第三章　§3.7　利用导数研究函数的零点（教师版+学生课时教案+课时作业+配套）

第三章§3.7利用导数研究函数的零点（教师版+学生课时教案+课时作业+配套）讲授人Xx老师课时1序号001课题内容Xx教学时间2025年10月教学内容一、教学内容第三章§3.7利用导数研究函数的零点。内容包括：利用导数判断函数的单调性与极值，结合函数图像分析零点个数；通过函数在区间端点的函数值符号及单调性，确定零点存在区间；利用导数证明函数零点的存在性与唯一性；解决与函数零点相关的参数取值范围问题。核心素养目标二、核心素养目标通过利用导数研究函数零点，培养学生的逻辑推理素养，能基于导数分析函数单调性与极值，推导零点存在性与唯一性；提升数学运算素养，掌握通过导数运算判断函数性质、求解零点相关参数的方法；发展数学建模素养，能将实际问题转化为函数零点问题，运用导数工具解决零点个数及参数取值范围问题。重点难点及解决办法三、重点难点及解决办法重点：利用导数判断函数单调性与极值，结合函数性质分析零点存在性、唯一性及参数取值范围（来源：导数工具与函数零点问题的综合应用）。难点：含参函数零点个数的分类讨论，综合运用导数与函数图像分析零点分布（来源：参数变化导致函数性质复杂，需严谨逻辑推理）。解决办法：重点通过典型例题分层示范，强化“导数—单调性—极值—零点”的逻辑链；难点借助几何画板动态演示参数变化对图像的影响，引导学生归纳分类讨论标准，结合端点值与极值点函数值符号确定零点情况。教学资源-软硬件资源：图形计算器、计算机、投影仪、实物投影设备

-课程平台：在线学习管理系统

-信息化资源：几何画板软件、电子课件、数学建模工具、函数图像演示软件

-教学手段：多媒体演示、小组合作学习、课堂互动问答、板书辅助教学过程1.导入（约5分钟）：激发兴趣：提出问题“方程x³-3x+1=0有几个实数根？”，学生尝试用试值法发现困难，引出利用导数研究函数零点的必要性。回顾旧知：复习导数与函数单调性的关系（f’(x)>0单调递增，f’(x)<0单调递减）、函数极值的求法（求导找临界点，判断极值符号）、零点存在定理（连续函数在区间端点值异号则存在零点）。

2.新课呈现（约35分钟）：讲解新知：（1）利用导数判断函数单调性与极值，结合函数图像分析零点个数；（2）通过函数在区间端点的函数值符号及单调性，确定零点存在区间；（3）利用导数证明函数零点的存在性与唯一性；（4）解决与函数零点相关的参数取值范围问题。举例说明：（1）例1：求函数f(x)=x³-3x+1的零点个数。求导得f’(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)，分析单调区间：(-∞,-1)单调递增，(-1,1)单调递减，(1,+∞)单调递增；计算极值f(-1)=3，f(1)=-1；结合x→-∞时f(x)→-∞，x→+∞时f(x)→+∞，画草图得三个零点。（2）例2：证明函数f(x)=e^x+x-2有唯一零点。求导f’(x)=e^x+1>0，函数单调递增；f(0)=-1，f(1)=e-1>0，由零点存在定理得存在零点，单调性保证唯一性。互动探究：分组讨论函数f(x)=lnx-x+1的零点个数。学生求导f’(x)=1/x-1=(1-x)/x（x>0），分析单调性：(0,1)单调递增，(1,+∞)单调递减；计算极值f(1)=0；结合x→0+时f(x)→-∞，x→+∞时f(x)→-∞，得唯一零点x=1。教师引导学生总结“导数—单调性—极值—零点”的逻辑链。

3.巩固练习（约10分钟）：学生活动：（1）基础题：判断函数f(x)=x³+3x-1的零点个数（求导f’(x)=3x²+3>0，单调递增，f(0)=-1，f(1)=3>0，得唯一零点）；（2）提升题：讨论函数f(x)=ax²+2x+1（a≠0）的零点个数（求导f’(x)=2ax+2，临界点x=-1/a，极值f(-1/a)=1-1/a，结合a>0和a<0分类讨论）；（3）应用题：某商品的成本函数C(x)=x²+10x+100，收益函数R(x)=100x，求利润函数L(x)=R(x)-C(x)的零点个数（即盈亏平衡点）。教师指导：巡视学生练习情况，重点指导含参函数零点问题的分类讨论标准（如极值点与零点的关系、端点值符号），强调零点存在定理的条件（连续、端点值异号）和唯一性条件（单调性）。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）**数学软件进阶应用**：利用GeoGebra构建动态函数模型，演示参数变化对零点个数的影响；使用Maxima符号计算工具验证复杂函数的零点存在性证明。

（2）**跨学科案例**：物理学中位移-时间函数的零点对应运动方向改变点；经济学中边际成本函数零点与生产规模优化问题。

（3）**高考真题拓展**：2022年全国卷理科第21题（含参函数零点讨论）；2023年天津卷第19题（导数与零点存在性综合应用）。

（4）**数学文化**：介绍牛顿迭代法在求解高次方程零点中的历史应用，展示数值逼近思想与导数工具的结合。

（5）**竞赛延伸**：IMO预选题中涉及导数零点唯一性证明的构造性解法，探讨洛必达法则在极限分析中的应用。

2.拓展建议：

（1）**基础巩固**：完成教材P98习题3.7第3、5题（含参函数零点分类讨论），绘制f(x)=xlnx-1的零点分析流程图。

（2）**能力提升**：研究函数f(x)=e^x-kx(k>0)零点个数随k变化的规律，撰写参数分类讨论报告。

（3）**研究性学习**：小组合作建立"商品定价模型"，通过导数分析利润函数零点与盈亏平衡点的关系。

（4）**错题深化**：整理含参函数零点问题中易混淆的临界点（如极值点与零点重合情形），归纳分类讨论标准。

（5）**实践应用**：采集本地气温变化数据，拟合函数模型并利用导数分析极值点与季节转换的对应关系。作业布置与反馈作业布置：

1.基础巩固：教材P98习题3.7第1、2题（判断给定函数的零点个数，利用导数分析单调性与极值）；

2.能力提升：教材P99习题3.7第4题（讨论含参函数f(x)=x³-ax²+1的零点个数，需分类讨论a的取值）；

3.拓展应用：结合实际情境，分析某企业利润函数L(x)=-x³+6x²-9x+1（x≥0）的盈亏平衡点（即零点个数），并说明经济意义。

作业反馈：

1.批改重点：关注学生是否正确运用“求导—分析单调性—计算极值—结合端点值判断零点”的逻辑链，含参问题中分类讨论是否全面（如临界点存在性、极值点与零点位置关系）；

2.错误反馈：针对极值点计算错误、忽略定义域限制、零点存在定理条件应用不当等问题，标注具体步骤并修正；

3.改进建议：强调规范书写解题过程，建议学生通过绘制函数草图辅助分析，对含参问题归纳“参数影响极值—极值影响零点”的讨论框架，提升分类讨论的严谨性。课后作业1.求函数\(f(x)=x^3-6x^2+9x-1\)的零点个数。

**答案**：求导得\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\)，单调递增区间\((-\infty,1)\)、\((3,+\infty)\)，单调递减区间\((1,3)\)。极值\(f(1)=3\)，\(f(3)=-1\)。因\(f(0)=-1\)，\(f(2)=1\)，\(f(4)=3\)，结合图像得三个零点。

2.讨论函数\(f(x)=e^x-ax\)（\(a>0\)）零点个数。

**答案**：求导\(f'(x)=e^x-a\)，临界点\(x=\lna\)。若\(a\leqe^0=1\)，\(f'(x)\geq0\)，单调递增，\(f(0)=1>0\)，\(f(-1)=e^{-1}+a>0\)，无零点；若\(a>1\)，\(f(\lna)=a-a\lna\)，当\(a>e\)时\(f(\lna)<0\)，\(f(0)=1>0\)，\(f(\lna)<0\)，\(f(1)=e-a\)，若\(a>e\)则\(f(1)<0\)，零点个数为2；若\(1<a\leqe\)，\(f(\lna)\geq0\)，零点个数为1。

3.证明方程\(\lnx=x-2\)有唯一实数根。

**答案**：设\(f(x)=\lnx-x+2\)，求导\(f'(x)=\frac{1}{x}-1\)。当\(x>1\)时\(f'(x)<0\)，单调递减；\(0<x<1\)时\(f'(x)>0\)，单调递增。极值\(f(1)=1>0\)，\(f(2)=\ln2-0>0\)，\(f(4)=\ln4-2<0\)，由零点存在定理及单调性得唯一零点。

4.求函数\(f(x)=x^3+2x^2-4x-1\)在区间\([-3,2]\)上的零点存在区间。

**答案**：求导\(f'(x)=3x^2+4x-4\)，临界点\(x=\frac{-2}{3}\)。\(f(-3)=-2\)，\(f(-2)=3\)，\(f(0)=-1\)，\(f(2)=7\)。因\(f(-3)<0\)、\(f(-2)>0\)，零点在\((-3,-2)\)；\(f(0)<0\)、\(f(2)>0\)，零点在\((0,2)\)。

5.某商品成本函数\(C(x)=x^2+10x+100\)，收益函数\(R(x)=30x\)，求利润函数\(L(x)\)的零点及其经济意义。

**答案**：\(L(x)=R(x)-C(x)=-x^2+20x-100\)。求导\(L'(x)=-2x+20\)，临界点\(x=10\)。\(L(10)=0\)，\(L(0)=-100\)，\(L(20)=-100\)。零点\(x=10\)表示产量为10时盈亏平衡。反思改进措施（一）教学特色创新

1.动态演示突破难点：用几何画板实时展示参数变化对函数图像和零点个数的影响，将抽象讨论具象化。

2.分层任务设计：基础题巩固单调性与零点关系，提升题聚焦含参分类讨论，应用题链接实际问题，满足不同层次需求。

（二）存在主要问题

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