2024-2025学年广东深圳新安中学高中部高二下学期期中数学试题含答案

高中2024-2025学年广东省深圳市新安中学高中部高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分1．（5分）已知数列{an}为等比数列，其中a6＝﹣1，a10＝﹣9，则a8＝（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．52．（5分）若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且limΔx→0f(x0−3Δx)−f(xA．﹣2 B．3 C．﹣3 D．23．（5分）现有5名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来5名同学顺序不变，不同的方法共有（）A．30种 B．56种 C．12种 D．42种4．（5分）人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来．下表为M市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中x为月份代号，y（单位：万台）为AI电脑的月销量．月份2024年11月2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月月份代号x12345月销量y0.50.911.21.4经过分析，y与x线性相关，且其线性回归方程为ŷA．﹣0.04 B．﹣0.02 C．0.02 D．0.045．（5分）将函数y＝x3+16的图象绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则tanθ＝（）A．8 B．4 C．12 D．56．（5分）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23A．14 B．1681 C．237．（5分）已知(x+1)(x−1)5=aA．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）若对任意的正实数x1，x2∈（m，+∞），当x1＜x2时，x1lnxA．[e3，+∞） B．[e2，+∞） C．[e，+∞） D．[e，e2]二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为82种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种（多选）10．（6分）已知在一次数学测验中，某校1000名学生的成绩服从正态分布N（100，100），其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（）（参考数据：①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．）A．平均分为100 B．及格率超过86% C．得分在（70，130]内的人数约为997 D．得分低于80的人数和优秀的人数大致相等（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝xex﹣a，则（）A．f（x）在区间[0，2]上单调递增 B．f（x）有最大值−1C．当a＝0时，y＝f（x）的图象过（1，0）的切线有且仅有2条 D．关于x的方程f（x）＝0有两个不等实根，则a的取值范围是(−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为．13．（5分）若函数f(x)=xex−1314．（5分）将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1、…记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S69＝．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{an}满足a1＝2，an+1（1）求证：数列{1an−1（2）记bn=1nan，求数列{b2n﹣1•b2n+116．（15分）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“A通识过关﹣B综合拓展﹣C创新提升”三层动态题库，且A，B，C三层题量之比为7：3：2，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同．（1）现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自B层的概率；（2）现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到A层题的题数为X，求X的分布与期望E（X）．17．（15分）将6个不同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同盒子．（过程要用文字简要说明，结果用数字作答）（1）求共有多少种不同放法；（2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；（3）当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法；（4）若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？18．（17分）某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示：等级不及格及格良优分数1234人数3953（1）若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率；（2）用样本估计总体，以频率代替概率，若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X．（i）若n＝3，求X的分布列与数学期望；（ii）若n＝20，当k为何值时，P（X＝k）最大？19．（17分）已知函数f（x）＝alnx﹣x﹣1，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若m≤x2ex+1﹣x﹣2lnx恒成立，求实数m的取值范围．（3）n为正整数，当a＝1时，曲线y＝f（x）在点（n，f（n））处的切线记为Ln，直线Ln与y轴交点的纵坐标记为yn，证明：y1

2024-2025学年广东省深圳市新安中学高中部高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCDBCABA二．多选题（共3小题）题号91011答案ABDACDAC一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分1．【答案】B【解答】解：因为a6＝﹣1，a10＝﹣9，由等比数列的性质，可得：a8＜0，a82=a故选：B．2．【答案】C【解答】解：因为limΔx→0所以f′(x故选：C．3．【答案】D【解答】解：现有5名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来5名同学顺序不变，先将原来5名同学站成一排，有6个空位可以插入甲同学，所以甲同学有6种不同的排法．当甲同学插入后，此时包括原来5名同学和甲同学一共有6个人，这6个人形成了7个空位，所以乙同学有7种不同的排法．故完成将甲、乙2名同学加入排列这件事，分两步：第一步甲同学有6种排法，第二步乙同学有7种排法，然后根据分步乘法计数原理可得：不同的方法共有6×7＝42（种）．故选：D．4．【答案】B【解答】解：y与x线性相关，且其线性回归方程为ŷ根据题意可知，x=所以â=y−0.21x=1−0.21×3=0.37，故2025年3月对应的x＝5，故此时残差为1.4−y故选：B．5．【答案】C【解答】解：由题意可知：y＝tanθ•x是y＝x3+16过原点的切线，设切点坐标为：(x0，x03则x03+16x所以tanθ＝12．故选：C．6．【答案】A【解答】解：比三场，甲赢的概率为23比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为C3比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为C4所以甲赢的概率为827所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为1681故选：A．7．【答案】B【解答】解：因为（x+1）（x﹣1）5＝x（x﹣1）5+（x﹣1）5，（x﹣1）5展开式第r+1项Tr+1=C当r＝3时，x⋅C53(−1)3故a3x3=−10故选：B．8．【答案】A【解答】解：x1lnx2−x2化为x1lnx2﹣2x1＜x2lnx1﹣2x2，于是lnx由已知对任意的x1，x2∈（m，+∞），且x1＜x2时，lnx设f(x)=lnx−2x，则f（x）在（由f′(x)=1−lnx+2∴3−lnxx2≤0∴lnx≥3在（m，+∞）上恒成立，∴x≥e3，因此m的取值范围为[e3，+∞）．故选：A．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】ABD【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有A44=对于B，分2种情况讨论：若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有A4若乙站在最左端，则甲有3种站法，剩下3人全排列，有3×A则有24+18＝42种不同的排法，故B正确；对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有A33A对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有A5甲乙丙全排列有A33=6种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有120故选：ABD．10．【答案】ACD【解答】解：由题意知，μ＝100，σ2＝100，对于选项A，μ＝100，σ2＝100，故A正确；对于选项B：P（100﹣10＜X≤100+10）＝P（90＜X≤110）＝0.6827，所以P(X＜90)=1所以P（X≥90）＝1﹣P（X＜90）＝0.84135＜0.86＝86%，故B错误；对于选项C，P（100﹣30＜X≤100+30）＝P（70＜X≤130）＝0.9973，所以得分在（70，130]内的人数约为1000×0.9973≈997人，故C正确；对于选项D，P（100﹣20＜X≤100+20）＝P（80＜X≤120）＝0.9545，所以P（X＜80）＝P（X≥120）=12[1−P(80＜X≤120)]=0.02275故选：ACD．11．【答案】AC【解答】解：函数f（x）＝xex﹣a，对于A选项，对x∈[0，2]，f′（x）＝（x+1）ex＞0恒成立，f（x）在区间[0，2]上单调递增，A对；对于B选项，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）有最小值f(−1)=−1e−a对于C选项，当a＝0时，f（x）＝xex，设切点为（t，tet），f′（x）＝（x+1）ex，则切线斜率为（t+1）et，所以曲线y＝f（x）在点（t，tet）的切线方程为y﹣tet＝（t+1）et（x﹣t），将点（1，0）的坐标代入切线方程为﹣tet＝（1﹣t）（t+1）et，整理可得t2﹣t﹣1＝0，Δ＝1+4＝5＞0，即方程t2﹣t﹣1＝0有两个不等的实根，所以，当a＝0时，y＝f（x）的图象过（1，0）的切线有且仅有2条，C对；对于D选项，方程f（x）＝0，即xex﹣a＝0⇔xex＝a，令g（x）＝xex，而g′（x）＝ex+xex＝ex（x+1），当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0．所以在区间（﹣∞，﹣1）上g（x）单调递减，在区间（﹣1，+∞）上g（x）单调递增，当x＜0时g（x）＜0，且g（0）＝0，要使方程f（x）＝0有两个不等实根，a的范围是(−1e，0)故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】24．【解答】解：由题意，可得X的所有可能取值为190，150，110，P(X=190)=C20所以E(X)=190×3所以标准差为32故答案为：24．13．【答案】[0，e]．【解答】解：f′（x）＝（x+1）（ex﹣ax），令g（x）＝ex﹣ax，因为函数f(x)=xex−13ax当a＝0时，符合题意：当a＜0时，g′（x）＝ex﹣a＞0，所以g′（x）＞0恒成立，在R是增函数，且x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，不满足题意，舍去，当a＞0时，g′（x）＝0，可得x＝lna，g（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（lna）＝a﹣alna，由a﹣alna≥0，可得0＜a≤e，实数a的取值范围是[0，e]．故答案为：[0，e]．14．【答案】2114．【解答】解：使得每行的序数与该行的项数相等，则第k行最后项在数列{an}中的项数为k(k+1)2设a69位于第k（k∈N*）行，则k(k−1)2＜69≤k(k+1)且第11行最后一项在数列{an}中的项数为11×122=66，所以a而第一行各项和为1＝20，第二行各项和为2＝21，第三行各项的和为4＝22，以此类推，第k行各项的和为2k﹣1，S69＝（1+21+22+…+210）+C110+C111+C112＝2047+1+11+55＝2114，故答案为：2114．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【答案】（1）证明过程见解析，an（2）Tn【解答】（1）证明：由an+1=2则1an+1−1又1a∴数列{1∴1an−1（2）解：bn=1nan=1n+1，b2∴Tn=116．【答案】（1）67256（2）分布列见解析，E（X）=7【解答】解：（1）由题意B层选题概率为312则这4人中至少有2人来自B层的概率：P=C（2）由题意采用分层抽样A层选取7道，X可取0，1，2，3，P(X=0)=CP(X=2)=C其分布列为：X0123P1721744所以期望E(X)=0×117．【答案】（1）729；（2）60；（3）540；（4）10．【解答】解：（1）根据分步计数原理共有36＝729种不同放法；（2）当每个盒子的球数不小于它的编号数时，1号盒1个球，2号盒2个球，3号盒3个球，共有C6（3）当每个盒子至少有1个小球时，共有三类：第一类，一盒4个球，其余两盒各1个球，有C6第二类，一盒1个球，一盒2个球，一盒3个球，有C6第三类，每盒2个球，有C6（4）将2号盒子里放入1个小球，在3号盒子里放入2个小球，然后在剩余的6个相同的小球中间5个空插入2个挡板，共有C518．【答案】（1）6995（2）（i）分布列见解析，E(X)=6（ii）k＝8时，P（X＝k）最大．【解答】解：（1）设事件M＝“选取的2位学生分数不同”，则P(M)=1−P(M故所选的2位学生分数不同的概率为6995（2）设A＝“学生分数不小于3”，则P(A)=5+3（i）若n＝3，X的可能取值为0，1，2，3，由题意可得X～B(3，25)，又P(X=0)=(1−25所以X的分布列为：x0123P2712554125361258125由于X～B(3，25)（ii）若n＝20，则X～B(20，25)由于P（X＝k）最大，所以P(X=k)≥P(X=k−1)P