初中数学八年级下：矩形折叠问题的深度探究教案

初中数学八年级下：矩形折叠问题的深度探究教案

一、专题解读与设计理念

1.1专题内涵与教育价值

矩形的折叠问题，本质上是“轴对称变换”在特定几何图形（矩形）上的具体应用与动态呈现。它并非单一的技巧训练，而是一个蕴含了丰富数学思想方法的综合性学习载体。本专题的教学价值体现在以下三个维度：

知识层面：它有机地串联了初中平面几何的核心知识板块，包括但不限于：全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质（勾股定理、锐角三角函数）、相似三角形的判定与性质、轴对称图形的性质、方程思想（设未知数建立等量关系）以及几何最值问题的初步渗透。学生通过解决折叠问题，是在进行一场主动的、系统化的知识检索、关联与重构。

能力层面：本专题是培养学生几何直观、空间想象能力、逻辑推理能力和数学建模能力的绝佳场域。从静态的矩形纸片到动态的折叠过程，学生需要在脑海中完成“操作—想象—抽象—表达”的思维链条，将实际操作转化为几何图形，并进一步抽象为数学模型（寻找不变量与变量，建立关系式）。

素养层面：折叠问题深刻体现了数学的“转化与化归”思想。将复杂的折叠位置关系，转化为三角形、四边形中的边角关系；将几何证明与计算问题，转化为代数方程求解问题。此外，它还渗透了“从特殊到一般”、“分类讨论”、“数形结合”等核心数学思想，是发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的有效途径。

1.2学情分析与目标设定

学习对象：八年级下学期学生。此时，学生已系统学习过三角形、全等三角形、轴对称、勾股定理、四边形（包括矩形性质与判定）等知识，具备了解决本专题问题所需的基本知识储备。但在知识综合运用、复杂图形分解、动态过程想象以及自主构建数学模型方面，仍存在较大挑战。

预设难点：

1.空间想象障碍：学生难以在二维平面图形中，准确想象并描绘出折叠前后的图形对应关系，尤其是多次折叠或折痕不平行于边的情况。

2.信息提取与整合困难：面对折叠后复杂的图形，学生容易迷失在众多线段和角中，无法快速识别出关键的轴对称全等图形、直角三角形或相似三角形。

3.模型构建能力不足：从具体问题中抽象出“等量关系”（如等线段、等角、勾股关系）并设立方程求解的能力较弱。

核心教学目标：

1.知识与技能：

1.2.深刻理解矩形折叠中的轴对称本质，能准确找出折叠前后的对应点、对应边、对应角。

2.3.熟练掌握由折叠产生的全等三角形、直角三角形等基本图形结构。

3.4.能够综合运用全等、勾股、相似、三角函数及方程思想，解决矩形折叠中涉及的求角度、求线段长、证明关系等经典问题。

4.5.初步探索折叠背景下的动态几何问题（如动点产生的线段最值）。

6.过程与方法：

1.7.经历“动手操作—观察猜想—推理论证—模型归纳”的完整探究过程。

2.8.掌握解决矩形折叠问题的通用分析策略：“找折痕（对称轴）—寻对应—构图形（全等/直角/相似）—列方程（或推理）”。

3.9.学会运用分类讨论思想处理折痕位置不确定的问题。

10.情感、态度与价值观：

1.11.在克服折叠问题的挑战中，体验数学思维的严谨性与创造性的统一。

2.12.感受几何图形运动变换中的不变之美（如长度守恒、角平分线性质等），激发对几何学的兴趣。

3.13.通过跨学科联想（如折纸艺术、工程结构），体会数学的广泛应用价值。

二、教学整体框架与资源准备

2.1教学框架结构

本专题设计为两课时连续深度探究模式。

1.第一课时：聚焦基础模型建构与核心方法提炼。从简单折叠入手，引导学生归纳解题通法，建立三种基本折叠模型。

2.第二课时：聚焦综合应用与拓展探究。处理复杂折叠、分类讨论及动态最值问题，并进行跨学科联系与反思总结。

2.2教学资源与环境

1.实物材料：每位学生准备若干张不同长宽比的矩形纸片（建议A4纸、正方形纸各一）、直尺、量角器、铅笔。

2.技术工具：几何画板（或类似动态几何软件）课件，用于动态演示折叠过程，特别是验证猜想、展示动点轨迹。多媒体投影设备。

3.学习任务单：包含系列化、梯度化的探究问题链，以及模型归纳框图、反思总结区。

三、教学实施过程详案（第一课时）

3.1情境导入，揭示本质（约10分钟）

活动设计：

1.动手预热：请学生拿出矩形纸片，随意折叠一次，形成一条折痕，然后展开。观察并思考：“在折叠这个动作前后，哪些量改变了？哪些量保持不变？”

2.分享与聚焦：学生自由发言。教师引导学生聚焦核心不变关系：折痕是对称轴；折叠前后重合的点是对称点；重合的线段是对称线段；重合的角是对称角。进而明确：折叠即轴对称变换，折痕即对称轴。

3.问题锚定：教师在黑板上画一个标准矩形ABCD（AB>AD），提出问题：“如果我们固定一个点进行折叠，例如将顶点A折叠到BC边上的某点A‘，那么折痕EF（E在AB上，F在AD上）的位置和长度能被确定吗？这其中隐藏着哪些必然的几何关系？”由此引出本课核心。

设计意图：从具身认知（亲手折叠）出发，唤醒学生对轴对称的已有认知，将生活化的“折叠”无缝衔接到数学化的“轴对称变换”，为后续抽象分析奠定坚实的经验基础和概念共识。

3.2模型探究一：一点折叠至边上（约25分钟）

核心问题：如图，矩形ABCD中，将点A折叠，使A落在BC边上的点A‘处，折痕为EF（E在AB上，F在AD上）。

1.观察与猜想：

1.2.请指出图中所有相等的线段和相等的角。

2.3.连接AA‘，猜想EF与AA’有怎样的位置关系？请用量角器或折叠验证你的猜想。

4.推理与证明：

1.5.证明：△AEF≌△A‘EF。

2.6.证明：EF垂直平分AA’。

3.7.设AB=a,BC=b,A‘B=x，试用a,b,x表示出BE、A’C、EF的长度？你找到了哪些等量关系来建立方程？

8.方法提炼：

1.9.师生共同梳理解决此问题的步骤：

1.2.10.Step1:找对称轴（折痕EF）。

2.3.11.Step2:寻对应关系（A与A‘对应，AE=A‘E,AF=A’F,∠AEF=∠A‘EF）。

3.4.12.Step3:构关键图形（识别出Rt△A’BE，利用勾股定理建立方程A‘B²+BE²=A’E²；连接AA‘后，识别出EF是AA’的中垂线）。

4.5.13.Step4:列方程求解（在Rt△A‘BE中，(A’B)²+(BE)²=(A‘E)²，且A’E=AE=AB-BE）。

6.14.教师板书核心结论：折痕垂直平分对应点连线。

设计意图：以最典型的折叠情形为例，展开深度探究。通过“猜想—验证—证明—表达”的完整流程，让学生不仅知道结论，更理解结论的来源。重点引导学生掌握从复杂图形中“拆解”出基本几何图形（全等三角形、直角三角形）的能力，并示范如何将几何条件转化为代数方程。

3.3模型探究二：线对线折叠（约20分钟）

核心问题：如图，将矩形ABCD的AD边沿折痕EF折叠，使点D落在BC边上的点D‘处。

1.类比探究：

1.2.学生尝试独立找出图中的等量关系（DE=D‘E,DF=D’F等）。

2.3.折痕EF是DD‘的垂直平分线吗？为什么？（是，由轴对称性质可得）

3.4.此情境下，除了产生全等三角形（△DEF≌△D‘EF），是否还产生了新的特殊图形？引导学生发现四边形AEFD‘可能是直角梯形，且若D’恰为BC中点，则四边形AEFD‘可能为矩形或正方形。

5.变式与挑战：

1.6.若已知AB=8，BC=10，D‘是BC的中点，求折痕EF的长度。

2.7.分析引导：此题难度提升。需要添加辅助线。引导学生思考：求EF，可将其置于哪个三角形中？目前三角形不完整，如何构造？提示：过E作EG⊥BC于G。则EF可在Rt△EGF或Rt△ED‘F中求解。关键在于求EG（=AB）和GF。GF=D’G-D‘F。D’G易求，D‘F=DF，而DF与CF、AE有关，可通过设元，在Rt△D’CF中利用勾股定理建立方程求解。

8.策略对比：

1.9.比较“模型一”和“模型二”解题思路的异同。相同点在于都运用了轴对称性质、全等三角形和勾股定理。不同点在于“模型二”的图形关系更复杂，往往需要通过设未知数，在多个直角三角形中连环使用勾股定理来建立方程组。

设计意图：从“点对点”折叠过渡到“线对线”折叠，增加复杂性。通过变式问题，引导学生遇到障碍时主动思考添加辅助线（作高）构造直角三角形，并体会“设而不求、连环方程”的代数方法在几何计算中的强大作用。强化学生的综合分析和策略选择能力。

3.4课堂小结与作业布置（约5分钟）

1.模型初构：师生共同绘制思维导图，总结本节课两大基本模型的关键特征和解题策略流程图。

2.布置作业：

1.3.基础巩固：完成学习任务单上针对两种模型的3-4道基础计算和证明题。

2.4.预习思考：如果折叠后，落点不在边上，而在矩形内部或外部，会怎样？如果折痕不过顶点呢？请尝试画图思考。

四、教学实施过程详案（第二课时）

4.1回顾迁移，引入新模型（约10分钟）

1.知识回顾：通过一道融合前两模型的简单小题，快速回顾折叠问题的核心思想与解题步骤。

2.情境升级：提出新问题——“模型三：折痕过定点”。如图，在矩形ABCD中，点E是AD上一个定点。现将矩形折叠，使点B与点D重合，且折痕恰好经过点E。请问这样的折痕存在吗？如果存在，如何确定？（用几何画板动态演示，拖动点B与D重合，观察折痕变化，当折痕经过定点E时停止）

3.问题分析：此问题中，对称点是B和D，折痕是BD的垂直平分线。问题转化为：求作BD的垂直平分线，使其经过定点E。引导学生得出：因为BD的中垂线唯一，所以它要么经过E，要么不经过。经过的条件是：点E恰好在BD的中垂线上。由此引出此模型的本质：折叠的对称点连线（BD）的中垂线（折痕）需满足特定条件（过定点或与某线交于某点）。

设计意图：将折叠问题从“已知折痕求落点”反向延伸到“已知部分落点和条件求折痕”，拓宽问题视角。引入“中垂线性质”这一更上位的几何原理，帮助学生从更高观点理解折叠问题。

4.2综合应用与分类讨论（约25分钟）

核心问题群：

1.落点在内部：矩形ABCD中，AB=6，AD=8。将△ABC沿对角线AC折叠，点B落在矩形内部的点B‘处。求重叠部分（△AFC，其中B’F是B‘C与AD的交点）的面积。

1.2.引导分析：重叠部分通常是不规则图形，常用“割补法”或“大图形面积减去小图形面积”。此题中，△AFC的面积=△ADC面积-△B‘CF面积。关键在于求△B’CF的边B‘F或CF。由折叠知△ABC≌△AB’C，得AB‘=AB=6,CB’=CB=8,∠AB‘C=90°。设B’F=x，在Rt△AB‘F和Rt△CFD中利用勾股定理建立关于x的方程。

3.分类讨论：矩形纸片ABCD，AB=4，AD=3。点E、F分别在AB、AD上。将△AEF沿EF折叠，使点A落在边BC或CD上。请问点A的落点有几种可能位置？分别求出对应折痕EF的长度。

1.4.引导分析：这是典型的分类讨论问题。关键在于确定落点A‘的可能区域。因为A’是A关于EF的对称点，且EF是折痕，所以A‘到EF的距离等于A到EF的距离。通过几何画板演示A’在BC边和CD边上移动的情况。需要分两种情况：

1.2.5.情况一：A‘落在BC上。设A’B=x，利用勾股定理在Rt△A‘BE和Rt△EFA中建立关系。

2.3.6.情况二：A‘落在CD上。设A’D=y，同理建立方程。

4.7.教师强调：分类讨论的依据是落点所在的不同边，画图时要确保每种情况都符合题意（A‘确实在边上）。

设计意图：本环节旨在提升学生的综合解题能力和思维严密性。问题1训练学生在更复杂的重叠图形中识别和利用折叠性质。问题2则重点培养分类讨论思想，要求学生不重不漏地考虑所有可能情况，并逐一计算。这是将方法应用于复杂现实情境的关键一步。

4.3拓展探究：动态折叠与最值问题（约20分钟）

高阶思维挑战：

问题：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8。点E是射线BC上的一个动点（可与C重合），连接AE。将△ABE沿AE折叠，点B落在点B‘处。

（1）当点B‘恰好落在矩形对角线AC上时，求BE的长。

（2）当点E在射线BC上运动时，求点B‘到CD边距离的最大值。

教学引导：

1.对于（1）：这是“动中取静”的问题。当B‘落在AC上时，图形具有确定性。引导学生发现，此时A、B‘、C共线，且△AB’E是由△ABE折叠而来。故AB‘=AB=6。在Rt△ABC中，AC=10，所以B’C=4。设BE=B‘E=x，则EC=8-x。在Rt△B’CE中，利用勾股定理：(B‘C)²+(EC)²=(B’E)²，即4²+(8-x)²=x²。求解即可。

2.对于（2）：这是动态几何最值问题，难度较大。教师用几何画板动态演示E点运动时B‘点的轨迹，让学生直观感受B’的运动路径（通常是一段圆弧），并猜测最大值位置。

1.3.分析：由折叠知，AB‘=AB=6（定长），A为定点。因此，点B’的运动轨迹是以A为圆心，6为半径的圆（或圆弧）。因为E在射线BC上，B‘由B折叠而来，所以B’的轨迹是该圆在矩形内部及边界上的一段弧。

2.4.问题转化：求B‘到CD边的最大距离，即求圆A上的动点B’到定直线CD的最大距离。根据“圆上一点到定直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上半径”，只需求圆心A到直线CD的距离。

3.5.计算：过A作AH⊥CD于H。AH即为平行线AB与CD间的距离，等于AD=8。因此，B‘到CD的最大距离=AH+半径AB=8+6=14。但需验证B’点是否能到达使距离为14的位置。此时B‘在AH的延长线上，且需在圆弧轨迹上。教师通过几何画板验证。

4.6.方法升华：引导学生总结解决此类动态折叠最值问题的思路：①利用折叠不变性（如定长）确定动点轨迹（圆或线段）；②将求几何最值问题转化为轨迹图形（圆）上的点到定线或定点的最值问题。

设计意图：本环节是整堂课的思维高峰。它将折叠问题从静态、确定推向动态、最值，与中考压轴题接轨。通过几何画板的直观演示和严密的逻辑分析，让学生领略到更高层次的数学思维：如何从运动变化中寻找不变关系（轨迹），如何将复杂问题转化为经典模型。这极大地拓展了学生的视野，培养了其数学建模和创造性解决问题的能力。

4.4跨学科联系与总结反思（约15分钟）

1.数学与艺术：展示埃舍尔的镶嵌艺术、现代折纸艺术中的复杂作品，指出其数学基础之一就是轴对称变换和精确的几何比例计算。折叠，是数学与艺术交汇的桥梁。

2.数学与工程：简述折叠结构在建筑（如可折叠帐篷、大型体育场馆的屋顶）、航天（太阳能帆板折叠展开）中的应用，强调对折叠过程中几何关系和力学稳定性分析的极端重要性。

3.总结反思：

1.4.请学生用一句话概括解决矩形折叠问题的“钥匙”。

2.5.师生共同完善“矩形折叠问题解决策略”全景图：

1.3.6.核心：轴对称变换。

2.4.7.不变关系：对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点连线。

3.5.8.关键图形：全等三角形、直角三角形（勾股定理、三角函数）、相似三角形。

4.6.9.重要思想：方程思想、数形结合、分类讨论、转化化归。

5.7.10.高级视角：动点轨迹（圆、线段）、几何最值。

11.终极任务布置：

1.12.设计一道属于自己的矩形折叠原创题或变式题，要求包含至少两个知识点的综合，并