2026年上海市宝山区高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年上海市宝山区高考数学二模试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.两个变量x与y之间的回归方程(

)A.表示x与y之间的函数关系

B.表示x与y之间的不确定关系

C.反映x与y之间的真实关系

D.是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合2.在△ABC中，A，B均为锐角，设甲：sinA<sinC；乙：△ABC是钝角三角形，则甲是乙的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.如图，在单位正方体ABCD−A1B1C1D1中，任作平面α与对角线AC1垂直，使平面α与正方体六条棱都有公共点，记截面A.S为定值，L为定值

B.S为定值，L不为定值

C.S不为定值，L不为定值

D.S不为定值，L为定值4.设正项数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有A≥an+1Sn，其中A∈RA.若{an}是公差为2的等差数列，则{an}是“3−数列”

B.若{an}是“2−数列”，则{an}可能为常数列

C.若{an}是“2−数列”，则不存在正整数n≥2二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知集合A={0,3}，B={0,4}，则A∪B=

．6.已cosθ=13，则cos2θ=______．7.已知i是虚数单位，复数z满足z(1+i)=2，则|z|=

．8.若n=(1,2)是直线l：ax+y−1=0的一个法向量，则实数a的值为

．9.边长为2的正方形绕其一边旋转一周，得到的几何体的体积为

．10.已知随机变量X～N(2,σ2)，且P(X≥3)=15，那么P(X≤1)=11.设a, b>0, a+12b=1，则2b+1a的最小值为12.若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2−2x+a(a∈R)，则f(−1)的值为

13.若(1+x)4(2−x)5=a014.如图，平行四边形ABCD中，AB=6，AD=2，F是BC的中点，G、E是DC的三等分点，若AE⋅FG=−15，则∠BAD=

15.已知点P、Q分别是椭圆x29+y25=1和圆(x−2)2+16.已知集合A={x|1≤x≤n,x∈Z}，S⊆A，当a、b∈S且a≠b时，都有|a−b|>2，若满足条件的集合S至少有100个，则正整数n的最小值是

．三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，E是PA的中点．

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若直线BE与平面PAC所成角的正弦值为105，求三棱锥B−PCD的体积．18.(本小题14分)

已知f(x)=logax，g(x)=2loga(2x+t−2)，(a>0,a≠1,t∈R)．

(1)若f(1)=g(2)，求t的值；

(2)当x∈[1,4]时，19.(本小题14分)

为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查.已知被调查的男、女生人数均为20n(n为正整数)，得到以下2×2列联表：男生女生合计了解10n不了解5n合计(1)调查结果显示有97.5%的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求n的值；

(2)当n=4时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人．

①从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男生的概率；②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取m(m∈N)人，然后从这10+m人中随机抽取2人.用随机变量X表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量X的数学期望值不小于12，求m的最大值．

参考公式：χ2=n(ad−bc)P(0.050.0250.0100.05k3.8415.0246.6357.87920.(本小题18分)

将以坐标原点为顶点，以x轴为对称轴，并经过点P(1,1)的抛物线记为C.作两条直线分别与抛物线C相交于点A(x1,y1)、B(x2,y2)，设PA、PB的斜率分别为kPA、kPB，且满足kPA+kPB=0．

(1)求抛物线C的标准方程；

21.(本小题18分)

已知y=f(x)和y=g(x)均为定义在R上的可导函数，且函数y=f(x)满足：f1(x)=f(x)，fn+1(x)=fn′(x)(n是正整数)．

(1)若f(x)=eax+bcosx满足f3(x)=f1(x)，求实数a、b的值；

(2)设数列{an}是无穷数列，若f(x)=x−cosx，且a1=a，an+1=f2参考答案1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】{0,3,4}

6.【答案】−77.【答案】28.【答案】129.【答案】8π

10.【答案】1511.【答案】4

12.【答案】1

13.【答案】−48

14.【答案】arccos115.【答案】5+16.【答案】12

17.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，又底面ABCD为正方形，

所以BD⊥AC，又PA∩AC=A，

所以BD⊥平面PAC；

(2)设AC∩BD=F，

由(1)可知BD⊥平面PAC，

所以直线BE与平面PAC所成角为∠BEF，

又BF=12BD=22，

所以sin∠BEF=BFBE=22BE=105，

所以BE=18.解：(1)已知f(x)=logax，g(x)=2loga(2x+t−2)(a>0,a≠1,t∈R)，

由f(1)=g(2)，代入得：loga1=2loga(2×2+t−2)．

因为loga1=0，所以2loga(t+2)=0，即loga(t+2)=0，得t+2=1，解得t=−1．

(2)由f(x)≥g(x)得logax≥2loga(2x+t−2)，

当a>1时，logax单调递增，不等式等价于x≥(2x+t−2)2，且真数2x+t−2>0，

即(2x+t−2)2≤x，且2x+t−2>0对x∈[1,4]恒成立．

由(2x+t−2)2≤x，得−x≤2x+t−2≤x，

结合2x+t−2>0，得0<2x+t−2≤x，

故t≤x−2x+2且t>2−2x对x∈[1,4]恒成立，

令h(x)=x−2x+2，x∈[1,4]，

令x=u，由x∈[1,4]，得u∈[1,2]，且x=u2，

于是h(x)=u−2u2+2=−2u2+u+2，

这是关于u的二次函数，开口向下，对称轴为u=−12×(−2)=14，

对称轴u=14在区间[1,2]的左侧，因此函数−2u2+u+2在u∈[1,2]上单调递减，

又u=x在[1,4]上单调递增，根据“同增异减”可得h(x)在x∈[1,4]上单调递减，

所以h(x)min=h(4)=2−8+2=−4，h(x)max=h(1)=1−2+2=1，

故t≤h(x)min=−4，又t>2−2x对一切x∈[1,4]恒成立，

则t需大于2−2x在[1,4]上最大值即t>0．

因为t≤−4与t>0不能同时成立．故a>1时无解，

当0<a<1时，logax单调递减，不等式等价于x≤(2x+t−2)2，且真数2x+t−2>0，

即男生女生合计了解15n10n25n不了解5n10n15n合计20n20n40n因χ2=40n×(15n×10n−5n×10n)220n×20n×25n×15n=8n3，

由题意，可知5.024<8n3<6.635，

又n∈N∗，可得n=2；

(2)①当n=4时，了解中华优秀传统文化的男生有60人，女生有40人，

则采用分层抽样时，在男生中抽取6人，女生中抽取4人，

再从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，

记“至少有2名女生被抽到”为事件A，“抽到男生”为事件B，

则P(B|A)=n(AB)n(A)=C42C61C42C61+C43=3636+4=910；

②根据题意可知这10+m人中有4人是了解中华优秀传统文化的女生，20.解：(1)由题意，设所求抛物线C的方程为：y2=mx，

点P(1,1)代入抛物线C的方程得：m=1，

所以抛物线C的标准方程为：y2=x．

(2)证明：由题意直线PA的方程可设为y−1=kPA(x−1)，

联立y−1=kPA(x−1)y2=x，代入化简得kPAy2−y+1−kPA=0，

由题意Δ>0，从而y1×yP=1−kPAkPA，即y1=1−kPAkPA，

从而x1=y12=(1−kPAkPA)2，即A((1−kPAkPA)2,1−kPAkPA)，

同理可得y2=1−kPBkPB，B((1−kPBkPB)2,1−kPBkPB)，

y1+y2=1−kPAkPA+1−kPBkPB=1kPA−1+21.解：(1)由题意可知，f2(x)=f′(x)=aeax−bsinx，

f3(x)=f2′(x)=a2eax−bcosx=f(x)=eax+bcosx，

故a2=1，b=0，

解得a=1，b=0或a=−1，b=0；

(2)存在，理由如下：

因为f(x)=x−cosx，

所以f2(x)=f′(x)=1+sinx，

所以a2=f2(a1)=f2(a)=1+sina，

若存在实数a，使得{an}是常数列，

则a2=a1，

即1+sina=a有解，

令φ(a)=a−sina−1，

则φ′(a)=1−cosa≥0，

所以φ(a)单调递增，

又因为φ(π2)=π2−2<0，φ(π)=π−1>0，

又因为φ(a)在R上连续，

所以存在a0∈(π2,π)，使得φ(a0)=0