初中八年级数学下册 第四章 因式分解-公式法（平方差公式）第1课时 导学案

初中八年级数学下册第四章因式分解——公式法（平方差公式）第1课时导学案

一、课标要求与学习目标

（一）依据的课程标准

本节课内容主要依据中华人民共和国教育部制定的《义务教育数学课程标准（2022年版）》中第三学段（7~9年级）“数与代数”领域的要求。具体相关表述包括：

1.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加、减运算；能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。

2.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。

3.在代数学习中，经历从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解数学基本概念和法则；理解并掌握重要的数学思想与方法，如归纳、类比、数形结合、符号意识、模型观念、推理能力等。

4.体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；能够从数学的角度发现和提出问题，运用数学知识分析和解决实际问题。

（二）本节课学习目标

基于课标要求、教材内容及八年级学生认知发展水平，确立本节课多维度的学习目标如下：

1.知识与技能目标：

1.2.准确叙述平方差公式（a+b）（a-b）=a²-b²及其逆用形式a²-b²=（a+b）（a-b）。

2.3.能够从多项式中识别出符合平方差公式结构特征的式子（即能写成两数平方差的形式）。

3.4.初步掌握运用平方差公式进行因式分解的基本步骤和方法，能对简单的二项式（符合平方差公式结构）进行因式分解。

5.过程与方法目标：

1.6.经历从多项式乘法中的平方差公式到因式分解中公式法的逆向思维过程，体会数学知识之间的内在联系和互逆关系。

2.7.通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，探索并掌握平方差公式的结构特征，发展符号意识、抽象能力和概括能力。

3.8.在运用公式法进行因式分解的练习中，进一步体会“先观形式，再选方法”的解题策略，提升运算能力和分析问题的能力。

9.情感、态度与价值观目标：

1.10.通过探究公式的几何背景，感受数学的直观性与严谨性的统一，激发学习数学的兴趣。

2.11.在合作交流与自主探究的过程中，培养敢于质疑、乐于探索的科学精神及合作意识。

3.12.体会因式分解作为代数工具在简化运算、解决问题中的价值，增强应用数学的意识。

二、学情分析

教学活动的设计必须建立在对学习者充分了解的基础之上。本课教学对象是八年级下学期学生，其相关情况分析如下：

1.知识储备：

1.2.已有基础：学生已经系统学习了整式的乘法运算，特别是对多项式乘多项式法则掌握较为熟练。在前面的课程中，已经学习了因式分解的概念以及因式分解的第一种基本方法——提公因式法。对于平方差公式（a+b）（a-b）=a²-b²作为整式乘法的特殊公式，学生已能正向熟练运用。这为逆用该公式进行因式分解奠定了坚实的知识基础。

2.3.潜在困难：学生首次接触“公式法”因式分解，需要实现从“正向展开”到“逆向分解”的思维转换，这对部分学生的逆向思维能力是一个挑战。准确识别一个多项式是否为“两数的平方差”形式，特别是当公式中的“a”和“b”代表单项式、多项式、系数不为1或带有负号时，学生容易产生混淆。此外，分解到（a+b）（a-b）后，能否检查每个括号内是否还能继续分解（后续内容），也是容易忽略的点。

4.认知心理与能力特点：

1.5.八年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，具备一定的观察、归纳和推理能力，但思维的严谨性和深度有待加强。

2.6.他们对富有挑战性和探索性的活动兴趣浓厚，但持久性和专注力可能因任务难度而变化。倾向于通过具体实例归纳规律，但可能对抽象公式的本质理解不深。

3.7.在数学学习上，部分学生可能存在“重算法、轻算理”的倾向，对于公式的结构特征和适用条件理解不到位，导致机械套用。

8.学习风格与策略：

1.9.学生普遍适应“情境引入-探究新知-巩固练习”的教学模式，对信息技术辅助教学（如动态几何软件）有较高接受度。

2.10.小组合作学习能够激发他们的思维碰撞，但需要明确的任务分工和有效的引导，以确保讨论的深度和效率。

基于以上分析，本教学设计将着力于：创设直观情境，搭建逆向思维桥梁；设计梯度性问题链，引导学生自主探究公式结构；通过辨析、变式练习，深化对公式本质的理解；加强合作学习与个别指导，关注不同层次学生的发展需求。

三、教学重难点及资源准备

（一）教学重点与难点

1.教学重点：平方差公式用于因式分解的结构特征分析及其初步应用。

1.2.依据：掌握公式的结构特征是正确、灵活运用公式法的前提，也是本节课的核心知识与技能目标。

3.教学难点：

1.4.准确识别多项式是否符合平方差公式的结构，特别是当“a”和“b”为多项式或系数、指数较为复杂时。

2.5.理解并完成从“整式乘法公式”到“因式分解工具”的思维逆向转化过程。

1.6.依据：基于学情分析，这是学生认知转换的关键点和能力跃升的障碍点。

（二）教学资源与工具准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件（PPT或希沃白板等）：包含情境动画、公式探究动态演示、例题、变式练习、课堂小结等。

2.3.GeoGebra动态数学软件：用于展示平方差公式的几何意义（面积割补），使公式可视化。

3.4.设计并印制《课堂探究学习单》和《分层巩固练习卡》。

4.5.实物或图片：可选与“平方差”情境相关的物品（如两种规格的正方形地砖）。

5.6.板书设计预案。

7.学生准备：

1.8.复习整式乘法中的平方差公式。

2.9.准备练习本、草稿纸、彩色笔（用于标注公式中的a和b）。

3.10.预习课本相关章节，初步了解课题。

四、教学实施过程

（一）创设情境，问题导入（预计时间：5分钟）

1.情境任务（课件展示）：

学校准备对一块边长为a米的正方形花园进行改造。计划在花园的一角开辟一个边长为b米（b<a）的正方形区域用于种植新品种花卉。请问，剩余区域的面积可以怎样表示？你能用几种不同的代数式来表示这块剩余区域的面积？

2.学生活动：

1.独立思考，尝试用图形（草图）辅助理解问题。

2.在练习本上写出面积表达式。

3.同桌之间交流各自的表达式。

3.教师引导与师生互动：

1.教师利用GeoGebra动态呈现：一个边长为a的大正方形，从其一个角上“剪去”一个边长为b的小正方形。

2.提问学生：“剩余部分的面积，从整体看，可以怎么列式？”（预期答案：a²-b²）

3.继续提问：“如果不看整体，只看剩余部分的形状，它不是一个规则图形。我们能否通过剪拼，将它转化为我们熟悉的图形来求面积呢？请大家在草图上试试。”

4.邀请学生描述剪拼方法（通常想到将剩余部分剪成两个长方形再拼接）。教师在GeoGebra上动态演示将剩余部分剪开，拼成一个长为（a+b）、宽为（a-b）的长方形。

5.追问：“此时，面积又可以怎样表示？”（预期答案：（a+b）（a-b））

6.引导得出结论：对于同一个几何图形的面积，我们得到了两个相等的代数式：a²-b²=（a+b）（a-b）。

4.设计意图：

1.学科育人：从实际校园改造问题出发，体现数学来源于生活、服务于生活的理念。

2.跨学科视野：将代数问题与几何图形面积计算有机结合，初步渗透数形结合思想。

3.激发兴趣：动态的图形割补过程，直观生动，迅速吸引学生注意力。

4.搭建桥梁：通过几何背景，自然地从学生熟悉的面积公式（a²-b²）引出新的乘积形式（a+b）（a-b），为逆向思考（因式分解）埋下伏笔，降低思维起点。

（二）探究猜想，明确公式（预计时间：10分钟）

1.观察与联想：

1.教师指着得到的等式a²-b²=（a+b）（a-b），提问：“这个等式，从左边到右边，是一种什么运算？”（引导学生回答：将多项式化为了两个整式的积的形式，即因式分解）。

2.进一步追问：“我们在整式乘法中学过一个非常重要的公式，它与这个等式有什么联系？”（引导学生回忆：（a+b）（a-b）=a²-b²）。

3.教师板书对比：

1.4.整式乘法：(a+b)(a-b)=a²-b²（从左到右：乘法运算）

2.5.因式分解：a²-b²=(a+b)(a-b)（从右到左：分解因式）

2.归纳与表述：

1.教师引导学生用语言描述这一发现：“这就是说，如果我们遇到一个多项式是两个数的平方差的形式，就可以将它分解为这两个数的和与这两个数的差的乘积。”

2.教师规范板书课题及公式：

§4.3.1公式法——平方差公式

因式分解的平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)

1.3.强调：这里的a和b可以是单项式，也可以是多项式。

2.4.用彩色粉笔圈出公式的结构特征：“两平方项”、“符号相异（一加一减）”。

3.深度辨析（关键环节）：

1.教师提出一组多项式，让学生快速判断能否用平方差公式分解，并说明理由。例如：

1.2.x²-4y²（能，x²和（2y）²的差）

2.3.-x²+y²（能，可化为y²-x²）

3.4.x²+y²（不能，是和不是差）

4.5.-x²-y²（不能，两项都是负的，提负号后仍是和）

5.6.x²-（y+z）²（能，a=x，b=（y+z））

7.学生独立思考后抢答或小组讨论。教师针对错误判断进行追问，引导学生聚焦核心特征：①二项式；②每项都是平方形式（或可写成平方）；③两项符号相反。

4.设计意图：

1.凸显本质：通过对比整式乘法的平方差公式，明确知识间的互逆关系，帮助学生构建知识网络。

2.规范表达：强调公式的标准形式和语言描述，培养数学表达的严谨性。

3.突破难点：通过辨析练习，让学生不是机械记忆公式，而是深入理解其结构特征和适用条件，特别是对符号和“平方项”的广义理解（可以是多项式），这是突破识别难点的关键步骤。

（三）剖析公式，深化理解（预计时间：8分钟）

1.“a”与“b”的再认识：

1.教师给出例子：分解因式4x²-9。

1.2.提问：“在这个式子中，公式里的a²对应什么？b²对应什么？”

2.3.引导学生得出：a²=（2x）²，所以a=2x；b²=3²，所以b=3。

3.4.分解结果：（2x+3）（2x-3）。

5.变式练习：分解因式（m+n）²-p²。

1.6.让学生尝试指出a和b。

2.7.学生回答：a=m+n，b=p。

3.8.分解结果：（m+n+p）（m+n-p）。

2.探究活动：公式中的“数”与“式”：

1.分发《课堂探究学习单》第一部分。

2.任务：请将下列式子（如果可能）写成（某式）²的形式，并指出若用平方差公式分解，a和b分别是什么。

1.3.9x²y⁴→（3xy²）²

2.4.1/4a²→（1/2a）²

3.5.0.25→（0.5）²

4.6.（x-y）²→已经是平方形式

5.7.x⁴→（x²）²

8.学生独立完成，小组内核对。教师巡视，关注学困生对系数、分数、小数、高次幂的处理。

9.全班交流，总结：公式中的a和b可以代表数字、字母、单项式或多项式，关键是整体地看它是否是一个“平方项”。

3.设计意图：

1.化抽象为具体：通过具体例子，将公式中的抽象字母a、b具体化，帮助学生掌握“寻找a和b”的方法。

2.强化整体思想：强调将多项式、分数系数等视为一个整体，这是代数思维的重要飞跃。

3.技能铺垫：此环节为后续正确应用公式分解复杂多项式打下坚实的方法基础，是化解教学难点的核心训练。

（四）典例精析，应用新知（预计时间：12分钟）

本环节采用“教师示范-学生模仿-变式训练”的模式，循序渐进。

例1：基础应用（直接套用）

分解因式：（1）x²-25（2）16a²-9b²

1.教师板书（1）的规范过程：

解：x²-25

=x²-5²（识别出平方项）

=（x+5）（x-5）（应用公式）

2.强调步骤：一“看”（是否为两平方差）、二“定”（确定a和b）、三“套”（套用公式）、四“查”（检查括号内是否最简、能否再分解）。

3.学生独立完成（2），请一名学生板演，师生共同评议。

例2：系数与符号处理

分解因式：（1）-49+4x²（2）-a²b²+1

1.引导学生分析：（1）式两项顺序与公式“a²-b²”不一致，且第一项为负。如何处理？

2.学生讨论：可以交换项的位置，变为4x²-49；或者先提取负号，但提取后括号内变为49-4x²，仍需交换顺序。比较两种方法，体会“首项为正”的惯例。

3.教师小结：若多项式不符合“a²-b²”的标准形式，可通过调整项的顺序或提取负号进行变形，使其符合公式结构。

例3：“a”或“b”为多项式

分解因式：（1）（2x+3）²-（x-1）²（2）a²（x-y）-b²（x-y）

1.对于（1）：引导学生明确a=2x+3，b=x-1，直接应用公式。

2.对于（2）：提问：“这个多项式是两项吗？直接看是平方差吗？”

3.学生发现：有公因式（x-y），应首先提公因式。

4.教师板书规范过程：

解：a²（x-y）-b²（x-y）

=（x-y）（a²-b²）（先提公因式）

=（x-y）（a+b）（a-b）（再用平方差公式）

5.提炼重要原则：“一提二套”。因式分解时，有公因式必须首先提取公因式，然后再考虑能否用公式法。

设计意图：

1.规范流程：通过教师示范，明确解题的规范步骤和书写格式，培养学生严谨的数学学习习惯。

2.突破难点：例2、例3针对性解决学生应用中的常见困惑（符号、项的顺序、多项式作为整体、综合提公因式），通过分析讨论，深化对公式灵活运用的理解。

3.渗透思想方法：总结出“一看二定三套四查”和“一提二套”的解题策略，提升学生解决问题的程序化思维能力和策略意识。

（五）融会贯通，拓展提升（预计时间：8分钟）

1.综合辨析与判断：

快速判断下列因式分解是否正确，若不正确，请指出错误原因并改正。

（1）4x²-9y²=（4x+9y）（4x-9y）（错误，a、b找错）

（2）-x²+y²=（-x+y）（-x-y）（错误，提取负号更简便，应为（y+x）（y-x））

（3）x⁴-1=（x²+1）（x²-1）（不彻底，x²-1还能分解）

1.此活动采用小组竞赛形式，激发学生兴趣，在辨析中巩固对公式本质和分解彻底性的认识。

2.拓展探究（学有余力）：

你能用平方差公式计算2025²-2024²的值吗？

1.引导学生将算式视为a²-b²的形式，其中a=2025，b=2024。

2.则2025²-2024²=（2025+2024）（2025-2024）=4049×1=4049。

3.借此说明公式法在简化数值计算中的应用，体现数学的工具价值。

3.设计意图：

1.巩固与反馈：通过辨析纠错，检验学生对知识的理解深度，及时查漏补缺。

2.发展思维：拓展题将代数运算与数值计算结合，展示公式法的应用价值，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。

3.分层教学：为不同层次学生提供思维空间，让学有余力者获得挑战和成就感。

（六）课堂小结，结构梳理（预计时间：2分钟）

1.学生自主小结：

教师引导学生从以下方面回顾本节课：

1.我们今天学习了哪种新的因式分解方法？

2.平方差公式用于因式分解的形式是什么？它的左边有什么特征？

3.运用平方差公式分解因式的一般步骤是什么？需要注意什么？

4.本节课涉及到哪些重要的数学思想？（逆向思维、整体思想、数形结合）

2.教师提炼升华：

（结合板书）今天我们揭开了“公式法”因式分解的第一篇章——平方差公式。关键在于抓住“平方差”这个结构特征，并理解公式中的a和b可以代表更广泛的代数式。记住“一提二套”的顺序和“分解要彻底”的要求。公式的逆用，体现了数学的对称之美和思维的灵活性。

（七）布置作业，巩固延伸

为满足不同学生的学习需求，作业设计分为三个层次：

A组：基础巩固（必做）

1.课本对应章节的练习题（基本题）。

2.把下列各式分解因式：

（1）9m²-n²

（2）1/9-16y²

（3）（a+2b）²-9c²

（4）2x³-8x（提示：先提公因式）

B组：能力提升（选做）

1.分解因式：（x²+4）²-16x²

2.利用因式分解计算：99²-1

3.已知a+b=5，a-b=3，求a²-b²的值。

C组：拓展探究（挑战选做）

1.求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数。

2.在边长为a的正方形纸片中，剪去一个边长为b的正方形，你能通过剪切拼接剩余部分，得到我们推导公式时所用的长方形吗？画出几种不同的剪切方法示意图。

设计意图：分层作业尊重学生个体差异，A组夯实基础，B组强化应用与联系，C组发展探究能力和数学思维，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。

五、评价设计

教学评价贯穿于整个教学过程，旨在促进学生学习、改进教师教学。

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：教师在学生探究、讨论、练习环节，通过巡视观察学生的参与度、思维状态、合作情况、练习正误，进行即时评价与反馈。

2.3.问答反馈：通过课堂提问，评价学生对概念的理解程度、语言表达能力及思维逻辑性。

3.4.《课堂探究学习单》完成情况：评价学生独立探究和归纳能力。

5.形成性评价：

1.6.例题板演与评议：通过学生板演和集体评议，暴露典型问题和思维过程，进行针对性纠正和强化。

2.7.课堂练习反馈：利用《分层巩固练习卡》的当堂小测（可设计3-4道针对性题目），下课前5分钟完成并互评或教师抽检，快速诊断本节课目标达成情况。

8.表现性评价：

1.9.在小组合作探究“公式结构辨析”和“拓展计算”环节，评价学生在小组内的贡献、交流协作能力以及解决问题方法的创新性。

评价结果将作为调整后续教学进度、开展个别辅导的重要依据。

六