初中数学八年级下册第四章因式分解单元复习导学案（北师大版）

初中数学八年级下册第四章因式分解单元复习导学案（北师大版）

一、教学内容分析

【基础】本章属于“数与代数”领域中“整式与分式”的重要部分，是整式乘法的逆变形，也是后续学习分式的约分与通分、解一元二次方程、二次函数、不等式恒等变形乃至高中数学中代数式化简与运算的基石-2。复习课并非新授课的简单重复，而是要在学生已初步掌握提公因式法、公式法的基础上，帮助学生打破章节壁垒，从知识结构、思想方法、应用价值三个维度重构认知体系。核心在于引导学生体会因式分解与整式乘法的互逆关系【重要】，并能根据多项式的结构特征，灵活、正确地选择并综合运用多种方法进行分解，最终达到“见式识法、分解彻底”的熟练程度【高频考点】。

二、学情研判

1.知识基础：学生已学习了整式乘法运算，掌握了平方差公式和完全平方公式，并能初步运用提公因式法、公式法进行因式分解。但对公式的结构特征把握不准（如对完全平方公式中间项系数的判断），容易混淆因式分解与整式乘法的过程，在综合运用多种方法时，往往思路混乱，不知从何下手【难点】。

2.能力水平：八年级学生具备了一定的观察、类比和归纳能力，但抽象逻辑思维仍需具体经验的支持。在复习中，需要通过典型例题的示范和变式训练，引导其总结解题策略，实现从“会做”到“会想”的思维跃升。

3.情感态度：复习课易陷入“题海战术”的枯燥感。因此，教学设计需创设具有挑战性和探索性的问题情境，让学生在“变式”中发现“不变”的规律，在“纠错”中深化理解，从而保持学习的内驱力。

三、单元复习目标

1.知识与技能：熟练掌握提公因式法（公因式可以是单项式或多项式）、平方差公式和完全平方公式的特征，能准确、迅速、彻底地对不超过三项或四项的多项式进行因式分解【重要】。

2.过程与方法：通过对比、类比、归纳，经历因式分解方法的选择与优化过程，感悟其中的类比思想、整体思想和化归思想；能够借助几何图形解释因式分解的意义，建立代数与几何的关联【数形结合】。

3.情感态度价值观：在探究与辨析中，培养严谨的逻辑推理能力和一丝不苟的运算习惯，感受代数恒等变形的结构美与简洁美。

四、核心素养指向

重点发展学生的“运算能力”、“推理能力”和“几何直观”。通过因式分解的恒等变形，培养符号意识和化归思想；通过拼图解释公式，建立几何直观【非常重要】。

五、复习重难点

1.重点：熟练运用提公因式法和公式法分解因式，明确因式分解的解题步骤（一提二套三检查）【高频考点】。

2.难点：准确判定公因式（特别是首项为负或公因式为多项式时）；准确识别公式结构（完全平方公式中间项的验证）；多种方法的综合运用及分解到不能再分解为止（即结果中每个因式必须为最简形式）【难点】。

六、教学与学法设计

1.教法：采用“问题链驱动法”与“变式教学法”相结合。通过设置一系列由浅入深、环环相扣的问题，引导学生主动回忆、辨析、归纳。辅以典型错误案例的辨析，让学生在“试错”与“纠错”中强化认知。

2.学法：倡导“自主梳理—合作探究—反思建构”的学习方式。课前通过导学案引导学生自主构建知识网络；课堂中通过小组讨论解决共性问题，通过个人独立挑战完成高阶思维训练；课后通过分层作业实现个性化延伸。

七、教学准备

多媒体课件（PPT）、几何画板动态演示（展示平方差公式与完全平方公式的几何意义）、导学案（含知识清单、例题、变式训练、当堂检测）。

八、教学实施过程（核心环节）

（一）唤醒与建构：构建知识网络图（约8分钟）

教师活动：开门见山，提出问题：“本章我们学习了一种重要的代数恒等变形——因式分解。如果让你用一张图或几个关键词来概括本章的知识结构，你会怎么画？”给学生3分钟时间，在导学案的指定区域独立绘制或完善自己的知识结构图。

学生活动：回顾、梳理、绘制。随后，邀请两位学生上台展示并讲解自己的知识网络（可能包括：概念、两种基本方法、步骤、与整式乘法的关系等）。

师生互动：教师根据学生的展示，利用板书或PPT动态生成“知识树”。重点强化三个核心：【重要】

1.一个关系：因式分解与整式乘法是互逆变形。

2.两种方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）。

3.三个步骤：一提（提公因式）、二套（套用公式）、三检查（检查是否分解彻底，检查整式乘法还原是否正确）。

设计意图：从碎片化记忆走向结构化认知，让学生站在高处俯瞰本章内容，明确复习的边界与核心。

（二）辨析与内化：核心概念再回首（约5分钟）

教师活动：呈现一组判断题，让学生快速口答并说明理由。

1.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）【基础】

A.(x+2)(x-2)=x²-4B.x²+2x+1=x(x+2)+1

C.a²-4ab+4b²=(a-2b)²D.x²-4+3x=(x-2)(x+2)+3x

2.因式分解的结果(x+2)(x-2)+x²，对吗？为什么？

学生活动：判断、辨析、纠错。第2题引导学生理解因式分解的结果必须是“几个整式的积的形式”，不能含有加减运算。

设计意图：通过概念辨析，彻底清除认知误区，强调因式分解的“恒等变形”与“最终形式”【非常重要】。

（三）聚焦与深化：核心方法精讲与变式（约20分钟）

本环节采用“一例一变一总结”的模式，直击重难点。

第一板块：提公因式法——公因式要“提尽”，符号要“看清”

例题1：分解因式（师生共析）【重要/高频考点】

(1)-4m³+16m²-6m

(2)2a(b+c)-3(b+c)

教师引导：第(1)题，强调“首项为负，先提负号”，避免符号出错；公因式的确定：“系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂”，即公因式为-2m。分解后，要检查括号内的项数是否与原多项式项数一致（原三项，提后括号内仍为三项）。第(2)题，强调“整体思想”，把(b+c)看作一个整体，公因式为(b+c)。分解后，注意检查另一个因式(2a-3)是否还能分解。

变式训练1（学生独立完成）：

分解因式：(1)-3x²y+12xy²-9xy(2)(x-y)²+x(y-x)【热点】

设计意图：通过第(2)题的变式，训练学生对互为相反数的多项式因子进行符号变换的技巧，这是后续学习的难点和热点。

第二板块：公式法——结构特征要“精准”，整体代换要“灵活”

例题2：分解因式（小组讨论，代表板演）【难点/高频考点】

(1)9(a+b)²-4(a-b)²

(2)x²y-4xy+4y

(3)(x²+4)²-16x²

教师活动：巡视，发现典型解法。针对第(1)题，引导学生将其看作[3(a+b)]²-[2(a-b)]²，应用平方差公式后，再合并同类项，看每个因式是否还能继续分解。第(2)题，强调“先提公因式，再用公式”的步骤。先提y，得到y(x²-4x+4)，再用完全平方公式。第(3)题，极易出错。学生可能直接先用平方差公式，得到(x²+4+4x)(x²+4-4x)，此时要追问：“还能继续分解吗？”引导学生发现括号内都是完全平方式，最终应为(x+2)²(x-2)²。

变式训练2（分层挑战）：

基础层：分解因式(1)16x⁴-81y⁴(2)2x³-8x

提高层：分解因式(1)(a²+1)²-4a²(2)a⁴-2a²+1

设计意图：强化“一提二套三检查”的步骤意识。特别是第(3)题及其变式，综合运用了平方差和完全平方公式，且考查了“分解到底”的原则，是检验学生是否真正掌握综合分解能力的关键【非常重要】。

（四）综合与拓展：跨学科视角与应用（约7分钟）

教师活动：展示几何与代数结合的题目，渗透数形结合思想。

例题3：如图，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a>b），将剩余部分（阴影部分）沿着虚线剪开后，拼成一个长方形。请用两种方法表示阴影部分的面积，并由此验证一个乘法公式或分解因式公式。【基础/数形结合】

学生活动：观察图形，独立思考。方法一：剩余面积=大正方形面积-小正方形面积=a²-b²。方法二：拼成的长方形长为(a+b)，宽为(a-b)，面积为(a+b)(a-b)。由此得到a²-b²=(a+b)(a-b)。

教师追问：能否用两个相同的梯形拼成一个长方形，来验证完全平方公式的变形？作为课后思考题。

例题4（数学应用）：计算：101²-99²【热点】

学生口答：原式=(101+99)×(101-99)=200×2=400。

教师总结：因式分解不仅是数学内部的恒等变形工具，也是简化复杂运算的利器，体现了化归思想。

（五）诊断与反馈：当堂检测（约5分钟）

学生独立完成导学案上的“当堂检测”部分，限时5分钟。

1.【基础】分解因式：x³-4x=_____________。

2.【基础】分解因式：-a³+2a²b-ab²=_____________。

3.【难点】若多项式x²+mx+4是完全平方式，则m的值为（）。

A.4B.-4C.±4D.±2

4.【综合】先分解因式，再求值：已知x+y=1，xy=-1，求x³y+2x²y²+xy³的值。

教师活动：收齐部分小组的导学案进行批阅，或利用多媒体展示答案，学生互批。针对第4题，引导学生先通过因式分解把待求式转化为xy(x+y)²，再代入求值，体会整体代入的简便性。

（六）反思与升华：课堂小结（约3分钟）

教师引导学生从以下三个层面进行反思：

1.知识层面：本节课复习了哪些因式分解的方法？它们的适用条件是什么？我们强调的解题三步骤是什么？

2.方法层面：我们用了哪些思想方法？（类比思想、整体思想、化归思想、数形结合思想）

3.易错点层面：在做题过程中，你最容易犯的错误是什么？（如：提公因式漏项、符号处理不当、公式记混、分解不彻底等）。请学生在导学案的“反思栏”中写下自己的一点收获和一点警示。

（七）课后作业（分层设计）

1.【必做题】完成课本复习题中对应部分的练习。

2.【选做题】已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，试判断△ABC的形状。

（提示：将等式两边乘以2，移项，凑成三个完全平方式的和）

3.【实践题】用硬纸板制作两个边长为a和b（a≠b）的正方形，以及四个长和宽分别为a和b的长方形，通过拼图的方式，你能验证哪些因式分解公式或整式乘法公式？下节课与同学们分享。

九、板书设计

简洁、结构化，保留核心逻辑。

第四章因式分解复习

一、核心关系

因式分解整式乘法互逆

二、基本方法

一提：提公因式（系数、字母、指数；符号）

二套：

平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)(两项、平方、异号)

完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²(首平方、尾平方、积的2倍在中央)

三检查：分解彻底否？乘法验证否？

三、思想方法

类比、整体、化归、数形结合