小学五年级数学下册《因数与倍数》单元整体教学设计与实践教案

小学五年级数学下册《因数与倍数》单元整体教学设计与实践教案

一、设计理念与理论依据

本单元教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的数感、推理意识、运算能力与模型意识等核心素养。我们摒弃传统的孤立、碎片化概念传授模式，转向结构化、整体性的单元教学视角。设计核心在于将“因数与倍数”这一数论基础板块，定位为沟通整数性质、引领代数思维的关键节点，而非单纯的知识点罗列。

理论支撑主要源自以下三个方面：

1.建构主义学习理论：强调知识是学习者在具体情境中，通过主动探索、意义建构而获得。本设计通过设计“拼长方形”、“数字探秘”等系列化探究活动，引导学生从具体操作中抽象出数学概念，实现从感性认识到理性认知的跨越。

2.深度学习理论：关注知识的迁移、批判性思维及问题解决能力的培养。教学设计不仅停留于“是什么”和“怎么找”，更深入到“为什么”和“有何用”，通过设计具有挑战性的真实问题情境，驱动学生进行高阶思维。

3.大概念（BigIdeas）教学理论：以“数的整除关系是刻画整数内在结构的一种重要方式”作为本单元的统领性大概念，将因数、倍数、2、5、3的倍数特征、质数与合数等知识点，有机整合为探索“整数世界秩序与规律”的连贯故事线，促进知识的深度融合与长久保持。

二、教学背景分析

（一）课标与教材分析

《因数与倍数》隶属于“数与代数”领域中的“数的认识”主题，是人教版五年级下册第二单元的内容。新课标明确要求：“理解因数、倍数的含义，能找出一个数的所有因数和某个范围内一个数的所有倍数；了解质数（素数）和合数，能判断一个数是否为质数或合数；探索2、5、3的倍数的特征。”这不仅是知识技能目标，更是培养学生抽象思维和逻辑推理能力的重要载体。

从教材编排看，本单元承前启后：

1.纵向联系：在三年级学习了“除数是一位数的除法”、四年级掌握了“除数是两位数的除法”以及整数四则运算的基础上，本单元是对整数性质第一次系统性、理论性的探讨。同时，它又是后续学习最大公因数、最小公倍数、约分、通分等分数的核心知识，乃至初中学习因式分解、分式运算的基石。

2.横向联系：本单元内容与长方形、正方形的面积与周长计算（拼摆活动）、图表与规律探索（倍数特征）等知识存在天然联系，为跨学科主题学习提供了契机。

（二）学情分析

认知基础：五年级学生已具备扎实的整数乘除法计算能力，能够熟练进行多位数乘除运算。在生活经验和以往学习中，他们模糊地感知到“倍”的概念（如一个数是另一个数的几倍）和“平均分”的情境，但尚未从数学本质上对因数与倍数进行精确界定和系统研究。

思维特点：该年龄段学生正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，具备一定的观察、比较、归纳和概括能力。他们喜欢挑战和探索，但对严谨的数学定义和抽象概念的理解仍需具体操作和直观表象的支撑。

潜在困难点预判：

1.概念混淆：容易将“因数”、“倍数”与乘除法算式中的“乘数”、“被除数”等概念混淆；在非整除情况下误用概念。

2.探究方法的完整性：在寻找一个数的因数时，容易遗漏；找倍数时，难以体会其无限性。

3.抽象理解障碍：对“质数与合数”分类标准（基于因数个数）的理解可能停留在记忆层面，对其数学意义和价值感悟不深。

4.特征规律的机械记忆：对2、5、3的倍数特征，可能通过背诵口诀掌握，但对其内在原理（位值制原理）缺乏探究兴趣。

教学策略预设：针对以上学情，本设计将采用“情境激趣—操作感知—抽象定义—探究归纳—迁移应用”的教学路径，强化操作体验，注重说理表达，利用数形结合化解抽象，设计层次性练习突破难点。

三、单元整体教学目标与重难点

（一）单元教学目标

1.知识与技能：

1.2.理解因数、倍数的意义，掌握找一个数的因数和倍数的方法。

2.3.探索并掌握2、5、3的倍数的特征，能准确判断。

3.4.理解质数（素数）和合数的意义，能判断一个数是质数还是合数，并能找出100以内的质数，熟记20以内的质数。

5.过程与方法：

1.6.经历从具体问题或算式中抽象出因数、倍数概念的过程，发展抽象概括能力。

2.7.在探索因数、倍数特征及质数、合数的过程中，学会有序思考、观察比较、归纳猜想等数学方法。

3.8.通过拼摆图形、制作百数表等活动，体会数形结合思想。

9.情感、态度与价值观：

1.10.在探索数学规律的活动中，感受数学知识的内在联系与奇妙，增强学习数学的兴趣和自信心。

2.11.初步体会数学分类思想，养成严谨求实的科学态度和乐于合作交流的学习习惯。

（二）教学重点与难点

1.教学重点：理解因数、倍数的相互依存关系；掌握找一个数的因数和倍数的方法；理解并应用2、5、3的倍数特征；区分质数与合数。

2.教学难点：有序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数；理解倍数特征的探索过程与原理；从因数个数的角度深刻理解质数与合数的本质区别。

四、单元整体教学规划（共5课时）

课时

核心课题

关键问题/任务

核心素养聚焦

第1课时

建构概念：因数与倍数的意义

用12个同样的小正方形可以拼成几种不同的长方形？这些拼法与12的乘除法算式有何联系？

数感、模型意识、抽象能力

第2课时

掌握方法：找一个数的因数与倍数

如何有条理地找出18的所有因数？如何在1-100中找出7的所有倍数？它们各有何特点？

运算能力、有序思考、推理意识

第3课时

探索规律（一）：2、5的倍数特征

在百数表中，2和5的倍数排列有什么神奇的“队列”？为什么只看个位就能判断？

几何直观、归纳推理

第4课时

探索规律（二）：3的倍数特征

3的倍数特征与2、5有何不同？为什么要看各个数位上的数字之和？

推理意识、运算能力、探究精神

第5课时

数的再分类：质数与合数

给1-20这些数按“朋友”（因数）的多少来分家，可以怎么分？“朋友”最少和最多的数有何特点？

分类思想、抽象概括、模型意识

五、分课时教学设计详案（教学实施核心环节）

第一课时：因数与倍数的意义建构

（一）情境导入，提出问题

1.游戏引入：“数字对对碰”。教师说一个乘法算式（如3×4=12），学生快速说出其逆运算除法算式（12÷3=4，12÷4=3）。复习乘除法的互逆关系，为新课铺垫。

2.任务驱动：呈现问题：“学校美术社团有12名同学，老师想把他们分成人数相等的若干小组进行活动，可以怎样分？（每组至少2人，且必须是整数组）”学生独立思考后，列出所有可能的分法：分成2组每组6人，3组每组4人，4组每组3人，6组每组2人，也可以分成1组12人或12组1人。

3.建立联系：引导学生将上述“分组方案”用乘除法算式表示：2×6=12,3×4=12,1×12=12；以及12÷2=6,12÷3=4,12÷1=12等。明确这些算式中都蕴含着一种特殊的整数关系。

（二）操作探究，建构概念

1.数形结合，深度感知：

1.2.出示操作要求：“用12个面积是1平方厘米的小正方形，拼成一个大的长方形，你能拼出几种不同的形状？记录下每排摆了几个，摆了几排。”

2.3.学生动手操作，小组交流。汇报成果：可以拼成1×12，2×6，3×4三种长方形。

3.4.教师引导学生将“每排个数”、“排数”与刚才的“每组人数”、“组数”以及乘法算式中的“乘数”对应起来。

5.抽象概括，引出概念：

1.6.聚焦算式3×4=12。教师讲授：在整数除法中，如果商是整数而没有余数（整除），我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。

2.7.具体到12÷3=4，我们可以说：12是3和4的倍数，3和4是12的因数。

3.8.学生模仿说一说在2×6=12和1×12=12中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

9.辨析讨论，深化理解：

1.10.关键讨论1：能不能单独说“12是倍数”或“3是因数”？为什么？（强调因数与倍数的相互依存关系，必须说清谁是谁的因数/倍数，如同父子关系不能单独存在）。

2.11.关键讨论2：根据12÷5=2……2，我们能说5是12的因数吗？为什么？（强化概念前提：整除。引出在研究因数和倍数时，我们所说的数一般指不包括0的自然数）。

3.12.练习内化：根据算式如20÷4=5，或出示如“8是倍数，4是因数”这样的判断题，让学生辨析并说明理由。

（三）巩固应用，拓展思维

1.基本练习：完成教材“做一做”，根据算式说出因数和倍数关系。

2.变式练习：一个长方形面积是24平方厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有几种？长和宽分别是多少？（将因数概念应用于几何问题）。

3.课堂小结：引导学生总结——今天我们认识了整数世界里一对新的“关系”：因数和倍数。它们存在于整除的算式中，相互依存。研究它们，能帮助我们更好地了解数的“结构”。

（设计意图：本课时摒弃直接给出定义的方式，从真实的分组问题和动手拼摆活动切入，让学生在解决实际问题和操作体验中，自然生成乘除法算式，进而教师抓住契机，揭示其中蕴含的数学概念。通过两次关键讨论，深刻理解概念的依存性与前提条件，为后续学习奠定坚实的逻辑基础。）

第二课时：找一个数的因数与倍数

（一）复习关联，明确任务

复习上节课内容后，直接抛出本课核心任务：“我们已经知道了什么是因数和倍数。现在，如果给你一个具体的数，比如18，你能找出它所有的因数吗？你能在1-100中找出它的一些倍数吗？怎样才能找得‘又快又全’？”

（二）探究“找因数”的方法与特点

1.自主探究，初步尝试：让学生独立尝试找出18的所有因数。教师巡视，收集典型方法（无序罗列、有序成对找等）和错误案例（遗漏、重复）。

2.策略交流，优化方法：

1.3.展示学生的不同找法，引导学生比较哪种方法更好，为什么。

2.4.聚焦“有序成对找”的策略：从最小的因数1开始试除，看能整除的商是多少，那么除数和商就是一对因数。即1×18=18,2×9=18,3×6=18。当试到4、5不能整除，6已出现（与3配对），即可停止。

3.5.引导学生用集合图表示18的因数：{1,2,3,6,9,18}。

6.观察归纳，发现特点：

1.7.让学生再找出几个数（如16、24、7）的因数，观察因数的个数和排列特点。

2.8.引导学生发现：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的因数的个数是有限的。

（三）探究“找倍数”的方法与特点

1.迁移方法，主动构建：“我们找到了找因数的方法。那要找某个数的倍数，比如2的倍数，可以怎么找？”引导学生想到用这个数依次乘1、2、3、4……。

2.动手操作，直观感知：在课前下发的百数表上，圈出2的倍数。观察这些数的排列有什么规律（一列一列的，个位是0,2,4,6,8），为下节课探究特征埋伏笔。

3.对比归纳，明确差异：

1.4.让学生找出3的倍数（口头说，或写几个），感受倍数可以无限找下去。

2.5.引导学生对比因数与倍数的找法和结果特点：

找的方法

结果的个数

最小

最大

因数

想乘法算式或试除

有限

1

它本身

倍数

用这个数乘自然数

无限

它本身

没有

（四）分层练习，巩固方法

1.基础层：找出指定数（如30、36）的所有因数；写出指定数（如4、9）的5个倍数。

2.综合层：一个数是42的因数，同时也是3的倍数，这个数可能是多少？

3.挑战层：猜数游戏。一个数既是24的因数，又是8的倍数，这个数是多少？一个数的最大因数和最小倍数都是18，这个数是多少？

（设计意图：本课时将“找因数”与“找倍数”对比教学，让学生在探究中掌握“有序思考”这一核心数学方法。通过观察、比较、归纳，自主发现因数与倍数在“个数”、“最小/最大”等方面的本质差异，实现方法的迁移与概念的深化。）

第三课时：2、5的倍数特征

（一）创设情境，激发探究欲

1.情境：“超市理货员要将一批饮料装箱。一种是每2瓶一盒，一种是每5瓶一盒。他想快速知道哪些数量的饮料能正好装完2瓶装，哪些能正好装完5瓶装，有什么好办法吗？”

2.引出课题：这就是要快速判断一个数是不是2或5的倍数。今天我们就来当一回“数学侦探”，揭开2和5倍数特征的秘密。

（二）探究2的倍数特征

1.观察百数表，发现规律：

1.2.学生在百数表上再次圈出2的倍数（或用不同颜色标注）。

2.3.小组讨论：这些被圈出的数在排列上有什么共同特点？

3.4.汇报交流：引导学生从横行、竖列、斜行多个角度观察，最终聚焦到“个位”上：个位上是0、2、4、6、8的数。

5.举例验证，形成猜想：任意举几个个位是0/2/4/6/8的数（如34、106、270），验证是否都是2的倍数；再举几个不是2的倍数的数，观察其个位特点。初步形成“个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数”这一猜想。

6.初步说理，理解原理（借助位值）：

1.7.以34为例：34=30+4。30是10的倍数，10是2的倍数，所以30一定是2的倍数。因此，34是否是2的倍数，就由“4”决定。4是2的倍数，所以34是2的倍数。

2.8.引导学生用同样方法分析56、108等。理解判断一个数是否是2的倍数，关键在于它的“个位数字”。

9.引出概念：是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。让学生说一说生活中的偶数和奇数应用。

（三）自主探究5的倍数特征

1.方法迁移：要求学生借鉴探究2的倍数特征的过程，独立或小组合作探究5的倍数特征。

2.汇报总结：学生通过圈画百数表、观察、验证，得出“个位上是0或5的数是5的倍数”。

3.对比归纳：将2和5的倍数特征进行对比，发现它们都只与“个位数字”有关。思考：为什么？引导学生从10是2和5的倍数这一角度进行解释。

（四）综合应用与拓展

1.快速判断练习。

2.解决问题：“一个四位数□27□，既是2的倍数又是5的倍数，这个四位数可能是多少？”（理解同时是2和5的倍数，个位必须是0）。

3.拓展思考：既是2的倍数，又是5的倍数，有什么特征？（个位是0）这样的数是谁的倍数？（10的倍数）

（设计意图：本课时采用“问题情境—观察发现—验证猜想—初步说理”的完整探究流程，重点培养学生从数据中归纳规律的能力。通过对比教学，让学生发现2和5倍数特征的共性（看个位）及其背后的算理，并为下一课探究3的倍数特征（不同）制造认知冲突，激发持续探究的动力。）

第四课时：3的倍数特征

（一）制造冲突，引发猜想

1.复习导入：回顾2、5的倍数特征（看个位）。

2.设疑激趣：“那么，3的倍数特征是不是也看个位呢？请大家先猜一猜。”

3.初步验证，否定猜想：学生随意列举3的倍数（如3,6,9,12,15,18,21,24…），观察个位：0-9都有出现。“看来，只看个位无法判断是不是3的倍数。3的倍数一定有它自己独特的‘密码’，我们今天就来破译它！”

（二）合作探究，发现规律

1.数据准备：在百数表中圈出所有3的倍数。

2.引导观察新角度：教师提示：“既然个位不行，我们不妨看看这个数‘各位上的数字’有什么特点。比如12，各位数字是1和2，把它们加起来1+2=3。3是3的倍数吗？再试试其他数。”

3.小组合作，计算归纳：

1.4.小组分工，计算百数表中各个3的倍数各位数字之和。

2.5.记录数据，观察这些“和”有什么特点。

3.6.发现规律：一个数各位上的数字之和如果是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。

7.广泛验证，确认规律：

1.8.小组内互相出题验证（包括较大的数如123、2019）。

2.9.尝试找反例，巩固认知。

（三）深入说理，理解原理（模型化解释）

这是体现教学深度的关键环节，采用直观模型帮助学生理解。

1.以“24”为例：24可以用2捆小棒（每捆10根）和4根单根表示。

1.2.每捆10根，10除以3余1。所以2捆小棒，就相当于有2个“余1”。

2.3.单根有4根。

3.4.总共的“余量”可以看作：2×1+4=6（根）。这里的“6”正是各位数字之和“2+4”的结果。

4.5.判断24是否是3的倍数，就看这6根是否能被3整除。6能被3整除，所以24是3的倍数。

6.推广模型：任何一个多位数，都可以看作由几个十、几个百……组成。而10、100、1000……除以3的余数都是1。因此，判断这个数除以3的余数，实际上就是看它的各个数位上的数字之和除以3的余数。如果数字之和是3的倍数，则原数就是3的倍数。

7.视频或动画演示：播放演示小棒或计数器模型的动画，将抽象算理可视化。

（四）对比总结，灵活应用

1.对比2、3、5倍数特征：完成对比表格，清晰区分判断依据的不同。

2.综合练习：

1.3.判断一个数是否是3的倍数。

2.4.□里填几，使这个数成为3的倍数（如4□，2□7）。

3.5.解决问题：“王老师买了63个笔记本，准备平均分给几个小组。如果每个小组分到的本数既是2的倍数又是3的倍数，可以分给几个小组？”

（设计意图：本课时通过制造认知冲突，激发学生强烈的探究欲望。引导学生转换观察角度，从“看个位”转向“看各位数字之和”，经历完整的“猜想—探究—发现—验证—说理”过程。尤其是运用小棒模型解释原理，将高层次的数论知识直观化，有效突破了教学难点，培养了学生的推理意识和模型思想。）

第五课时：质数与合数

（一）游戏分类，引入概念

1.活动导入：“请写出1-20各数的所有因数。”学生独立完成。

2.分类活动：“如果按每个数因数的个数来给这些数分分类，你会怎么分？小组内讨论，并说出分类标准。”

3.汇报交流：学生可能会出现多种分类（如：只有一个因数的；只有两个因数的；有两个以上因数的等）。教师引导聚焦于“因数个数”这个标准。

（二）抽象概括，形成概念

1.揭示概念：

1.2.展示按因数个数分类的标准结果：

1.2.3.只有1个因数：1。

2.3.4.只有2个因数（1和它本身）：2,3,5,7,11,13,17,19。

3.4.5.有2个以上因数：4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20。

5.6.讲授：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数（或素数）。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数。

6.7.特别强调：1既不是质数，也不是合数。

8.理解内化：

1.9.让学生判断23、29、35、49是质数还是合数，并说明理由。

2.10.讨论：自然数（除0外）可以分成哪几类？（质数、合数、1）

（三）深入探究，制作百内质数表

1.任务：找出100以内的所有质数。

2.介绍“筛法”（埃拉托斯特尼筛法）：

1.3.先划去1（它不是质数）。

2.4.圈出最小的质数2，然后划去所有2的倍数（除了2本身）。

3.5.圈出下一个没被划去的数3（质数），划去所有3的倍数（除了3本身）。

4.6.依次类推，圈出5，划去5的倍数……直到下一个数（7）的平方大于100，剩下的未划去的数就都是质数。

7.学生实践：在百数表上动手操作“筛”出质数。

8.观察发现：观察100以内的质数表，你有什么发现？（质数分布不均匀，除了2和5，质数个位多是1、3、7、9，但反之不成立等）

（四）沟通联系，拓展视野

1.与奇偶数关联：讨论“所有的质数都是奇数吗？”（2是唯一的偶质数）“所有的奇数都是质数吗？”（9、15等是奇数但不是质数）

2.数学文化渗透：简要介绍“哥德巴赫猜想”（任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和），感受数学的无穷魅力。

3.实际应用：简析质数在密码学（如RSA加密算法）中的重要作用，体会数学的现代价值。

（设计意图：本课时从分类活动入手，让学生亲身参与概念的生成过程。通过制作百内质数表这一经典数学活动，让学生不仅掌握了找质数的方法，更体验了数学先贤的智慧。最后的沟通拓展环节，将质数概念置于更广阔的数学与现实背景中，提升了学习的意义感和深度。）

六、教学评价设计

本单元评价贯穿教学始终，采用“过程性评价”与“终结性评价”相结合的方式，关注学生核心素养的发展。

1.课堂观察评价：设计《课堂学习行为观察记录表》，关注学生在操作、讨论、汇报等环节的参与度、合作意识、思维条理性及表达能力。

2.作业与练习评价：

1.3.基础达标作业：面向全体，检验对概念、方法、特征的掌握程度。

2.4.探究性作业：如“研究4、25的倍数特征，并尝试解释原因”、“设计一个能快速判断一个数是否是6的倍数（或同时是2、3倍数）的游戏或方法”。

3.5.数学日记/小报：撰写关于“奇妙的因数与倍数”或“质数之谜”的数学日记或制作小报，展现学习收获与思考。

6.单元学习评价单：包含概念辨析、方法应用、问题解决、拓展探究等多个维度的题目，全面评估学习效果。

七、板书设计（以第一、五课时为例）

第一课时板书：

因数与倍数

情境：12个同学分组→拼长方形：1×12，2×6，3×4

算式：12÷3=4……整除

概念：在整数除法中，商是整数而没有余数。

被除数是除数和商的倍数。

除数和商是被除数的因数。

（相互依存）

注意：研究范围（非0自然数）；前提（整除）。

第五课时板书：

质数与合数

1-20因数个数分类：

只有1个因数：1→既不是质数，也不是合数。

只有2个因数（1和本身）：2,3,5,7,11,13,17,19→质数

有2个以上因数：4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20→合数

核心：按“因数个数”分类。

100以内找质数：“筛法”

2（划2倍）→3（划3倍）→5（划5倍）→7（划7倍）→…

特殊：2是唯一的偶质数。

八、作业设计样例

基础性作业（必做）：

1.分别写出36和48的所有因数。

2.写出50以内7的所有倍数。

3.从下面的数中圈出3的倍数：45、102、671、2019、8004。

4.判断：2