2024年四川省巴中市中考数学试题（含答案）

PAGE1数学试卷选择题一、选择题1.在0，1，，中最小的实数是（）A0 B. C.1 D.2.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.函数自变量的取值范围是（）A. B. C. D.4.下列运算正确的是（）A. B.C D.5.实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A B. C. D.6.如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（）A. B. C. D.7.如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（）A.4 B.5 C.6 D.88.某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（）A. B.C. D.9.一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差10.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（）A.8 B.10 C.12 D.1311.如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（）A. B. C. D.12.如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（）A.的垂直平分线一定与相交于点B.C.当为中点时，是等边三角形D.当为中点时，非选择题二、填空题13.27的立方根为_____．14.过五边形的一个顶点有__________条对角线．15.已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______．16.如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______．17.如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为______．18.若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为______．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）①②当时，代数式的最小值为3③对于任意实数，不等式一定成立④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有三、解答题19.（1）计算：（2）求不等式组的解集．（3）先化简，再求值：，其中20.为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．（1）求______，并补全条形统计图．（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．21.某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．（1）求点离水平地面高度．（2）求电线塔的高度（结果保留根号）．22.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．（1）求的值及点的坐标．（2）点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．23.如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．（1）求证：是的切线．（2）求证：．（3）若，，求的长．24.综合与实践（1）操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______．（2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形．①通过操作得出：与的比值为______．②证明：四边形为平行四边形．（3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．25.在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．（1）求抛物线表达式．（2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．（3）如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值．数学试卷选择题一、选择题1.在0，1，，中最小的实数是（）A.0 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据正数负数，负数绝对值大的反而小，即可比较．【详解】解：∵，∴最小的实数是，故选：B．2.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：D．3.函数自变量的取值范围是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题．【详解】解：由题知，，解得，故答案为：C．4.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式．根据合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式式逐项计算，即可判断．【详解】解：和不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；，故B选项符合题意；，故C选项不符合题意；，故D选项不符合题意．故选：B．5.实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查利用数轴比较大小．实数，在数轴上对应点的位置可知，，，由此即可求解．【详解】解：由题意得，，，则，∴，，，观察四个选项，选项D符合题意．故选：D．6.如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．利用对顶角相等求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，最后利用平行线的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：A．7.如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴O是中点，又∵E是中点，∴OE是的中位线，∴，，∵的周长为12，，∴，∴的周长为．故选：B.8.某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可．【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得：．故选：A．9.一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差【答案】B【解析】【分析】本题考查数据的分析，平均数，中位数，众数，极差定义．根据题意分别求解原数据与新数据的平均数，中位数，众数，极差即可得到本题答案．【详解】解：∵一组数据，∴平均数为：，中位数为，众数为，极差为：，去掉数据11为，∴平均数为：，中位数为，众数为，极差为：，∴中位数发生变化，故选：B．10.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（）A.8 B.10 C.12 D.13【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可．【详解】解：设，则，由题意，得：，解得：，即，故选：C．11.如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可；【详解】解：∵12个相似的直角三角形，∴，，∵，∴，，，∴，故选C12.如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（）A.的垂直平分线一定与相交于点B.C.当为中点时，是等边三角形D.当为中点时，【答案】D【解析】【分析】连接，根据，点是的中点得，则，进而得点在线段的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设，根据得，的，再根据得，则，由此可对选项Ｂ进行判断；当为中点时，则，是线段的垂直平分线，由此得，然后根据，，得，由此可对选项Ｃ进行判断；连接并延长交于，根据是等边三角形得，则，进而得，，由此得，，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．【详解】解：连接，如图1所示：，点是的中点，为斜边上的中线，，，，点在线段的垂直平分线上，即线段的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意；设，，，，，，，即，故选B正确，不符合题意；当为中点时，则，，是线段的垂直平分线，，，，，，，是等边三角形，故选C正确，不符合题意；连接，并延长交于，如图2所示：

当为中点时，点为的中点，根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点，当为中点时，是等边三角形，，，平分，平分，，，在中，，，，，，，故选项D不正确，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．非选择题二、填空题13.27的立方根为_____．【答案】3【解析】【分析】找到立方等于27的数即可．【详解】解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为：3．14.过五边形的一个顶点有__________条对角线．【答案】2【解析】【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出条对角线．【详解】从五边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的2个顶点引对角线，即能引出2条对角线，故答案为：2．【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线．15.已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设方程的另一个根为m，∵方程有一个根为，∴，解得：．故答案为：4．16.如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是______．【答案】60°【解析】【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可．【详解】解：∵四边形OABC为菱形，∴∠AOC＝∠ABC，由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．17.如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作，垂足为H，利用勾股定理求出的长，利用角的余弦值求出的长，再利用勾股定理求出，从而得出，利用三角形面积求出即可．【详解】解：如图，过点F作，垂足为H，四边形为矩形，，，，，，，即，解得：，，即，解得：，，，，即，解得：，故答案为：．18.若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为______．（少选得1分，错选得0分，选全得满分）①②当时，代数式的最小值为3③对于任意实数，不等式一定成立④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有【答案】①③##③①【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次函数的性质是解本题的关键．由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意；【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．∴，∴，故①符合题意；∴，∴，，∵，∴当时，取最小值，故②不符合题意；∵，∴对称轴直线，∵，当时，函数取最小值，当时，函数值为，∴，∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意；当时，∵，∴，∴，当时，满足，∴，∴，当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意；综上：符合题意的有①③；故答案为：①③．三、解答题19.（1）计算：（2）求不等式组的解集．（3）先化简，再求值：，其中【答案】（1）；（2）；（3），【解析】【分析】（1）先化简绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的化简与乘方运算，再合并即可；（2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可；（3）先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算得到化简的结果，再代入计算即可．【详解】解：（1）；（2），由不等式①得：；由不等式②得：；∴原不等式组的解集为：；（3）；当时，原式．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握以上基本运算的运算法则与解题步骤是解本题的关键．20.为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．（1）求______，并补全条形统计图．（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动学生有多少名？（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．【答案】（1）200，图见详解（2）312名（3）【解析】【分析】（1）根据喜爱篮球的人数和所占的百分比即可求出，然后求出喜欢乒乓球的人数即可；（2）用该校的总人数乘以最喜爱乒乓球的学生的人数所占的百分比即可；（3）画出树状图即可解决问题．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．【小问1详解】解：（名，喜欢乒乓球的人数；（名，补全统计图：故答案为：200；【小问2详解】解：（名，答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名；【小问3详解】解：画树状图得：一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，恰好选中甲、乙两名同学的概率为．21.某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为．（1）求点离水平地面的高度．（2）求电线塔的高度（结果保留根号）．【答案】（1）；（2）电线塔的高度．【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．（1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可；（2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案．【小问1详解】解：∵斜坡的坡度，∴，∵，∴，∵，∴；【小问2详解】解：作于点，则四边形是矩形，，，设，在中，，∴，在中，，在中，，，∴，∴，∴，∴，答：电线塔的高度．22.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．（1）求的值及点的坐标．（2）点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标；（2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可；【小问1详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．∴，∴,∴，∴反比例函数为：；∴，解得：，，∴；【小问2详解】解：∵，∴，∵，，∴，,∴，∴，，如图，当时，最短；∴；【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键.23.如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．（1）求证：是的切线．（2）求证：．（3）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论；（2）证明，，结合，，再进一步可得结论；（3）如图，连接，证明，再证明，可得，结合，从而可得答案；【小问1详解】证明：如图，连接，∵点为的中点，∴，∵，∴，且OD是的半径，∴DF是的切线；【小问2详解】证明：∵点为的中点，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；【小问3详解】解：如图，连接，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，而，∴，∵四边形为内接四边形，∴，∴，∴，∴，而，∴，∴，经检验，符合题意；【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.24.综合与实践（1）操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______．（2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上点．是拼接之后形成的四边形．①通过操作得出：与的比值为______．②证明：四边形为平行四边形．（3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．【答案】（1）（2）①1；②见详解（3）见详解【解析】【分析】（1）由“角角边”即可证明；（2）①由操作知，将四边形绕点E旋转得到四边形，故，因此；②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（3）取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形．【小问1详解】解：如图，∵，∴，由题意得为中点，‘∴’，∵，∴故答案为：；【小问2详解】解：①如图，由操作知，点E为中点，将四边形绕点E旋转得到四边形，∴，∴，故答案为：1；②如图，由题意得，是的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出，则，，∵，，，∴，∵∴，∴三点共线，同理三点共线，由操作得，，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形；【小问3详解