2025北京十一学校初三（下）开学考数学试题及答案

初中2025北京十一学校初三（下）开学考数学考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（共16分，每小题2分）1.如图是一个由5个小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）A. B. C. D.2.实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.3.不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（）A. B. C. D.4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A，点C分别在直线a，b上，且a∥b．若∠1=60°，则∠2的度数为（）A.75° B.105° C.135° D.155°5.为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（）A. B. C. D.6.x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. B. C.且 D.且7.下面是“作的外接圆”的尺规作图方法．（1）如图，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，分别在直线两侧交于D，E两点，作过点D和点E的直线；（2）分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，分别在直线两侧交于F，G两点，作过点F和点G的直线；（3）直线和直线相交于点O；（4）以点O为圆心，以长为半径作出的外接圆．上述方法由，得到，从而知经过A，B，C三点．其中获得的依据是（）A.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上C.角平分线上的点到角的两边的距离相等D.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上8.已知如图，二次函数的顶点为，最大值为，与轴交于，两点，与轴交于点．以为直径作圆，记作，下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②点在上；③在抛物线上存在一点，能使四边形为平行四边形；④直线与相切．正确的结论是（）A.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④二、填空题（共16分，每小题2分）9.要使二次根式有意义，则实数的取值范围为______．10.分解因式：______．11.分式方程的解是________12.如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数图象上，若，，则k的值为______．13.小张所在的公司共有600名员工，他为了解公司员工所使用的手机品牌情况，随机调查了部分员工，并将调查得到的数据绘制成如图所示的统计图，那么小张所在公司使用“华为”品牌手机的人数约是_____人．14.如图，在扇形中，圆心角，是上的点，，则的度数为________．15.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为___________．16.小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现小李共当裁判局，小刘、小黄分别进行了局、局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了__________局比赛，其中第局比赛的裁判是__________．三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27题7分，第28题7分）17.计算：．18.解不等式组：19.已知，求的值．20.如图，在中，，，分别是，的中点，连接，，是线段上一点，且，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．21.燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？22.在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点．（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，求的取值范围．23.某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息．c.甲、乙、丙三位同学面试情况统计表同学评委打分的中位数评委打分的众数面试成绩方差甲9和1085乙887丙8根据以上信息，回答下列问题：（1）_______，_______；（2）求丙同学的面试成绩；（3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；（4）按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是_____（填“甲”、“乙或“丙”）．24.已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长．25.【项目化学习】项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如下：运动时间0246810…运动速度1098765…滑行距离01936516475…根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中即可作出与的函数图象、与的函数图象；任务一：描点画图（1）请在图（b）中画出与的函数图象；任务二：观察分析（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中与的函数关系为一次函数关系，图（c）中与的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出与的函数关系式和与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）任务三：问题解决（3）若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求的取值范围．26.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．（1）若抛物线经过点，求的值；（2）若，，，求的取值范围；（3）若对于，，都有，求取值范围；（4）若对于，或，存在，直接写出的取值范围．27.如图，在等边中，为边上一点，连接，为线段上一点（），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．（1）求证：；（2）点G为延长线上一点，连接交于点H．若H为的中点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明28.在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．（1）如图，点，点在线段的延长线上.若点，点为点的“对应点”．①在图中画出点；②连接，交线段于点，求证：；（2）的半径为3，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时，求长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．

参考答案一、选择题（共16分，每小题2分）1.【答案】C【分析】直接根据从正面看到的图形即可求解．【详解】解：从正面看到的图形为，故选：C【点睛】本题考查了立体图形的三视图，理解三视图的概念是解题的关键．2.【答案】C【分析】根据题意以及实数a，b，c在数轴上对应点的位置逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵，，，故A选项不正确，不符合题意；，故B选项不正确，不符合题意；，故C选项正确，符合题意；，，故D选项不正确，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了实数与数轴，根据点的位置判断式子的符号，数形结合是解题的关键．3.【答案】A【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：红黄红(红，红)(红，黄)黄(黄，红)(黄，黄)共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种，∴两次摸出的都是红球的概率为．故选：A．4.【答案】B【详解】∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠3=180°−60°−45°=75°，∵a∥b，∴∠2=180°−∠3=105°，故选B.5.【答案】D【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．【详解】，故选D．6.【答案】C【分析】利用根的判别式和一元二次方程的定义计算判断即可．【详解】∵方程有两个不相等的实数根，∴．，解得且，故选C．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键．7.【答案】A【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【详解】解：由作图可知直线是线段的垂直平分线，则的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，故选：A．8.【答案】B【分析】根据抛物线的解析式即可判定；求得、的长进行比较即可判定，过点作，交抛物线于，如果，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；求得为直角三角形即可进行判定；【详解】解：如图，过点作，交抛物线于，连，连，，二次函数的顶点为，最大值为，抛物线过点，抛物线的对称轴为直线，故正确，符合题意；，解得，抛物线的解析式为，当时，，解得：或，，；，，，，，点在上，故②正确，符合题意；，，解得：或，，，四边形不是平行四边形，故错误，不符合题意；由抛物线可知，，，，，，为直角三角形，，，，直线与相切，故正确，符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，平行四边形的判定，勾股定理及逆定理，切线的判定，点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．二、填空题（共16分，每小题2分）9.【答案】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解．【详解】解：根据题意可得，解得，故答案为：．10.【答案】【分析】先提取公因式-y，再运用完全平方公式进行因式分解．【详解】解：原式===故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法因式分解，综合运用这两种方法分解因式，是解题的关键．11.【答案】【分析】方程两边都乘以去分母，得到整式方程，解之，然后进行检验确定分式方程的解．【详解】解：，去分母得，解得，检验：当时，，所以原方程的解为．

故答案为：．【点睛】本题考查解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入分式方程进行检验，最后确定分式方程的解．12.【答案】【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定，分别过引轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值．【详解】解：如图，分别过A、B引轴的垂线，垂足分别为，点B在函数的图象上，，，，轴，轴，，，，，又，，，点A在函数的图象上，，∵（函数图象经过第二象限），∴，故答案为：．13.【答案】210【分析】用样本中使用华为品牌的人数所占比例乘以总人数即可得出答案．【详解】解：小张所在公司使用“华为”品牌手机的人数约是600×＝210（人），故答案为：210．【点睛】本题考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．14.【答案】【分析】本题主要考查圆周角定理，先根据已知求得，再根据圆周角定理求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故答案为：．15.【答案】或【分析】由题意知，，点P在线段上，分两种情况：当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点；当时，利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标．【详解】解：∵，∴，∴，点P在线段上．∵A点的坐标为，∴，由勾股定理得：；如图1所示，当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点，∴点P是的中点，∴点P的坐标为；如图2所示，当时，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴点P的坐标为；综上所述，或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用．16.【答案】①.②.小黄【分析】本题考查推理与论证，解题的关键是根据题意，分析其存在的规律和方法；先确定小刘和小黄之间打了局，小刘和小李之间打了局，小黄和小李打了局，进而确定三人一共打的局数和小黄当裁判的局数即可得解；【详解】解：小李共当裁判局，小刘和小黄之间打了局，小刘、小黄分别进行了局、局比赛，小刘和小李之间进行了局比赛，小黄和小李之间进行了局比赛，三人一共打了局比赛，小刘打了局比赛、小黄打了局比赛，小刘当裁判局，小黄当裁判局，而小李当裁判局，从到共个奇数，个偶数，每一局都有胜负，不会出现连续做裁判的情况，小黄当裁判的局为奇数局，第局比赛的裁判是小黄，故答案为：；小黄三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27题7分，第28题7分）17.【答案】【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，掌握混合运算的运算法则是解题关键．根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值和二次根式的化简分别计算后，再进行加减运算即可．【详解】解：．18.【答案】﹣1≤x＜2．【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后再确定出公共解集即可得.【详解】解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，解不等式，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.注意要掌握不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了.19.【答案】【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再计算括号内的分式减法，然后计算分式的除法，由此即可得．【详解】解：由得：，．20.【答案】（1）见解析（2）【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质，点分别为中点，可证四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由此即可求证；（2）根据锐角三角函数和勾股定理求出的长，连接，根据菱形的性质可得，的长，在中根据勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，，．点分别为中点，，．．四边形是平行四边形．，点为中点，．四边形是菱形．【小问2详解】解：连接，交于点．在中，，，∴，解得．，．，．∵四边形是菱形，∴是的中点，．，．．在中，．21.【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．设每张桌面的宽为尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设每张桌面的宽为尺，根据图形可得：小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺，故可得，解得：，（舍去），∴，答：长桌的长为尺．22.【答案】（1），（2）【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）将点坐标代入两个函数解析式求出值即可；（2）当时，，，根据题意，解出不等式解集即可．【小问1详解】解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点，，，正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：；【小问2详解】当时，，，当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，，解得．23.【答案】（1）9，8（2）丙同学的面试成绩为83分（3）乙（4）乙【分析】本题考查折线统计图，中位数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．（1）根据中位数的定义可得m的值，根据众数的定义可得n的值；（2）把十位评委的打分相加即可得丙的得分；（3）先求出乙的方差，根据方差的意义解答即可；（4）根据加权平均数公式计算即可得出结论．【小问1详解】解∶由折线统计图得，甲的得分是7，10，10，7，9，9，8，9，10，6，把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数，乙的得分是8，8，9，10，8，10，9，8，9，8，其中8出现次数最多，故众数．故答案为：9，8；【小问2详解】解∶丙同学的面试成绩（分），答∶丙同学的面试成绩为83分；【小问3详解】解∶乙的平均得分为（分），乙的方差为，，可知，乙的得分的波动比甲和丙小，所以甲、乙、丙三位同学中，评委对乙的评价更一致，故答案为∶乙．【小问4详解】解∶甲的综合成绩为∶(分)，乙的综合成绩为∶(分)，丙的综合成绩为∶(分)，．所以综合成绩最高的是乙．故答案为∶乙．24.【答案】（1）见解析（2）FB=【分析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．（2）过点D作DH⊥AB，根据解直角三角形的知识可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．【详解】证明：（1）连接OC，∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理）．∴△CDO≌△BDO（HL）．∴∠COD=∠BOD．在△OCE和△OBE中，∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE，∴△OCE≌△OBE（SAS）．∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE．∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴．又∵，OB=9，∴OD=6．∴OH=4，HB=5，DH=2．又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=．垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义．25.【答案】（1）见详解；（2）；；（3）【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．（1）利用描点法解答即可；（2）利用待定系数法解答即可；（3）假定经过秒小球追上小电动车得到关于的一元二次方程，令，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论．【详解】解：（1）画出与的函数图象如下：（2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系，设，代入，得：，解得：，与的函数关系为；设代入，得：，所得：，与的函数关系式为；（3）假定经过秒小球追上小电动车，，．由题意：，．若黑球不能撞上小车，则的取值范围为．故答案为：．26.【答案】（1）；（2）（3）；（4）或．【分析】（1）把点代入解析式求得，然后利用对称轴公式即可求解；（2）当抛物线对称轴为直线时，根据抛物线的对称性分析点的坐标，从而确定函数解析式，（3）分两种情况讨论：当时，都有，则，求得；当时，都有，则，求得；即可得；（4）因为，所以抛物线开口向上，根据二次函数的性质，分当或时，当时，两种情况讨论即可得出答案．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【小问1详解】解：∵抛物线经过点，∴，∴，∴；【小问2详解】解：当时，抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，由抛