高考理科数学全国2卷-含答案

普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(全国2卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

3+Z

1.——=()

l+z

A.1+2/B.l_2zc.2+iD.2—z

2.设集合人={1,2,4},B={X|A2-4X+/??=0}.若AnB={l},则B=()

A.{1,-3)B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一,

请问尖头儿盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2

倍，则塔的顶层共有灯()

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

4如.图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,

该几何体由•平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()

A.90万B.637rc.42乃D.36%

2x+3y-3<0

5.设工，y满足约束条件(2x—3y+320,则z=2x+y的最小值是()

j+3>()

A.-15B.-9C.1D.9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成,

则不同的安排方式共有O(mi

A.12种B.18种C.24种D.36种nr

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中

有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的

成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则()

A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的1,则输出的5二()

A.2B.3C.4D.5

9.若双曲线C：/一£=l(。〉0,8>0)的一条渐近线被圆(x—2)?+y2=4所截

得的弦长为2,则C的离心率为()

2百/输出S/

A.2B.6C.&

D.亍

10.已知直三棱柱ABC—A|B|C|中,ZABC=120\AB=2,BC=CC1=1,则异

面宜线AB】与BQ所成角的余弦值为()

A.在B.巫C.aD.昱

2553

IL若工=-2是函数/（xXC?+av-Dei'的极值点，则/（幻的极小值为（）

A.-lB.-2"3c.5e-3D.l

12.已知AA8C是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则中•（而+定）的最小值是（）

r34,

A.-2B.——C.——D.-l

23

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取10（）次，X表示抽到的二

等品件数，则DX=.

2r

14.函数,f（X）=sir>2X+Gcosx-]（XG0,y）的最大值是.

〃1

15.等差数列｛4｝的前〃项和为S”，生=3，S4=l（）,则2—二.

*=i1

16.已知F是抛物线C:y2=8x佗焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中

点，则|FN"

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

,B

17.（12分）AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin（A+C）=8sirr—.

2

⑴求cosB（2）若a+c=6,A48C面积为2,求反

18,（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网

箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件‘‘旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法

的箱产量不低于50kg〃，估计A的概率;

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg箱产量250kg

旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确至IJ0.01)

pIK2>k)0.0500.0100.C01

k3.8416.63510.828

_-be)*2

(o+/?)(<?+d)(o+c)S+d)

19.(12分)如图，四棱锥尸/出力中，侧面以。为等比三角形且垂直于底面ABCD,

AB=BC=-AD./BAD=ZABC=90°,E是PD的中点.

2

(1)证明：直线CE//平面PAB

(2)点M在棱PC上,且直线8M与底面/8Q?所成角为

求二面角的余弦值

D

BC

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(II)试题答案

一、选择题

l.D2.C3.B4.B5.A6.1)

7.D8.B9.A10.C11.A12.B

二、填空题

2n

13.1.9614.115.16.6

n+1

三、解答题

17,解:

(1)由题设及A+8+C=〃得sin8=8sii?工，故

2

sinB=4(1-cosB)

上式两边平方，整理得17cos?B-32cosB+15=0

解得cosB=l(舍去)，cosB=—

17

(2)由cosB二"得sinB=*,故='acsin8=

1717.217

17

又S^BC=2,^\ac=—

由余弦定理及a+c=6得

b2=a2+c2-2tzccosB

=(a+c)2-2ac(\+cosB)

=36-2x—x(l+—)

217

=4

所以b=2

18.解：

(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”

由题意知P(A)=P(8C)二尸(团P(C)

旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

(0.040+0.034+0.024+0.014+0.012)x5=0.62

故P(9)的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

(0.068+0.046+0.010+0.008)x5=0.66

故P(C)的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.62x0.66=0.4092

(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量＜50kg箱产量250kg

旧养殖法6238

新养殖法3466

200x(62x66-34x38)2

K2=«15.705

100x100x96x104

由于15.705〉6.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

(3)因为新养殖法的筵产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

(0.004+0.020+0.044)x5=0.34<0.5,

箱产量低于55kg的直方因面积为

(0.004+0.020+0.044+0,068)x5=0.68>0.5

故新养殖法箱产量的中位■数的估计值为

“0.5-0.34

50+--------~52.35(kg).

0.068

19.解:

(1)取P4中点/，连结痔，BF.

因为E为。。的中点，所以£尸匚厂二由==得,又

22

所以EF必C.四边形8CE分为平行四边形，CE//BF、

又BQu平面CEa平面尸A8,故CE〃平面P48

(2)

由已知得区4_1_4),以A为坐标原点，砺的方向为x轴正方向，|彳可为单位长，建立如图所示的空间直

角坐标系A-xyz,则

则40,0,0),4(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,73),

PC=(1,0,一扬，丽=(1,0,0)则

BM=(x-1,y、z),PM—(x>y-1,z-G)

因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以

cos/BM,n)=sin45°,(国=2

'J(X_1尸+J*+z?2

即(x-1)2+/-z2=0

又M在棱PC上，设西7=4元，贝|J

x=4y=1,z=>J3—x/32

E亚x.『也

22

日(舍去),y=l

由①，②得

z=一理

2

所以M［I-立，1,理］,从而而7=fi-亚j在

2222

\/\/

设m=(%yQ,z°)是平面ABM的法向量，则

fmLHM=0即一收)%+2%+疵z。=0

［加MB=0［七=0

所以可取m=(0,-A/G,2).于是cosIm,n\=1H=

网同5

因比二面角M-AB-D的余弦值为胆

5

20.解

⑴设P(x,y),M(Xo,yo)，设N(x0,0),NP=(x-%,y),NM=(0,%)

由而=亚而得x0=x,稣=坐N

乙

因为M(xo,yo)在C上，所以二+二二1

22

因比点P的轨迹方程为f+/=2

(2)由题意知F知1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则

OQ=(-3,X),苏=(一1一小，一〃)，诙A77=34-3切-tn,

OP=(〃?,〃),PQ=(-3-m,t-nj,

由丽而=1得-3/〃一4+tn-n~=1,又由(1)知"+/=2,故

3+3m-tn=O

所以而丽=0,即丽，而又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线I过C

的左焦点F.

21.解：

(1)/(X)的定义域为(0,+00)

设g(x)=cix-a-Inx,则/(x)=xg(x),f(x)>0等价于g(T)N0

因为g(1)=0,g(x)>0,故g'(1)=0,而g'(x)=a-1，g'(1)=a_1,得a=1

X

若a=l,则g[x)=1当OVxVl时，g[x)VO,g(x)单调递减；当x>l时，g[x)>0，g(x)单调递

增.所以x=l是g(x)的极小值点,故g(x)>g(1)=0

综上,a=l

(2)由(1)知F(x)=x2-x-x\nx,(AT)=2x-2-\nx

设力(x)=2x-2-Inx,则方'(x)=2-[

当xG0,-时，力'(x)V0；当xe-,+co时，h'(A-)>0,所以力(x)在(0，单调递减，在-,+oo单

调递增

又力―…也卜力⑴=0,所以方3在(0,；)有唯一零点XO,在g,+8)有唯一零点1，且当

才6(0,毛)时，刀(才)>0；当才e(x0,l)时，刀(x)V0,当才6(1,+°°)时