2025北京二中初三10月月考数学试题及答案

初中2025北京二中初三10月月考数学考查目标1．知识：人教版九年级上册《一元二次方程》、《二次函数》、《旋转》的全部内容．2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力．考生须知1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共18页，其中第Ⅰ卷3页，第Ⅱ卷7页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题．2．本试卷满分100分，考试时间100分钟．3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考试编号．4．考试结束，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共16分）一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）1.纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.如意纹B.冰裂纹C.盘长纹 D.风车纹2.一元二次方程配方后可变形为（）A. B. C. D.3.将抛物线平移得到抛物线，下列平移过程正确的是（）A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度4.观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（）0123451323A.和0之间 B.0和1之间 C.1和2之间 D.2和3之间5.在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.6.如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（）A.点A B.点B C.点C D.点D7.二次函数图象上部分点的坐标满足如表：…－3－20135……707…下面有四个结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是________．10.若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为______．11.二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则关于x的方程的解为________．12.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________．13.抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是________．14.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则__________．15.已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是________．16.某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求：（1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成；（2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成；（3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰；（4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序．各项工序所需时间如表所示：工序ABCDEFGHMN所需时间/分钟1815166758323在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，至少需要______分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要______名学生共同参与．三、解答题（共68分，其中第17－19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22－23题每题6分，第24－25题每题5分，第26题6分，第27－28题每题7分）17.解方程：．18.解方程：．19.如图，点A，B的坐标分别为、，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（其中点A和点对应，点B和点对应，点C和点对应）．（1）画出旋转后的；（2）直接写出点的坐标为______．（3）连接，直接写出的度数为______．20.已知关于的方程．（1）求证：方程总有两个实数根：（2）若方程的一个根比另一个根大3，求的值．21.已知二次函数．（1）顶点坐标为________；（2）若抛物线的顶点在轴上，则________，此时当时，的取值范围是________．（3）若，点和点在抛物线上，则________．（填“”“”或“”）22.造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度．23.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点和点在抛物线上，且，直接写出的取值范围；（3）若直线经过、两点，直接写出关于的不等式的解集．24.如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，．（1）求证：；（2）若，，，请直接写出的度数．25.如图1，是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内宽米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点，测量点到墙面的距离，点到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了与的几组值，如表：（米）02468（米）4.05.56.05.54.0（1）根据上述数据，隧道顶面到路面的最大距离为________米，若满足的函数关系式为，请直接写出函数关系式：________；（2）若如图（2）的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于米，且到隧道顶面的距离不小于米．按照这个要求，隧道能标注的限高应为多少米（精确到米）？26.抛物线与x轴交于、B两点，点C是抛物线顶点．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；（2）点是x轴上的动点，过点D作轴交直线于点E，交抛物线于点F．①若，直接写出的长；②若，求线段长度的最大值．27.中，，，点D是边中点，点E是边上动点（不与点B、点C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接．（1）如图1，若点F刚好落在边上，连接，求证：；（2）在图2中判断、、的数量关系，并证明；（3）若，，直接写出的最小值为________．28.对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点．（1）在点，，中，点________是线段关于原点O的“伴随点”；（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；（3）已知抛物线，其关于原点对称的抛物线上存在两个关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．

参考答案第Ⅰ卷（选择题共16分）一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）12345678DCDCDBCA第Ⅱ卷（非选择题共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点关于原点过对称的点的坐标是．故答案为：10.【答案】解：将代入得，，解得或，当时，，不符合题意，舍去，∴，故答案为：．11.【答案】解：由二次函数图象可得，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴是直线，则抛物线与x轴的另一个交点为，当时，关于x的方程的两个解为：，．故答案为：，．12.【答案】第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为．第二个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，于是有，故答案为．13.【答案】解：∵抛物线与x轴有交点，∴有实数根，∴，解得：；故答案为：．14.【答案】解：由旋转性质得，，，∴，∴，故答案为：．15.【答案】解：∵，∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，且时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，∴，∴，故答案为：．16.【答案】解：由题意得：可知需要先完成A，再完成H，完成时长为（分钟）；若要在最短的时间内合作完成准备工作，需要四名学生，具体安排如下图：故答案为：21，4．三、解答题（共68分，其中第17－19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22－23题每题6分，第24－25题每题5分，第26题6分，第27－28题每题7分）17.【答案】解：或∴，．18.【答案】解：，，，，，，．19.【答案】（1）解：如图，即为所求；（2）解：由图可知：；（3）解：由旋转可知：，∴．故答案为：45．20.【答案】（1）证明：，因为，所以，所以方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得，整理，得或，∵方程的一个根比另一个根大3，∴或，∴或．21.【答案】（1）解：，∴顶点坐标为，故答案为：；（2）解：若抛物线的顶点在轴上，则，∴，此时，则该抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，∵，∴当时，y最小，最小值为0；当时，，当时，，∴y的取值范围为，故答案为：；（3）解：由于，，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，∵，∴，，∵点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为，又，∴．故答案为：．22.【答案】解：设彩色纸带的宽为，根据题意，得，解方程，得，（不合题意，舍去)．答：彩色纸带的宽为．23.【答案】（1）解：把点，分别代入，得，解得，故抛物线的解析式为．（2）由（1）得抛物线的对称轴为：，开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大，∵，∴，解得：；（3）由函数图像得，当或时，一次函数图像在二次函数图像得下方，∴的解集为或．24.【答案】（1）证明：绕点B逆时针旋转得到，，，是等边三角形．，，，在和中，，；（2）解：，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，．25.【答案】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当时，y有最大值6，设∵D的坐标为∴，解得∴．故答案为：6，；（2）解：当时，，所以隧道需标注的限高应为（米），答：隧道需标注的限高应为米．26.【答案】（1）解：将代入中，得，解得，∴抛物线的解析式为，令，由得，，∴；（2）解：①，∴顶点C的坐标为，设直线的表达式为，将点B、C的坐标代入，得，解得，∴直线的表达式为，由题意，，则，，∴；②由题意，，，当时，，∵，∴当时，最大，最大值为4；当时，，∵，∴当时，最大，最大值为；∵，∴线段长度的最大值为5．27.【答案】（1）解：由旋转可得：，，，∵，点刚好落在边上，∴∴又∵点是边中点，垂直平分，，（2）解：，理由如下，如图所示，过点作，，则∴，又∵点是边中点，∴∴∴，∵是上的中线，∴，∴∵，则∴又∵旋转，则，，∴，，在和中，∴∴在中，，∴；（3）解：如图所示，连接，∵，，∴，由旋转可得：，，∵是上的中线，∴，∴∵，则∴∴∴∴时，取得最小值，在中，，∴故答案为：．28.【答案】（1）解：∵，，轴，如图所示，点，，绕点O顺时针旋转得到的对应点分别为：，其中点，在线段上，∴和是线段关于原点O的“伴随点”