小学数学四年级下册“数学好玩”之“密铺”主题单元导学案（北师大版）

小学数学四年级下册“数学好玩”之“密铺”主题单元导学案（北师大版）

一、教材分析与课程定位

本课隶属于北师大版四年级下册第六单元“数学好玩”，是在学生初步认识平面图形特征、掌握平移与旋转等图形运动知识后设置的跨学科综合实践活动。教材以“密铺”为载体育人目标聚焦于数学抽象、逻辑推理与直观想象核心素养，通过观察、操作、猜想与验证，引导学生从生活现象中提炼数学规律，体会几何图形内在的秩序美与数学的应用价值。本单元内容不追求严密的定理证明，而是强调“做数学”的过程体验，将数学与艺术、建筑、信息技术等自然融合，是落实“综合与实践”领域课程理念的典范课例。【非常重要】【课改风向标】

二、学情精准画像

四年级学生正处于由具体形象思维向初步抽象逻辑思维过渡的关键期，对常见平面图形（长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形、圆）已有直观认识，能运用平移、旋转进行简单图形拼摆。但其空间观念仍以感性经验为主，对“无空隙、不重叠”这一密铺本质属性的理解易停留于表面，容易将图形简单拼接等同于密铺，对“图形内角与拼接点关系”的深层规律缺乏探究意识。此外，该年龄段学生具有强烈的好奇心与动手欲望，小组合作常规已基本建立，适合开展长时段、大空间的探究活动。【重要】

三、跨学科统整视域

本设计打破数学单科壁垒，横向联结美术学科中的图案构成、平面构成原理，纵向引入信息技术学科Scratch图形化编程验证密铺可能，同时渗透建筑学中马赛克镶嵌、伊斯兰几何纹样等文化元素。以“数学眼·艺术手·工程师脑”为素养生长线，培育学生在真实情境中调用多学科知识解决复杂问题的能力。【跨学科创新点】

四、教学目标层级建构

（一）基础性目标（保底要求）

1.结合生活实例，理解密铺的含义，能准确识别日常生活中常见的密铺现象。【重要】

2.通过猜想与动手操作，发现单一正多边形能够密铺的条件：当拼接点处几个正多边形内角之和为360°时即可密铺。【高频考点】【难点】

3.能运用给定的一种或几种平面图形进行密铺设计，并用平移、旋转等几何变换描述密铺过程。

（二）发展性目标（素养进阶）

1.在小组合作中经历“猜想—实验—验证—归纳”的完整探究过程，发展合情推理与演绎推理能力。【非常重要】

2.从数学本质出发，欣赏密铺作品的秩序感与韵律感，能用数学语言表达对图案美学的理解。

3.初步建立“分类讨论”与“优化思想”，在组合密铺中体验最简方案设计。

（三）跨学科目标

1.运用美术二方连续、四方连续原理创作个性化密铺图案。

2.尝试用Scratch编程语言模拟图形密铺，感受算法思维与数学规律的深度耦合。【热点】

五、教学重难点聚焦

1.教学重点：通过动手操作发现正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺，而正五边形不能单独密铺；理解密铺与图形内角之间的关系。【非常重要】【高频考点】

2.教学难点：从“拼接点处角度和为360°”这一数学本质出发，解释为什么某些图形不能密铺；运用多种图形进行创造性组合密铺。【难点】

六、教学准备与资源配置

教师端：交互式电子白板、几何画板动态演示课件、正多边形密铺微课、伊斯兰建筑纹样图库、马赛克瓷砖实物样本。

学生端（4人一组）：密铺探究学具袋（含正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形纸片若干，平行四边形、梯形、任意三角形纸片，1开绘图纸、彩色马克笔）、IPAD预装ScratchJunior模块、学习任务单（含自评与他评量规）。

七、教学实施过程（核心环节，全流程深度展开）

【第一课时】发现密铺——从生活感知到数学抽象

（一）唤醒经验，锚定概念（约7分钟）

1.情境对比，制造认知冲突

教师利用电子白板依次呈现三组图像：第一组为故宫太和殿“金砖”铺地、伊斯兰几何纹样墙面、现代马赛克装饰画；第二组为鹅卵石小路（含明显空隙）、拼图玩具（块面间有间隔）；第三组为重叠摆放的瓷砖图片。

师：“请仔细观察，哪一组图片中的铺法能被称为‘密铺’？试着和同桌说一说你的理由。”

学生基于直观经验初步判断，多数能指出“无空隙、不重叠”这两个核心要素。教师顺势板书学生生成的关键词，并以“数学上把这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺满一片区域的铺法称为密铺”给出规范定义。【重要】

2.概念辨析，精准化理解

呈现四幅易混图（含圆形拼接、菱形加空隙、部分重叠图案），学生用手势判断“是/否密铺”。特别针对圆形图展开辩论：圆与圆之间必然存在曲边围合的月牙形空隙，因此不是密铺。此环节强化概念的本质属性，根除迷思概念。【高频考点】

（二）聚焦单一图形，实验求证（约18分钟）

1.提出猜想，确定研究对象

师：“是不是所有的平面图形都能单独密铺呢？我们的祖先很早就发现了这个奥秘，他们用正方形砖铺地，用正六边形蜂巢建房。今天，每个小组的学具袋里都有五种正多边形纸片，请大胆猜一猜：哪些能密铺，哪些不能？”

小组内交流猜想，学习任务单记录：全班初步统计，多数认为正三角形、正方形可以，正六边形部分存疑，正五边形、正八边形分歧最大。教师不急于评价，而是将问题转化为可操作实验。【非常重要】

2.动手操作，采集证据

四人小组明确分工：一人负责铺排操作，一人记录铺排过程（拍照或画简图），一人数算拼接点处内角和，一人准备汇报。每人必须至少在小组内完整口述一次自己的发现。

教师巡回指导，重点关注：①学生是否围绕一个顶点进行拼摆；②当图形无法密铺时，学生是否尝试了不同的排列方向；③对正五边形、正八边形，学生是否记录了空隙出现的位置与角度特征。

3.数据汇总，初步建模

各组将实验结果录入教师端汇总表，全班形成以下数据阵列：

正三角形：能密铺，拼接点处6个三角形，内角和60°×6=360°。

正方形：能密铺，拼接点处4个正方形，内角和90°×4=360°。

正五边形：不能密铺，拼接点处3个正五边形内角和108°×3=324°，小于360°；4个则为432°，大于360°。

正六边形：能密铺，拼接点处3个正六边形内角和120°×3=360°。

正八边形：不能密铺，拼接点处3个正八边形内角和135°×3=405°，超过360°。

师：“观察这张数据表，你发现了什么惊人的规律？”引导学生归纳：拼接点处多个正多边形的内角之和必须是360°。【难点突破】【高频考点】

（三）规律迁移，验证非正多边形（约10分钟）

1.即时检验，强化模型

提供平行四边形、梯形、任意三角形纸片（非正多边形），学生预测其密铺能力并用实验验证。各组发现：平行四边形显然可以密铺（转化为长方形思路），任意三角形通过旋转、翻转也能密铺（拼接点处6个三角形内角和依然360°）。此环节将规律从“正多边形”推广至“任意全等图形”，深化学生对“内角和定则”普适性的理解。【非常重要】

2.反例深究，逼近本质

抛出挑战性问题：“为什么圆形不能密铺？正五边形为什么就差这36°？”引导学生从图形边线特征思考：直边图形可通过边与边的重合构建平面，曲边图形必然产生空隙；正五边形内角不是360°的约数，无法在顶点处实现整数倍拼接。此问不要求全盘掌握，旨在触发深度思维。

（四）课堂复盘与延展（约5分钟）

各小组用一句话概括今日最大收获，教师提炼核心：密铺的本质是“围绕一个顶点的内角和360°”。布置弹性作业——基础层：回家寻找3种生活中的密铺现象并拍照；挑战层：尝试用两种不同正多边形组合，看看能否密铺。【重要】

【第二课时】玩转密铺——从规律应用到创意表达

（一）唤醒旧知，聚焦新问题（约5分钟）

快速回顾上节课核心规律，展示一组半密铺图案（如正八边形与正方形组合）。师：“只用一种正八边形无法密铺，但如果允许加入正方形，奇迹发生了——这正是中世纪阿拉伯数学家阿尔卡西的发现。今天我们就来当一次镶嵌艺术家，用两种甚至多种图形创造密铺世界。”

（二）组合密铺，探寻最简方案（约20分钟）

1.问题降维：正八边形与正方形的相遇

教师用几何画板动态演示：以一个正八边形为中心，四周恰好用一个小正方形填满空隙，形成“一环”密铺。引导学生关注每个拼接点的图形组合：一个正八边形内角135°，两个正方形内角90°×2=180°，总和135°+90°+135°=360°？不对，实际拼接点处是一个正八边形、两个正方形、另一个正八边形？此处精细分析：在正八边形密铺中，每个拼接点实际是由一个正八边形、一个正方形、另一个正八边形、另一个正方形交替围成，即两个135°与两个90°交替，和为450°？不，这是学生易混乱处。教师需放慢：实际观察标准“正八边形-正方形”密铺图案，每个顶点周围是一个正八边形（135°）、一个正方形（90°）、一个正八边形（135°），三个角已经360°，但第四个角（90°）从哪里来？实际上该顶点属于四个图形的公共点，顺序应为：正八边形135°、正方形90°、正八边形135°，这三个角和为360°，正方形另一个90°不在这个顶点处。因此该顶点周围只围绕三个图形。更严谨地说，这种密铺在顶点处的图形组合是(8,4,8)，内角和135+90+135=360。【难点深度剖析】【热点】

2.合作探究：寻找其他组合

各组领取“组合密铺任务卡”，分别尝试：正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正五边形与菱形（提供菱形角度可调教具）等。学生需记录：①能否密铺；②如果可以，写出顶点处图形序列及内角和算式。

全班汇总发现：正三角形与正方形有两种经典组合（3,3,3,4,4）及（3,3,4,3,4）；正三角形与正六边形组合为（3,6,3,6）或（3,3,6,6）；正五边形需与特殊菱形（内角72°和108°）配合才可实现密铺，且周期较长。【非常重要】

3.抽象提升：从特例到不定方程

教师引导学生将问题符号化：设围绕一个顶点的m种正n边形各出现a次，其内角分别为(n-2)×180/n，则有Σ[a_i×(n_i-2)×180/n_i]=360。化简为Σa_i×(1-2/n_i)=2。此方程为丢番图方程，整数解即为可能的组合密铺方案。此处不要求全体学生掌握方程求解，而是渗透代数思想，为学有余力者打开视野。【跨学科拔高】

（三）STEAM工坊：从数学密铺到艺术创作（约15分钟）

1.数学眼光解构经典

展示埃舍尔《昼与夜》、阿尔罕布拉宫墙面纹样，引导学生用“基本形+变换”描述图案生成逻辑。学生发现：看似复杂的鸟、鱼图形，其实是由平行四边形经过平移、旋转、反射得到的；伊斯兰纹样中大量使用正六边形与正五角星组合，但后者并非严格密铺，中间常填充小六边形。此环节打通数学与艺术的边界，强化“变换”作为密铺生成工具的核心地位。【跨学科】【热点】

2.创意实践：设计班徽密铺背景

每组领取一张1开绘图纸，任务是：为班级设计一款独一无二的密铺背景图案，要求必须使用至少一种本节课发现的密铺规律，且图案需体现班级特色（如班名、班训）。学生综合运用剪贴、手绘或IPAD绘图软件进行操作。教师巡回指导，鼓励学生先确定基本单元形（可以是具象的帆船、小树，但必须转化为可密铺的四边形或六边形），再通过、排列铺满画面。【非常重要】

（四）技术赋能：Scratch验证密铺猜想（约10分钟）

1.微课自学算法逻辑

播放5分钟微课，演示如何利用Scratch“图章”或“克隆”指令，将绘制的基本图形沿x轴、y轴重复出现。重点展示当图形旋转角度设置不当时，图案之间出现空隙或重叠。

2.小组挑战：编程验证正五边形不能密铺

每组在IPAD上尝试：绘制正五边形角色，设置重复执行、每次右转108°并移动固定步长，观察屏幕输出。学生很快发现无论怎样调整，图形间必然留出菱形空隙。有小组尝试改变移动步长或叠加不同颜色，依然失败。由此直观感受数学规律在计算机模拟中的必然性。【热点】【难点】

（五）反思复盘，建构认知地图（约5分钟）

1.学习支架：完成“密铺探究三维度”思维导图（维度一：条件→拼接点内角和360°；维度二：类型→单一密铺与组合密铺；维度三：变换→平移、旋转、反射）。

2.自我评价：根据量规表从“概念理解、操作探究、合作交流、创意表现”四项进行星级自评，并书写一句“密铺心语”。

八、板书设计逻辑架构（纯文本呈现）

核心区：左侧板书“密铺三要素”——无空隙、不重叠、无限延伸；中央板书核心公式“拼接点内角和=360°”，下方分别列举正三角形（60°×6）、正方形（90°×4）、正六边形（120°×3）等正例，以及正五边形（108°×3+？）等反例。

拓展区：右侧板书“组合密铺典型序列”：（3,3,3,4,4）、（3,3,4,3,4）、（3,6,3,6）、（4,8,8），并用简笔图标示顶点处图形排列顺序。

生成区：下方留白，用于贴放学生创意设计中提炼出的基本单元形卡片。

九、教学效果评价设计

（一）表现性评价嵌入全程

第一课时采用“实验报告即时评”：重点观察学生能否在学具操作中主动关联内角和数据，对能主动计算拼接点内角和的小组予以“数学建模星”奖励。第二课时采用“作品鉴赏多维评”：从密铺条件的符合性（40%）、图形变换的丰富性（30%）、美学创意（20%）、小组协作（10%）四个维度，组间互评与教师评议结合。优秀作品将转化为电子班牌动态背景。【重要】

（二）纸笔测验素养化

课后练习不设单纯计算题，而是设计真实任务：“学校劳动基地需要铺设一条小径，现有正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖，且正五边形数量极少。请你设计至少两种既不浪费材料又美观的铺法，并用数学语言向施工师傅说明方案可行性。”此题将密铺条件、方案优化、数学表达高度统整，精准评测学生迁移应用水平。【高频考点】【非常重要】

十、