【数学解析答案】江苏苏州市2025-2026学年度第一学期2026届高三年级期末调研考试(苏州零模)(2.3-2.5)

苏州市2026高三期末高三数学试卷锤子数学精彩解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={xllog₂x<1},B={x|x²+x-2<0},则A∩B=()A.(-2,1)B.(-2,2)【答案】C【锤子数学解析】∵A={x|x>0,log₂x<1}=(0,2),B={xl(x+2)(x-1)<0}=(-2,1),∴A∩B=(0,1).2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，则“f(2)>f(-2)”是“f(x)在[0,+∞]上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【锤子数学解析】∵f(x)为奇函数，f(-2)=-f(2),f(2)>f(-2)⇔f(2)>-f(2)⇔f(2)>0.∵f(x)∴f(2)>f(0)=0→f(2)>0,∴必要；取f(x)=sinx,则f(2)>f(-2)成立而f(x)在(0,+∞)上不单调递增，∴不充分.【答案】C4.在平面直角坐标系xOy中，已知两圆相交于两点A(1,3),B(t,-1),且圆心都在直线x-2y+c=0上，则t+c的值为()【锤子数学解析】两圆公共弦为AB,圆心均在AB的垂直平分线上，∴x-2y+c=0为AB的垂直平分线，其斜率为,∴AB斜率为-2,5.记S是等比数列{a}的前n项和，2S,=S₃+S₆,2ak=a₃+a₆,则正整数k的值为【锤子数学解析】设等比数列首项为a,公比为q,q≠1,6.已知圆柱的轴截面为正方形，侧面积为S,则圆柱的体积等于()【锤子数学解析】设圆柱底面半径为r,高为h,轴截面为正方形→h=2r,,,7.在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点均在双曲线点P(0,1)在边AB上，则双曲线的离心率为()【锤子数学解析】设菱形对角线交点为M(x₀₇y₀),则可设A(x₀+x₁,J₀+v₁),C(x₀-x₁,yo-v₁),B(x₀+x₂,Jo+y₂),D(x₀-x₂,y₀-v₂).由A,C在双曲线上得 (1-a²k²)x²-2a²kx-2a²=0其根为x₁,x₂,又OA·OB=x₁x₂+(kx₁+1)(kx₂+1)锤子点评：直线与双曲线的位置关系问题，结合图形的对称性去解。 距离”.若点A,B在曲线y=1-e²-×上，则dAB的最小值为()【答案】D【锤子数学解析】A(x₁,1-e²×),B(x₂,1-e²-×x),记p(x)=x-1+e²-x→x₁-V₁=p(x₁),p'(x)=1-e²-×,p”(x)=e²-×>0,p'(x)=0→x=2,pmin=故最小值为2√2,选D.锤子2026寒假集训拓展与深挖：锤子2026寒假集训拓展与深挖：其实坐标互换就是关于y=x对称：令B₀(y₂,x₂),则dB=√(x₁-v₂)²+(y₁-x₂)²=|ABI曲线C:y=1-e²-×满足y-x=1-e²-×-x=-p(x)≤-2<0→Cc{y<x}锤子点评：两点之间的距离，可以转换A或B关于y=x的对称点，然后可以利用求二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.A.a₁=-3B.S₆=0【锤子数学解析】设公差为d,a₅=3→a₁+4d=3,,解得d=2,a₁=-5,A错；,B对；10.设i为虚数单位，已知复数z₁=sinα+2i,Z₂=1+(cosa)i(其中a∈R),设【锤子数学解析】,且1+cosD,若a²-b²=2,则(sina+2cosa)²-(2-sinacosa)²=2(1+cos²α)²左边≤4,右边≥5,矛盾，D错；故选ABC锤子点评：复数出现在这个位置说明有一定的计算量，一个一个选项细心判断。11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E,F分别为AB,BC的中点，动点G在棱CC₁上(不含端点),则下列说法正确的有()A.△EFG是钝角三角形B.平面EFG截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形C.当G为CC₁的中点时，平面EFG与底面ABCD所成角的正切值为√2D.若G,E,B,F在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为10πA₁BA₁A₁AB【锤子数学解析】方法一：对于A,设CG=t,0<t<2,EF=√2,FG=√1+t²,对于B,经分析当时，截面为五边形，当时，截面为六边对于C,O₁C⊥平面ABCD,过C作CH⊥EF交其延长线于H,连接GH十C正确.对于D,取EF中点O₁,△BEF的外心为0₁,设O₁在上底面的射影为0₂,∴三棱锥GEBF外接球球心0一定在0₁O₂上，只需让OB=OG即可!→(x-t)²+2=x²≥2(当x=√2,t=√2时可取“=”),D₁(0,2,2),E(1,0,0),F(2,1,0),G(2,2,a)(0<λ<2).B:EF=(1,1,0),EG=(1,2,2),n=(λ面EFG与棱AA,AB,BC,CC₁恒交于H(0,0,2),E(1,0,0),F(2,1,0),G(2,2,λ),,截面至少五边形；,并得1,截面至少六边形；故截面不可能为四边形→不可能为平行四C:G为CC₁中点→λ=1,n=(1,-1,1),底面ABCD法向量设球心0(x,y,z),由锤子点评：锤子点评：立体几何无难题，在正方体中，可以三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在(1-x)³+(1-x)⁴+(1【答案】19【锤子数学解析】(1-x)³中x²项系数=C3(-1)²=C3=3,(1-x)⁴中x²项系数=C²=6,(1-x)⁵中x²项系数=C²=10,C³+C²+C²=3+6+10=19.13.一个盒中有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件A=“两张标签上的数字之和为6”.若标签的选取是不放回的，记P(A)=P₁;若【答案】【锤子数学解析】不放回，总数=5×4,和为6的有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)共4个，顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+t与抛物线y=x²交于A,B两点，弦AB的衍生三角形是△ABC.记△ABC为弦AB的一阶衍生三角形；弦AC,BC的衍生三角形为弦AB的二阶衍生三角形；弦AD,DC,CE,EB任意n∈N*,则正整数t的最大值为_【答案】8【锤子数学解析】A,B交点满足x²=x+t→x²-x-t=0,设两根x₁<x₂,则x₂-x₁=√1+4t=a>0.对任意弦端点P(x₁,x²),Q(x₂,x²),中点横坐标,准线为,垂直于准线的直线为x=x₀,与抛物线交点R(x₀,x}).由2026寒假线上集训解析几何小题鬼门15招：.故一阶面积和每次衍生点取横坐标中点，弦的横向长度均二分，故第k阶共有2k-¹条弦，每条弦横向长度抛物线y=x²上任意弦端点横坐标x₁<x₂,记a=x₂-x₁,则第k阶衍生三角形面积和锤子点评：抛物线的小题压轴，计算量稍微有些大，需要记住一些最常见的二级结论，这样可以省了很多过程，我们的课程中有很多相关的二级结论，考试中尤其在小题中真的很好用。四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面(1)求证：FG//平面PAB;(2)求直线FG与平面PBC所成角的正弦值.B【锤子数学解析】【锤子数学解析】(1)证明：∵E,F,G分别为PC,PD,BC的中点(2)如图建系，∴F(0,0,2),G(1,2,0),P(0,0,4),B(2,2,0),C(0,2,0)设平面PBC的一个法向量n=(x,y,z):→n=(0,2,1)设直线FG与平面PBC所成角为θ,16.(15分)为丰富全校师生的校园文化生活，增强师生身体素质，某校在学生运动会期间开展了教工定点投篮游戏，游戏规则如下：每位教师投篮三次.记第i次投篮命中得分为(4-i)分(i=1,2,3),若三次均未命中则得分为0分.假设李老师每次投篮的命中率为p(0<p<1),每次投篮互不影响.已知李老师(2)设李老师投篮结束最终的得分为Y,若则认定李老师是投篮高手.请问是否有理由认定李老师是投篮高手?【锤子数学解析】【锤子数学解析】(1)X的所有可能取值为0,1,2,3(2)Y的所有可能取值为0,1,2,3∴有理由认定李老师是投篮高手.17.(15分)已知定义在(0,π)上的函数(2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知求△ABC的面积.【锤子数学解析】【锤子数学解析】18.(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:(a>b>0)经过点两点，点M (2)记四边形OPMQ的面积为S.①若点M恰好在C上，求S的值；②若S=2√2,问：在x轴上是否存在两个定点A₁,A₂,使得直线MA₁,MA₂与y轴分别交于B₁,B₂两点，且OB·OB₂为定值?若存在，求出A₁,A₂的坐标；若不存在，请说明理由.【锤子数学解析】方法一：(1)由题意知∴椭圆C的标准方程为：(2)①设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),M(x₀,y。)PMoQ此时S=2S△oPg=|x₁V₂-x₂V₁|=|x₁(kx₂+m)-x₂(kx₁+m)=m(x₁-x₂)②由2026寒假线上集训解析几何鬼门13招秒杀：两式相乘∴M在椭圆1上运动存在定点A,(-2√2,0),A₂(2√2,0)符合.∵此时直线MA₁方程为：直线MA₂方程为：为定值 判别式D=(4km)²-4(1+2k²)(2设A₁(a,0),A₂(a₂,0),B₁(0,b₁),B₂(0,b₂)上若为定值，则a,a₂(8-x²)=2μ(a₁-x)(a₂-x→a₁=2√2,a₂=-2√2(或互换)2、定点A₁,A₂的选取本质：取轨迹椭圆的x轴顶点设B₁(0,b₁),B₂(0,b₂),则锤子点评：第二问的第一小问，向量问题坐标化即可，设出P,Q和M(x0坐标，将x0,y0分别用x1,×2和y1,y2表示，代入韦达定理就行了，在得到M助向量叉乘公式算三角形POQ的面积，进而得出平行四边形OPMQ的面积，最后一问当我们发现三角形POQ的面积=1/2ab以题，底下将P,Q坐标分别代入椭圆方程，即可得出kOP·k0Q=-b^2/a^2=-1/2,这也是共轭直径的经典结论之一.底下计算M的轨迹，发现M在椭圆x^2/8+y^2/4=1上运动，底下结合椭圆的第三定义，就可以知道定点为该椭圆的左右顶点了，很赞的题目，一步一步的衔接比较流畅，方法不当计算量会非常大.19.(17分)已知函数f(x)=|ax-2|,g(x)=ax²-ax³(a∈R且a≠0).①若f(x)与g'(x)有相同的零点，求a的值；②若对任意x≥0,都有f(x)≥g'(x),求a的取值范围；(2)若存在唯一的实数t,使得f(t)=g(t),求a的取值范围.【锤子数学解析】方法一：(1)①g'(x)=2ax-3ax²,f(x)零点为,g'(x)零点为当x→+∞时，2ax-3ax²-|ax-2|→+00,矛盾，舍去(2)由2026寒假线上集训导数鬼门14招极致秒杀(2)由2026寒假线上集训导数鬼门14招极致秒杀：精彩绝伦!①若a>0,则t≤1,∴或H'(x)=-3x²+2x+1=-(3x+1)(x-1)H(x)在上单调递减；上单调递增由2026寒假线上集训导数鬼门14招秒杀：立即得由2026寒假线上集训导数鬼门14招秒杀：立即得,H(x)≥h(x)当且仅当x=0或1时，取“=”②当a<0,则t≥1,∴或或或h(x)在(1,+)上单调递增，H'(x)=(3x+1)(1-x)≤0H(x)在(1,+0)上单调递减，且h(1)=H(1)=1,由2026寒假线上集训导数鬼门14招秒杀：由2026寒假线上集训导数鬼门14招秒杀：此时均与图象有一个交点，符合，∴a<0也符合综上：0<a<2或a<0方法二：(1)g'(x)=2ax-3ax²=ax(2-3x).①若f(x)与g'(x)有相同的零若a<0,x→+∞时g'(x)→+∞○,矛盾，∴a>0.取当,f(x)=2-ax,取ax-2|≥0≥g'(x).ax-2|≥0≥g'(x).-(2)若存在唯一实数t使f(t)=g(t)解方程|ax-2|=ax²-ax³.①a>0:两边同除以a,令,Ix-c=x²-x³=x²(1-x)→x≤1.若c>1(0<a<2),对x≤1有|x-c|=c-x,令p(x)=-x³+x²+x-c,方程为p(x)=0.[0,1]上p'(x)=-(3x+1)(x-1)>0,1-x=x²(1-x)→(1-x)(x²-1)=0→x=-1,1,