双曲线的几何性质

课题：双曲线的几何性质

［教学目标］:

学问目标：①使同学把握双曲线的几何性质并会简洁应用；

②使同学初步学会采用方程、函数争论双曲线几何性质的方法。

力量目标：培育同学数形结合，方程与函数结合的意识和力量，提高同学运用

类比，归纳的方法构建新的数学学问的力量。

情感目标：运用现代多媒体教学手段，揭示“数”和“形”的内在联系，体会

数与形的统一美，激发同学的学习爱好，培育同学勇于探究的精神。

［教学重点、难点］:

本节课的重点是把握双曲线的几何性质，而其中“渐近线”是本节教学的

重点兼难点，突破难点的教学关键是：充分采用《几何画板》直观演示“渐近

线与双曲线的关系”，让同学对渐近线由“直觉猜想”一“直观感知”一“规律

论证”，分别从数、形两方面动身，引导同学逐步熟悉渐近线。

［学习任务归类］:

本节课，要努力教给同学的主要是：①温故而知新的学习习惯；②自学、

沟通、争论的学习方法；③类比、猜想、归纳的学习品行。

［教学策略］:采纳多媒体帮助教学。

［教学方法］:启发引导法，观看法，争论法。

［教学过程］:

一、复习提问

（师生共同复习以下内容）

打开多媒体课件，填写表格

1）椭圆的几何性质

如图：请说出椭吟+，=叱“。）的性质。

（性质1）图形的范围：椭圆位于直线x=±a,），=±〃所围成的矩形里。

（性质2）对称性

对称轴：x轴，y轴；中心：原点（0,0）。

（性质3）顶点坐标为：A（-a,0）,A2（a.0）,（0,-b\B2（0,b）o

（性质4）

离心率e=£；e的范围是0<evl。

a

2）双曲线的标准方程。

焦点在X轴上的标准方程为二-《=1（4>0/>0）

a~b~

焦点在y轴上的标准方程为工-二=1（。>0力,0）

ab~

设计意图：（1）为了唤起同学对旧学问的记忆，并深入对学过学问的把握;

（2）为了给本节课争论双曲线的儿何性质作好学问和方法上的铺垫。

曲线的离心率e=£>l。由于2=匚24=件_1=77=I,所以e越大，2也

aa\a\a''a

越大，即渐近线），=±21的斜率肯定值越大，这时双曲线的外形就从扁狭渐渐变

a

得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔。

双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要数值。

5、双曲线的渐近线：（通过多媒体展现渐近线的形成过程）

在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估量椭圆的外形,

画出椭圆的简图都有很大作用。

提问:对双曲线二仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形（板书图形），

a~b~

那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估量和画出双曲线简图有什

么指导意义？（这些问题不要求同学回答，只引起同学类比联想.）

接着再提出问题：当a、b为己知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？

请同学回答，应为y=并画出两条对角线，进一步引导同学从图观看得出

a

结论：双曲线£-4=1的各支向外延长时，与这两条直线渐渐接近。

cib

（很形象的得出下面定义）

定义：直线y=±3叫做双曲线£一±二1的渐近线，对于渐近线我们有如下几

aa~b~

共性质：

充分采用《几何画板》直观演示“渐近线与双曲线的关系”，让同学对渐近

线由“直觉猜想”一“直观感知”一“规律论证”，分别从数、形两方面动身，

引导同学逐步熟悉渐近线。

“说明双曲线上的点越来越接近于直线y=-x\采纳两种方法：

a

一是通过电脑演示，直观反映“渐近”的特征。

二是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于

0；

三是计算相同横坐标时对应点的纵坐标差，体会渐进性，渗透极限思想；

设计意图：（1）培育同学观看力量.

（2）培育同学总结归纳及其类比的力量.

（3）制造思维的培育及类比的运用.

提问：焦点在y轴上的双曲线有什么性质？（同学总结）

设计意图：是渗透分类争论的数学思想

三、训练反馈

1.求双曲线9/—16/=144的实半轴K和虚半轴K半焦距、焦点坐标、离心率、

渐近线方程

2.求适合下列条件的双曲线的标准方程。

⑴顶点在t轴上，两顶点的距离感，且离心率e=?

4

（2）已知双曲线的虚轴长为6,离心率为2,

（3）已知中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的新近线方程为

3

且实轴长为6,

设计意图：（1）检验同学学问把握状况

（2）检验同学对学问的把握及运用力量

（3）培育同学的规律推导及运算力量

四、归纳小结：

1.学问小结：

（1）留意椭圆与双曲线几何性质的区分

（2）学习了双曲线的范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义:

（3）渐近线是双I川线特有的性质，必需引起我们的重视;

2.数学思想方法：

（1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。

（2）分类争论的数学思想

五、布置作业

教材56页一练习A第一题

教材57页一第2题

设计意图：巩固所学，对学有余力者留出自由进展的空间，培育同学探究精神。

六、板书设计

双曲线的几何性质

1、双曲线的标准方程椭圆双曲线例1：

方程

范围

对称

2、双曲线的4共性质顶点

例2：

离心率