【数学解析答案】江苏无锡市2025-2026学年度第一学期2026届高三年级期末教学质量监测考试(2.2-2.4)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|-2≤x≤2},,且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=()【答案】C【锤子数学解析】A∩B={x|-2≤x≤1},则1,∴a=2,选C.2.数据x₁,x₂,x₃,x₄,x₅的方差为s²,则数据2x₁+1,2x₂+1,2x₃+1,2x₄+1,2x₅+1的方差为()【答案】B【锤子数学解析】x₁,x₂,…,x₅方差为s²,2x₁+1,2x₂+1,…,2x₅+1方差4s²,选B.3.等差数列{an}的前n项和为S,若S,=1,a₂+a₈=()【锤子数学解析】S,=9a₅=1,,选A.4.下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是()A.9x²+y²=36B.x²+9【锤子数学解析】离心率越小越接近于圆其中∴最接近于圆的是D.5.(x-3)(x-1)(x+2)(x+4)的展开式中，x³的系数是()【答案】B【锤子数学解析】(x-3)(x+4)(x-1)(x+2)=(x²=x⁴+2x³-13x²-14x+24,∴x³系数为2,选B.6.若奇函数f(x)在R上单调递减，且f(-1)=2,则满足-2≤f(x-1)≤2的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]∴f(1)≤f(x-1)≤f(-1),f(x)在R上单调递减，∴-1≤x-1≤1,7.已知双曲线E:的左焦点为F(-2,0),点P在双曲线右支上且在x轴的上方.若直线PF的斜率为,线段PF的中点在以原点0为圆心，|OF|为半径的圆上，则该双曲线的渐近线方程为()【锤子数学解析】设PF中点为M,双曲线右焦点F₂,M在以(0,0)为圆心，C为半锤子点评：作图找到右焦点，双曲线和椭圆的焦点都是成对哪一个，可以利用中位线求出PF2的长度，斜率可以求出倾斜角的正切值从而得到余弦值，结合余弦定理求PF,再用双曲线的定义求出离心率，就可以求渐近线了。8.定义：设{a,a2,□}是空间的一个基底，若向量p=xa₁+ya₂+za₃,则称实数组(x,y,z)为p在基底{a,a,a}下的坐标.正月十五赏花灯是元宵节重【锤子数学解析】方法一：p=3AB₁+2AC₁+AD₁=3(44+AB)+2(AC+CC₁)p²=25AB²+16BC²+36AA²+40AB·BC+60AB·AA₁+4p=3(AB+A4)+2(AC+A4)+(AD+A4)=(3AB+2AC+AD ACAD=10√3·20cos30°=300,3AB+2AC+AD²=9|AB²+4|4C²+|LADP+12(AB·Ac)+6(AB·AD)+2026锤子假线上集训拓展与深挖2026锤子假线上集训拓展与深挖取ü₁=AB₁,u₂=AC₁,ü₃=AD,p=mů₁+nů₂+kiu₃,AB·AD=s²,AC·AD=3s²分解p=(mAB+nAC+kAD)+(m+n+k)A4,44⊥底面：p²=100(9+12+4+18+6+12)+36·300=100·61+10800=12、锤子改编：求p与底面夹角φ二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设z,Z是共轭复数，则下列运算结果一定是实数的是()【答案】BDZz₂=(a+bi)(a-bi)=a²+b²∈R,B不一定为实数，C错.z²+z²=(a+bi)²+(a-bi)²=a²+2abi-b²+a²-2abi-b²=2a²-2b²∈R,D对10.设A,B,C是同一概率空间中的随机事件，满足则下列结论正确的是()【锤子数学解析】D错.选ABC.锤子点评：条件概率公式，全概率公式的综合应用，计算量很小了，做不出的话考完把公式好好的背一背。11.函数y=f(x)在R上的图象是一条连续不断的曲线，f(xy)=yf(x)+xf(J)+2xy,A.f(-1)=2C.f(x)是奇函数D.f(x)零点个数大于1【锤子数学解析】方法一：x=y=1时，f(1)=f(1)+f(1)=2,∴f(1)=,B错.y=-1,f(-x)=-f(x)+xf(-1)-2x=-f(x)+2x-2x=-f(x)0也是f(x)零点，∴f(x)的零点个数大于1,D对，选ACD.方法二：由即将开始的《2026寒假线上集训》“抽象函数9招”:秒杀：方法二：由即将开始的《2026寒假线上集训》“抽象函数9招”:秒杀：A.f(-1)=(-1)((2-e)InC.f(-x)=(-x)((2-e)In|x|-2)=-f(x),零点个数3>1,正确.令g(x)+2=h(x),∴h(xy)=h(x)+h(y)①在①式中，令x=y=1→h(1)=0,再令x=y=-1→h(-1)=0对于B,在①中令x=e,,而f(e)=-e²在①中令y=-1→h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数，∴g(x)为偶函数∴f(x)=xg(x)为奇函数，C正确.对于D,首先f(0)=0,其次由在原式中令由f(x)在R上连续，使f(x。)=0,∴f(x)至少三个零点，D正确方法四：令g(x)=f(x)+2x,则g(xy)=f(xy)+2xy=vf(x)+x=↓(g(x)-2x)+x(g(y)-2y)+4xy→g(xy)=yg(x当x≠0,y≠0时，两边同除以xy:,(x≠0),得h(xy)由连续性→h(x)=kIn|x|,(x≠0),∴g(x)=xh(x)=kxIn|x|A.f(-1)=(2-e)(-1)In1-2(-1)=2,正确C.f(-x)=(2-e)(-x)In|x|+2x=-f(x),正确D.f(x)=x((2-e)In|x|-2)→x=0或零点为个数>1,正确锤子点评：抽象函数的问题，赋值法去判断ABC选项，对于D选项，我们可以研究正半轴上是否存在零点，若正半轴上存在零点，则负半轴上一定存在零点，同除xy的话乘积变成和，是对数函数模型，可以求出零点的。三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X服从正态分布N(0,1).若P(|x|≤a)=0.8,则P(X≤a)=【答案】0.9【锤子数学解析】X～N(0,1),P(|x|≤a)=0.8,即P(-a≤X≤a)=0.8,13.已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1,a²=9a₂a₆,则数列{a}的公比q=_;设b=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a,【答案】【锤子数学解析】a³=(a₁q²)²=a²q⁴=9a₁qa,q⁵,则(第一空)锤子点评：等比数列的基本运算，求出基本量，第二空裂项求和问题，常考题。14.已知圆台的母线长为1,母线与底面所成角为θ,且.其内切球的体积为36π,则该圆台体积的取值范围为_" 方法二：.设圆台上、下底半径分别为r₁<r₂,轴截面为等腰梯形且有内切圆，切四边形性质2r₁+2r₂=l+l→r₁+r₂=l.则本题r₀=3→V=2π(I²-9),配合就能立马得到区间.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【锤子数学解析】(1)由题意知√3sinAsinC-sinCcos或(舍),∴16.(15分)2025年总台春晚无锡分会场《无锡景·家国情》节目的惊艳亮相，让无锡非遗大放异彩，火爆出圈.惠山泥人是无锡国家级非遗项目，“阿福”“阿喜”是它的代表作品.某文创工作室在春节后推出“惠山泥人非遗盲盒”系列，每个盲盒都有“阿福”“阿喜”“普通泥人”三种款式之一.随机抽取了200名购买者，调抽中“阿福”未抽中“阿福”合计男游客女游客(1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，判断“抽中‘阿福’”与“游客性别”(2)若盲盒中是“阿福”“阿喜”“普通泥人”的比例为2:2:1,某游客决定采用以下规则购买：若第一次抽中“阿福”或“阿喜”,则立即停止购买；若第一则停止购买，若第二次仍未抽中“阿喜”,则继续购买第三个盲盒，且无论结果如何都停止.记最终抽中“阿福”的个数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.α【锤子数学解析】(第一次抽中阿喜)X012P17.(15分)如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是边长为2√2的正方形，0,O₁分别为平面ABCD和平面A₁B₁C₁D₁的中心，且A₁在平面ABCD上的射影是0.(1)求证：A₁O//平面O₁CD;(2)已知AA₁>3,直线A₁B与平面BDD₁B₁所成角的正弦值为(ii)在线段A₁C₁上是否存在点F,使得平面ABF与平面BDD₁B₁夹角的余弦值为【锤子数学解析】(1)证明：连接A₁0,0C,CO₁,A₁O₁,在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，0,0₁分别为平面ABCD和平面A₁B₁C₁D₁的中点，,∴四边形A₁OCO₁为平行四边形，∴A₁O//CO∵A₁O女平面O₁CD,CO₁c平面O₁C(2)(i)如图建系，设平面x设平面BDD₁B₁的一个法向量n₁=(x,y,z)∴h=2√3(符合).(ii)C(0,2,0),假设存在这样的F,设A₁F=λA₁C₁=λAC=(0,4λ,0),λ∈[0,1]设平面ABF的一个法向量n₂=(x₂,J₂,z₂)∴存在这样的F,其中F为A₁C₁的中点.18.(17分)直角坐标系xoy中，点M到x轴的距离等于点M到点(0,2)的距离，动点M的轨迹为W.(2)点P为x轴上除坐标原点0外任意一点，过点P分别作W的两条切线，切点分别为A,B.(i)求证：直线AB过定点Q;(ii)若直线PQ与W分别交于C,D小值.【锤子数学解析】方法一：(1)设M(x,y),:|y|=√x²+(y-2)²→x²=4y-4(W的面积为的最的方程)同理切线PB方程为,它们均过P(m,0),∴直线AB即为：它过定点Q(0,2)PQ方程：=-2m=-4=0.A=4m²+16将|AB|中的m换成,令m²=t,t>0设两根t₁,t₂,对应切点A,B,∴t₁+t₂=2p,t₁t₂=-4.PQ:y联立：px²+8x-4p=0.并交于Q,如这种切点弦公式的证明，利用函数与方程思想就可以解决.第二小问这个属于抛物线中经典的结论了，你是否注意到PQ与直线AB垂直，发现这样一个结论，底下就好解决了，将直线AB和抛物线联立即可求出AB的长，接着将AB方程中的m换成-4/m,就可以直接写出CD的长，注意这里不用重复联立，底下表示出S/|PQ|即可，借助导数就可以求出其最值了.19.(17分)已知函数f(x)=(x-a)eˣ-bx²+a,a,b∈R.(2)当a=1时，若f(x)在(0,+)有一个零点，求b的取值范围；(3)设数列{x}满足x₁=1,x+1=1-e×.证明：【锤子数学解析】设y=f(x)与x轴切于P(x₀,0)→a=eˣ0代入①而eˣ≥x₀+1当且仅当x₀=0时取“=”,∴x₀=0,∴a=1f(x)在(0,+)上无零点，舍去.②当时，令f'(x)=0→x=In2b,此时f(x)在(0,In2b)上单调递减；综上：(3)由即将开始的《2026寒假线上集训》“数列导数鬼门(3)由即将开始的《2026寒假线上集训》“数列导数鬼门14招”:分析法证明：要证：只需证x₂+x₂n+2+…+x₄n-2即证：尝试证：现用归纳法证明.首先n=1时，左边=x₁=1,∴不等式成立.假设n=k时不等式成立，即下只需证：(移项平方)(移项再平方，去根号)⇔证：