2024-2025学年广东省深圳市福田外国语学校八年级（下）期中数学试卷及答案

2024-2025学年广东省深圳市福田外国语学校八年级（下）期中数学试卷一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.(3分)下列四个前沿的AI大模型的图标中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.(3分)如果a>b，下列不等式中不正确的是（）A.a−1>b−1B.aC.−2a<−2bD.3−2a>3−2b3.(3分)不等式−3x+2⩾5在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.4.(3分)下列命题：①如果ab=0，那么a=0，b=0；②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；③如果两个有理数相等，那么它们的平方相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.它们的逆命题是真命题的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个5.(3分)如图，直线l1：y=32x+6与直线l2：y=−A.x>−2B.x⩾−2C.x<−2D.x⩽−2第5题图第6题图第8题图6.(3分)如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，将△ABC绕点C逆时针旋转90∘得到△A'B'C若点M是AB边上不与A，A.3B.4C.12D.247.(3分)关于x的不等式组&4−2x⩾0&3x>3a−6恰有4A.0<a<1B.0⩽a<1C.0<a⩽1D.0⩽a⩽18.(3分)如图，等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的中心（即OA=OB=OC),∠FOG=120∘，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于A.1B.2C.3D.4二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9.(3分)分解因式：a2+a=10.(3分)一个等腰三角形的一内角为40∘，则这个等腰三角形的顶角度数为11.(3分)新定义：对于实数a，b，c，表示运算：ab−c，如=2×3−4=6−4=2，若的值大于1，x的取值范围是.12.(3分)如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54∘，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为第12题图第13题图13.(3分)如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=−33x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1三.解答题（共7小题，其中第14题9分，第15题5分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，都19题10分，第20题12分）14.(9分)分解因式：(1)2m(2)(x−y)(3)−4a15.(5分)解不等式组&2+x16.(8分)如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：(1)以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90∘得△AB1(2)作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A(3)在y轴上找一点P，使得△PAC1的周长最小，则P点的坐标为______.(提醒：每个小正方形边长为17.(8分)“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱，某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的青提和红提供客户对比品尝，购买2千克红提和5千克青提用了78元，购买3千克红提和4千克青提用了75元.(1)求每千克红提和青提进价各是多少元.(2)若该水果商城决定再次购买同种红提和青提共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若红提的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的红提和青提售完后获得利润最大？最大利润是多少？18.(9分)如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE.(1)若∠C=30∘，求(2)若AC=10，DC=8，求△ABC的周长.19.(10分)阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式ax(a反过来，就得到：a1我们发现，二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.例如，将式子x2−x−6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项−6也分解为两个因数的积，即−6=2×(−3)；然后把1，1，2，−3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(−3)+1×2=−1，恰好等于一次项的系数−1，于是(1)请同学们认真观察和思考，尝试在图3中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式：x2理解与应用请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：(2)2x(3)12x探究与拓展对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4.将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成μk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第(4)分解因式3x(5)若关于x，y的二元二次式x2+7xy−18y20.(12分)综合与探究(1)模型建立：如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CB=CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E.求证：△BEC≌(2)模型应用：①如图2，已知直线y=3x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90∘得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC②如图3，长方形ABCO，点O为坐标原点，点B的坐标为(4,3)，A，C分别在坐标轴上，点P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x−3上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标.2024-2025学年广东省深圳市福田外国语学校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1、【答案】C【知识点】中心对称图形2、【答案】D【知识点】不等式的性质3、【答案】A【知识点】在数轴上表示不等式的解集,解一元一次不等式4、【答案】B【知识点】命题与定理5、【答案】C【知识点】一次函数与一元一次不等式6、【答案】C【知识点】勾股定理,旋转的性质7、【答案】B【知识点】一元一次不等式组的整数解8、【答案】B【知识点】平方根,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,轴对称-最短路线问题,旋转的性质二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9、【答案】a【知识点】因式分解-提公因式法10、【答案】40∘或【知识点】等腰三角形的性质11、【答案】x<1【知识点】实数的运算,解一元一次不等式12、【答案】108【知识点】线段垂直平分线的性质13、【答案】−15−15【知识点】规律型：点的坐标,一次函数图象上点的坐标特征,坐标与图形变化-旋转三.解答题（共7小题，其中第14题9分，第15题5分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，都19题10分，第20题12分）14、【解答】解：(1)=2m(=2m(m+1)(m−1)(2)===(x−y)(x−2y)(3)−4=−x(4=−x(2a−3)【知识点】提公因式法与公式法的综合运用15、【解答】解：由①得，x<8，由②得，x⩾4，故不等式组的解集为：4⩽x<8.【知识点】解一元一次不等式组16、【解答】解：（1）如图，△AB(2)如图，△A(3)如图，点P即为所求，P点的坐标为(0,1).故答案为：(0,1).【知识点】作图-旋转变换,轴对称-最短路线问题17、【解答】解：（1）设每千克红提的进价x元，则每千克青提的进价是y元，由题意得：&2x+5y=78解得：&x=9答：每千克红提的进价是9元，则每千克青提的进价是12元；(2)设购买红提a千克，由题意得：9a+12(40−a)⩽450解得：a⩾10，设利润为w元，由题意得：w=(13−9)a+(18−12)(40−a)=−2a+240由−2<0可知w随a的增大而减小，∴当a=10时，w有最大值=220，此时，40−a=30，答：购买红提10千克，青提30千克，售完后获得利润最大，最大利润是220元【知识点】一次函数的应用-方案问题18、【解答】解：(1)∵EF垂直平分AC∴AE=CE，∴∠C=∠EAC=30∴∠AEB=∠C+∠EAC=60∵AD⊥BC，BD=DE，∴AB=AE，∴∠B=∠BEA=60∴∠BAD=90(2)由（1）知：AE=EC=AB，∵BD=DE，∴AB+BD=DE+AE=DE+CE=DC，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2DC+AC=2×8+10=26.【知识点】线段垂直平分线的性质19、【解答】解：(1)根据，∴x故答案为：(x−2)(x+3)(2)根据，∴2x故答案为：(2x−7)(x+1)(3)根据，∴12x故答案为：(3x−2y)(4x−y)(4)根据，∴3×1+1×(−2)=1，(−2)×(−2)+1×1=5，∴3x故答案为：(3x−2y+1)(x+y−2)(5)当时，∴1×9+1×(−2)=7，(−2)×(−9)+9×4=54=m，∴m=54，当时，∴1×9+1×(−2)=7，(−2)×4+9×(−9)=−89=m，∴m=−89，∴m的值为54或−89.【知识点】列代数式20、【解答】(1)证明：∵∠ACB=90∘，过点B作BE⊥ED于点∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACD=90∴∠EBC=∠ACD，在△BEC和△CDA中，&∴△BEC≌△CDA(AAS)(2)①如图2，过C作CD⊥x轴于点D，直线y=3x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，∴点A的坐标是(0,3)，点B的坐标是(−1,0)，∴OA=3，OB=1，由（1）同理可证得△CDB≌△BOA(AAS)∴CD=BO=1，BD=AO=3，∴OD=1+3=4，∴C(−4,1)，且A设直线AC解析式为y=kx+3，把C点坐标代入可得1=−4k+3，解得k=∴直线AC解析式为y=1②如图，当∠APD=90∘时，过点P作PE⊥OA于E，过点D作DF⊥PE于F，∴∠AEP=∠DFP=∠APD=90∴∠APE+∠DPF=∠DPF+∠PDF=90∴∠APE=∠PDF，∴△APE≌△PDF(AAS)设点P的坐标为(4,m)，∴PF=AE=3−m，DF=PE=4，∴D点坐标为(7−m,m+4)，由条件可得m+4=2(7−m)−3∴m=7∴D点坐标(14如图，当∠ADP=90∘时，设点P的坐标为(4,m)，过点D作DE⊥y轴于点E，交CB的延长线于点F，则∠AEF=∠EAB=∠ABF=90∴四边形AEFB是矩形，∴EF=AB=4，PB=3−m，由（1）同理可