是AB与AC的夹角，AD与AE的夹角。因此，可用SAS证全等。证明：∵∠BAE=∠DAC（已知）∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE（等式的性质）即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中，AB=AD（已知）∠BAC=∠DAE（已证）AC=AE（已知）∴△ABC≌△ADE（SAS）点评：本题的关键在于通过角的和差关系，从已知角相等推导出两个三角形的对应夹角相等，巧妙地利用了图形中角的重叠部分。（三）需要添加辅助线型（初步）例3：如图，AB=CD，AD=CB。求证：∠A=∠C。分析：要证明∠A=∠C，直接证明比较困难。观察图形，AB=CD，AD=CB，这是四边形ABCD的两组对边相等。若连接BD，将四边形分成△ABD和△CDB，则可通过证明这两个三角形全等来得到∠A=∠C。证明：连接BD。在△ABD和△CDB中，AB=CD（已知）AD=CB（已知）BD=DB（公共边）∴△ABD≌△CDB（SSS）∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）点评：当直接证明两个角或两条线段相等有困难时，构造全等三角形是常用的策略。连接对角线是解决四边形问题转化为三角形问题的常用辅助线方法。（四）综合应用型例4：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：∠B=∠C，BD=CE。分析：本题有两个求证结论。首先看∠B=∠C，若能证明△ABE≌△ACD，则对应角∠B=∠C。已知AB=AC，AE=AD，且∠A是公共角，因此△ABE≌△ACD（SAS）。由全等可得∠B=∠C，BE=CD。对于BD=CE，因为AB=AC，AD=AE，所以AB-AD=AC-AE，即BD=CE（也可由BE=CD及公共线段DE，通过BE-DE=CD-DE得到BD=CE，但前者更直接）。证明：在△ABE和△ACD中，AB=AC（已知）∠A=∠A（公共角）AE=AD（已知）∴△ABE≌△ACD（SAS）∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）∵AB=AC，AD=AE∴AB-AD=AC-AE（等式的性质）即BD=CE点评：本题综合考查了SAS判定定理的应用以及利用等式性质证明线段相等。在证明线段差相等时，直接利用已知的相等线段进行减法运算，体现了代数思想在几何中的应用。四、总结与提升全等三角形的证明，核心在于“对应”二字——对应边相等，对应角相等。在解题时，同学们要：1.仔细审题，标记已知：将所有已知条件在图形上清晰地标示出来，有助于直观地发现关系。2.联想定理，寻找条件：根据已知条件和图形结构，主动联想可能适用的判定定理，并积极寻找所缺的条件。3.构造图形，转化问题：对于复杂图形或间接条件，要勇于尝试添加辅助线（如连接线段、作高、平移、旋转等），将问题转化为可利用全等解决的基本模型。4.规范表达，逻辑严谨：证明过程的书写是思维过程的体现，务必做到因果明确，依据充分，格式规范。希望同学们通过上述例题的学习和练习，能够举一反三，逐步掌握全等三角形证明的要领，为后续更复杂的几何学习打下坚实的基础。在练习中要多思考、多