中考数学测试压轴训练5

第1页（共1页）2026年菁优中考数学压轴训练5一．选择题（共10小题）1．（2025•云南模拟）若a+b＝4，则3a2+6ab+3b2﹣47的值为（）A．16 B．4 C．2 D．12．（2025•云南校级模拟）对多项式x2﹣4进行因式分解，正确的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4＝（2x+1）（2x﹣1） D．x2﹣4＝（2+x）（2﹣x）3．（2025•广西校级三模）把4x2+mx﹣3因式分解得（2x﹣1）（2x+3），则m的值为（）A．2 B．4 C．6 D．84．（2025•河北模拟）若652×11-3A．44 B．55 C．66 D．775．（2024•沧州一模）已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（）A．-32 B．-54 C．-6．（2024•益阳一模）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，取x＝50，y＝20，用上述方法产生的密码不可能是（）A．503070 B．507030 C．307040 D．7030507．（2024•江阳区校级模拟）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”，如32﹣12＝8，则8就为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是（）A．502 B．520 C．525 D．2058．（2024•冷水滩区校级模拟）如果一个整数是另一个整数的平方，那么我们就把这个整数称为“平方数”，如0，1，4，9，16…都是平方数；如果一个整数是两个整数的平方和，那么我们就把这个整数称为“亚平方数”如：0＝02+02，1＝02+12，5＝12+22，13＝22+32．所以0，1，5，13…都是亚平方数．下面关于“平方数”和“亚平方数”的结论中，错误的是（）A．任何一个平方数一定是亚平方数 B．一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数 C．两个亚平方数的积一定是一个亚平方数 D．两个亚平方数的和一定是一个亚平方数9．（2024•河南二模）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“理想数”，如：因为16＝52﹣32，所以称16为“理想数”，下面4个数中为“理想数”的是（）A．1000 B．1001 C．1002 D．100310．（2024•永昌县三模）已知实数n满足n2﹣n+1＝0，则4n3﹣5n2+5n+11的值为（）A．12 B．10 C．8 D．6二．填空题（共10小题）11．（2025•湖州一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式2x2+px+c，﹣x2+qx+c（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如表所示：二次多项式对二次多项式进行因式分解对二次多项式使用配方法2x2+px+c（2x+a）（x+b）2（x﹣m）2+k1﹣x2+qx+c（x+a）（﹣x+b）﹣（x﹣n）2+k2（说明：a，b，m，n，k1，k2均为常数）有学生探究得到以下四个结论：①若p+q＝12，则2m+6＝n；②若p＝q＝2，则c=-8③若有且只有一个x的值，使代数式2x2+px+c的值为0，则p﹣4q＝0；④若m﹣n＝2，则c的值不可能是﹣5．其中所有正确结论的序号是．12．（2025•高青县一模）若a+b＝3，ab＝2，x+y＝﹣2，则a3b+2a2b2+ab3﹣x﹣y+2005的值为．13．（2025•东港区一模）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24都是“登高数”，求不超过2024的所有“登高数”的和．14．（2025•德阳模拟）已知x2﹣2x+1+|x﹣y+3|＝0，则x＝，y＝．15．（2025•安定区一模）因式分解：a2+2ab+b2＝．16．（2024•温江区校级模拟）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，242＝576，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是；第48个平方优数是．17．（2024•临沂一模）分解因式：ax2+2a2x+a3＝．18．（2024•滕州市二模）一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，则a2b+ab2的值为．19．（2024•香坊区模拟）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a），例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3，根据以上定义，如果m，n都是“互异数”，且m+n＝100，求f（m）+f（n）＝．20．（2024•宝山区校级二模）若m2＝n+2024，n2＝m+2024（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值为．三．解答题（共5小题）21．（2023•大渡口区模拟）若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“和差数”．例如：M＝1514，∵（4+1）（4﹣1）＝15，∴1514是“和差数”．又如：M＝2526，∵（6+2）（6﹣2）＝32≠25，∴2526不是“和差数”．（1）判断2022，2046是否是“和差数”，并说明理由；（2）一个“和差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G(M)=dc，且P(M)=Mc+d．当G（M），P（22．（2022•九龙坡区校级模拟）对于任意一个四位数m，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“倍和数”、例如：m＝6132，∵6+2＝2×（1+3），∴6132是倍和数”；m＝1374，∵1+4≠2×（3+7），∴1374不是“倍和数”；（1）判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．（2）当一个“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数”m的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为T（m），记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为R（m），令G（m）=T(m)R(m)，当G（m）能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”23．（2022•市南区校级一模）【实践操作】小明在学习了八下数学课本中“因式分解”章节，用各若立体方块进行实践操作探究，【温故知新】如图，现有编号为①②③④的四种长方体各若干块，现取其中两块拼成一个大长方体如图2，据此写出一个多项式的因式分解：．【问题解决】如图，若要用这四种长方体拼成一个棱长为（x+1）的正方体，需要②号长方体个，③号长方体个，据此写出一个多项式的因式分解：．【拓展与延伸】如图3，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，据此写出a3﹣b3＝．24．（2022•李沧区二模）【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．例如：求1+2+3+4+…+n的值（其中n是正整数）．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为n(n+1)2，即1+2+3+4+⋯+n=【问题提出】求13+23+33+⋯+n3的值（其中n是正整数）．【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结合法，借助图形进行推理获得结论．探究1如图2，13可以看成1个1×1的正方形的面积，即13＝1×12＝12．探究2如图3，A表示1个1×1的正方形，其面积为：1×12＝13；B表示1个2×2的正方形，其面积为：1×22；C，D分别表示1个1×2的长方形，其面积的和为：2×1×2＝1×22；B，C，D的面积和为1×22+1×22＝（1+1）×22＝23，而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32．探究3请你类比上述探究过程，借助图形探究：13+23+33＝＝．（要求自己构造图形并写出推证过程）【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：13+23+33+⋯+n3＝＝．（要求直接写出结论，不必写出推证过程）【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：6×6×6＝63个，棱长是2的正方体有：5×5×5＝53个，…棱长是6的正方体有：1×1×1＝13个；然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为．【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么棱长为1的小正方体的个数为．【拓展探究】观察下列各式：13＝1；23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；⋯⋯若m3（m为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则m的值．25．（2022•重庆模拟）阅读理解：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．迁移应用：（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），长方形AEFG的面积是2116，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK

2026年菁优中考数学压轴训练5参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBBDBCBDAA一．选择题（共10小题）1．（2025•云南模拟）若a+b＝4，则3a2+6ab+3b2﹣47的值为（）A．16 B．4 C．2 D．1【考点】因式分解的应用．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝3（a2+2ab+b2）﹣47＝3（a+b）2﹣47，∵a+b＝4，∴原式＝3×42﹣47＝1．故选：D．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．2．（2025•云南校级模拟）对多项式x2﹣4进行因式分解，正确的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4＝（2x+1）（2x﹣1） D．x2﹣4＝（2+x）（2﹣x）【考点】因式分解﹣运用公式法．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故选：B．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．3．（2025•广西校级三模）把4x2+mx﹣3因式分解得（2x﹣1）（2x+3），则m的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】因式分解﹣十字相乘法等．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】先根据多项式乘多项式法则把（2x﹣1）（2x+3）展开，然后根据展开的结果，求出m即可．【解答】解：∵（2x﹣1）（2x+3）＝4x2+6x﹣2x﹣3＝4x2+4x﹣3，∴m的值为4，故选：B．【点评】本题主要考查了因式分解及其运用，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．4．（2025•河北模拟）若652×11-3A．44 B．55 C．66 D．77【考点】因式分解的应用．【专题】计算题；运算能力．【答案】D【分析】先将原式变形为11×23×3×53n，根据44＝22×11，55＝11×5，66＝2×3×11，可知44，55，66是11×23×3×53的因子，可使结果为整数；而77＝7×11【解答】解：原式==11×(65+35)×(65-35)=11×100×30=11×A、当n＝44时，44＝22×11，是11×23×3×53的因子，可使结果为整数，故选项A不符合题意；B、当n＝55时，55＝11×5，是11×23×3×53的因子，可使结果为整数，故选项B不符合题意；C、当n＝66时，66＝2×3×11，是11×23×3×53的因子，可使结果为整数，故选项C不符合题意；D、当n＝77时，77＝7×11，不是11×23×3×53的因子，不可使结果为整数，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键．5．（2024•沧州一模）已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（）A．-32 B．-54 C．-【考点】因式分解的应用．【专题】因式分解；应用意识．【答案】B【分析】由a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1得（a+1）2b＝a2﹣a﹣1，当a+1＝0时，不合适．当a+1≠0时，b＝（1a+1-32）2-54≥-54【解答】解：∵a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，∴b（a2+2a+1）＝a2﹣a﹣1，∴（a+1）2b＝a2﹣a﹣1，当a+1＝0时，即a＝﹣1时，左边＝0，右边＝1，左边≠右边，∴a＝﹣1舍去．当a+1≠0时，b==a＝1﹣3×＝（1a+1）2﹣3（1a+1＝（1a+1-32）2-代入选项A、C、D均不合适，故选：B．【点评】本题考查了因式分解的知识，掌握顶点式是解题关键．6．（2024•益阳一模）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，取x＝50，y＝20，用上述方法产生的密码不可能是（）A．503070 B．507030 C．307040 D．703050【考点】因式分解的应用；因式分解的意义．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】先提公因式x，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．【解答】解：∵x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），∵x＝50，y＝20，则各个因式的值为x＝50，x+y＝70，x﹣y＝30，∴产生的密码不可能是307040，故选：C．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．7．（2024•江阳区校级模拟）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”，如32﹣12＝8，则8就为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是（）A．502 B．520 C．525 D．205【考点】因式分解的应用．【专题】计算题；运算能力．【答案】B【分析】根据题意，设这两个连续奇数分别为：2n﹣1，2n+1，其中n是正整数，则“幸福数”＝8n，经过计算，只有520是8的倍数，即可得出结果．【解答】解：设这两个连续奇数分别为：2n﹣1，2n+1，其中n是正整数，∴“幸福数”＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1＝8n，A、502÷8＝62⋯⋯6，故选项A不符合题意；B、520÷8＝65，故选项B符合题意；C、525÷8＝65⋯⋯5，故选项C不符合题意；D、205÷8＝25⋯⋯5，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．8．（2024•冷水滩区校级模拟）如果一个整数是另一个整数的平方，那么我们就把这个整数称为“平方数”，如0，1，4，9，16…都是平方数；如果一个整数是两个整数的平方和，那么我们就把这个整数称为“亚平方数”如：0＝02+02，1＝02+12，5＝12+22，13＝22+32．所以0，1，5，13…都是亚平方数．下面关于“平方数”和“亚平方数”的结论中，错误的是（）A．任何一个平方数一定是亚平方数 B．一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数 C．两个亚平方数的积一定是一个亚平方数 D．两个亚平方数的和一定是一个亚平方数【考点】因式分解的应用．【专题】计算题；运算能力．【答案】D【分析】根据平方数和亚平方数的定义，运用“任何平方数与0”的和都等于这个平方数”、举反例等方法计算即可．【解答】解：A、任何一个平方数一定是亚平方数说法正确，理由如下：设一个平方数是a2，而a2＝a2+02，它一定是一个亚平方数，∴任何一个平方数一定是亚平方数；B、一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数说法正确，理由如下：设一个平方数为a2，另一个亚平方数为b2+c2（a、b、c都是整数），则a2（b2+c2）＝a2b2+a2c2＝（ab）2+（ac）2，它一定是一个亚平方数，∴一个平方数与一个亚平方数的积一定是一个亚平方数；C、两个亚平方数的积一定是一个亚平方数说法正确，理由如下：设两个亚平方数分别为a2+b2、c2+d2（a、b、c、d都是整数），则（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+2abcd+b2d2）+（a2d2﹣2abcd+b2c2）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，它一定是一个亚平方数，∴两个亚平方数的积一定是一个亚平方数；D、两个亚平方数的和一定是一个亚平方数说法错误，如：1＝02+12是亚平方数，2＝12+12是亚平方数，但1+2＝3，3不能写成两个整数的平方和，它不是一个亚平方数，故选：D．【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握平方数和亚平方数的定义是解题的关键．9．（2024•河南二模）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“理想数”，如：因为16＝52﹣32，所以称16为“理想数”，下面4个数中为“理想数”的是（）A．1000 B．1001 C．1002 D．1003【考点】因式分解的应用．【专题】计算题；运算能力．【答案】A【分析】先设两个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1（n为整数），则有（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，即“理想数”能被8整除，分别计算并验证即可．【解答】解：设两个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1（n为整数），则有（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1＝8n，∴“理想数”能被8整除，∵1000÷8＝125，1001÷8＝125⋯1，1002÷8＝125⋯2，1003÷8＝125⋯3，∴1000是“理想数”，故选：A．【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．10．（2024•永昌县三模）已知实数n满足n2﹣n+1＝0，则4n3﹣5n2+5n+11的值为（）A．12 B．10 C．8 D．6【考点】因式分解的应用．【专题】整体思想；运算能力．【答案】A【分析】由n2﹣n+1＝0，可得n2﹣n＝﹣1，把所给代数式整理成4n3﹣4n2﹣n2+5n+11，把前两项提取4n，得到含n2﹣n的式子，把n2﹣n＝﹣1整体代入后继续整理，化简，再整体代入计算即可．【解答】解：4n3﹣5n2+5n+11＝4n3﹣4n2﹣n2+5n+11＝4n（n2﹣n）﹣n2+5n+11＝﹣4n﹣n2+5n+11＝n﹣n2+11＝﹣（n2﹣n）+11＝1+11＝12．故选：A．【点评】本题考查因式分解的应用．关键是把等式中含字母的项看成一个整体，得到这个整体的值．难点是把所给等式整理成和等式中含字母的项有关的式子．二．填空题（共10小题）11．（2025•湖州一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式2x2+px+c，﹣x2+qx+c（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如表所示：二次多项式对二次多项式进行因式分解对二次多项式使用配方法2x2+px+c（2x+a）（x+b）2（x﹣m）2+k1﹣x2+qx+c（x+a）（﹣x+b）﹣（x﹣n）2+k2（说明：a，b，m，n，k1，k2均为常数）有学生探究得到以下四个结论：①若p+q＝12，则2m+6＝n；②若p＝q＝2，则c=-8③若有且只有一个x的值，使代数式2x2+px+c的值为0，则p﹣4q＝0；④若m﹣n＝2，则c的值不可能是﹣5．其中所有正确结论的序号是①④．【考点】因式分解的应用．【专题】整式；推理能力．【答案】①④．【分析】由题意易得p＝a+2b，c＝ab，q＝b﹣a，m=-p4，k1=c-p【解答】解：∵2x（2x+a）（x+b）＝2x2+（a+2b）x+ab，-x（x+a）（﹣x+b）＝﹣x2+（b﹣a）x+ab，∴p＝a+2b，c＝ab，q＝b﹣a，m=-p4，k1=c-p①∵m=-p∴2m+6=2×(-p∵p+q＝12，∴q＝12﹣p，∴q2∴2m+6＝n；故正确；②∵p＝q＝2，∴a+2b=2b-a=2解得：a=-2∴c=ab=-2③由题意可知：当2x2+px+c＝0时，方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣8c＝（a+2b）2﹣8ab＝（a﹣2b）2＝0，∴a＝2b，∴p＝4b，q＝﹣b，∴p﹣4q＝4b﹣4×（﹣b）＝8b≠0；故错误；④当m﹣n＝2，即-p∴p+2q＝﹣8，∴a+2b+2（b﹣a）＝4b﹣a＝﹣8，∴a＝4b+8，∴c＝ab＝b（4b+8）＝4b2+8b＝4（b+1）2﹣4，∵4（b+1）2≥0，∴c＝4（b+1）2﹣4≥﹣4，∴c的值不可能是﹣5，说法正确；综上所述：正确的结论有①④；故答案为：①④．【点评】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌探配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键．12．（2025•高青县一模）若a+b＝3，ab＝2，x+y＝﹣2，则a3b+2a2b2+ab3﹣x﹣y+2005的值为2025．【考点】因式分解的应用．【专题】计算题；运算能力．【答案】2025．【分析】利用因式分解解答．【解答】解：∵a+b＝3，ab＝2，x+y＝﹣2，∴a3b+2a2b2+ab3﹣x﹣y+2005＝ab（a2+2ab+b2）﹣（x+y）+2005＝ab（a+b）2﹣（x+y）+2005＝2×32﹣（﹣2）+2005＝2×9+2+2005＝20+2005＝2025．故答案为：2025．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．13．（2025•东港区一模）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24都是“登高数”，求不超过2024的所有“登高数”的和257048．【考点】因式分解的应用．【专题】整式；运算能力．【答案】257048．【分析】根据登高数的定义，设两个连续的正奇数分别是2n+1、2n﹣1（n≥1），登高数表示为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，可得有8n≤2024，得n≤253，求出最大的两个奇数分别是507、505，不超过2024的所有“登高数”的和是：32﹣12+52﹣32+72﹣52+……+5052﹣5032+5072﹣5052，求出结果即可．【解答】解：设两个连续的正奇数分别是2n+1、2n﹣1（n≥1），所以有：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1＝8n，有8n≤2024，得n≤253，因为n是正整数，当n＝253时，2n+1＝2×253+1＝507，2n﹣1＝2×253﹣1＝505，不超过2024的所有“登高数”的和是：32﹣12+52﹣32+72﹣52+……+5052﹣5032+5072﹣5052＝5072﹣12＝257048．故答案为：257048．【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据“登高数”得定义，列式计算．14．（2025•德阳模拟）已知x2﹣2x+1+|x﹣y+3|＝0，则x＝1，y＝4．【考点】因式分解﹣运用公式法；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【答案】见试题解答内容【分析】根据完全平方公式，可得非负数的和为零，再根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零．【解答】解：原方程等价于（x﹣1）2+|x﹣y+3|＝0，得x-1=0x-y+3=0解得x=1y=4故答案为：1，4．【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．15．（2025•安定区一模）因式分解：a2+2ab+b2＝（a+b）2．【考点】因式分解﹣运用公式法．【专题】因式分解；整式；运算能力．【答案】（a+b）2．【分析】用完全平方公式进行因式分解．【解答】解：a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案为：（a+b）2．【点评】本题考查因式分解﹣用公式法，关键是掌握完全平方公式．16．（2024•温江区校级模拟）定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“平方优数”．例如，242＝576，那么24是平方优数，若将平方优数从小到大排列，则第3个平方优数是26；第48个平方优数是589．【考点】因式分解的应用；完全平方公式．【专题】因式分解；运算能力．【答案】26，589．【分析】令a1，a2，...，ai，...，是平方优数，且a1＜a2＜...＜ai...，由题可知，最小的平分优数为11，即a1＝11，由定义可知，一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，设n＝m+a1，即n2＝（m+a1）2＝m2+2ma1+a12，m2+2ma1为100的倍数，则m＝【解答】解：令a1，a2，...，ai，...，是平方优数，且a1＜a2＜...＜ai...，由题可知，最小的平分优数为11，即a1＝11，由定义可知，一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，设n＝m+a1，即n2＝（m+a1）2＝m2+2ma1+a∵a12∵n是平方优数，则n2的十位数字比个位大1，∴m2+2ma1为100的倍数，则m＝50k，2500k2+100ka1+a12=（25k2+ka1）×100∴n2＝（50k+a1）2，即50k+a1是平方优数，同理，50k+a2，50k+a3，...，是平方优数，根据定义可得：112＝121，242＝576，262＝676，392＝1521，∴a1＝11，a2＝24，a3＝26，a4＝39，∴a4k+1＝50k+11，...，a4k+4＝50k+39，a48＝a4×11+4＝50×11+39＝589．故答案为：26，589．【点评】本题考查了因式分解的应用，新定义，完全平方公式的应用，解题关键在于读懂题意，理解新定义．17．（2024•临沂一模）分解因式：ax2+2a2x+a3＝a（x+a）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题；因式分解．【答案】见试题解答内容【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝a（x2+2ax+a2）＝a（x+a）2，故答案为：a（x+a）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．（2024•滕州市二模）一个长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，则a2b+ab2的值为35．【考点】因式分解﹣提公因式法；列代数式．【专题】整式；运算能力．【答案】35．【分析】利用长方形的性质得出a+b和ab的值，进而将原式变形得出答案．【解答】解：∵长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为5，∴2（a+b）＝14，ab＝5，故a+b＝7，ab＝5，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝5×7＝35．故答案为：35．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．19．（2024•香坊区模拟）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为0，那么称这个两位数为“互异数”，将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a），例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3，根据以上定义，如果m，n都是“互异数”，且m+n＝100，求f（m）+f（n）＝19．【考点】因式分解的应用．【专题】因式分解；运算能力．【答案】19．【分析】设m＝10x+y，则n＝10（9﹣x）+（10﹣y），然后根据f（a）的定义计算f（m）+f（n）的值．【解答】解：∵m，n都是“互异数”，且m+n＝100，∴设m＝10x+y，则n＝10（9﹣x）+（10﹣y），∴f（m）+f（n）=10x+y+10y+x=10x+y+10y+x=11x+11y＝x+y+19﹣x﹣y＝19，故答案为：19．【点评】本题考查的是因式分解的应用，理解新定义及其运算方法是解题的关键．20．（2024•宝山区校级二模）若m2＝n+2024，n2＝m+2024（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值为﹣2024．【考点】因式分解的应用．【专题】计算题；运算能力．【答案】﹣2024．【分析】根据m2＝n+2024，n2＝m+2024（m≠n），可得m+n＝﹣1，m2﹣n＝2024，n2﹣m＝2024，再将其代入原式计算即可．【解答】解：∵m2＝n+2024，n2＝m+2024（m≠n），∴m2﹣n2＝n﹣m，即（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，∵m≠n，∴m+n＝﹣1，∵m2＝n+2024，n2＝m+2024，∴m2﹣n＝2024，n2﹣m＝2024原式＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）＝2024m+2024n＝2024（m+n）＝﹣2024，故答案为：﹣2024．【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．三．解答题（共5小题）21．（2023•大渡口区模拟）若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“和差数”．例如：M＝1514，∵（4+1）（4﹣1）＝15，∴1514是“和差数”．又如：M＝2526，∵（6+2）（6﹣2）＝32≠25，∴2526不是“和差数”．（1）判断2022，2046是否是“和差数”，并说明理由；（2）一个“和差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G(M)=dc，且P(M)=Mc+d．当G（M），P（【考点】因式分解的应用；列代数式．【专题】新定义；整式；运算能力．【答案】（1）2022不是“和差数”，2046是“和差数”；（2）满足条件的M为1224或2736或4848或6318．【分析】（1）根据新定义判断即可；（2）由M是“和差数”，可得（d+c）（d﹣c）＝10a+b，故M＝1000a+100b+10c+d＝100（d+c）（d﹣c）+10c+d，可得P(M)=Mc+d=100（d﹣c）+1+9cc+d，从而9cc+d是整数，设d＝mc（m为整数且m≠0），即知91+m是整数，m＝2或m＝8，再根据1≤c≤9，1≤【解答】解：（1）∵（2+2）×（2﹣2）＝0≠20，∴2022不是“和差数”，∵（6+4）×（6﹣4）＝20，∴2046是“和差数”；（2）∵M是“和差数”，∴（d+c）（d﹣c）＝10a+b，∴100（d+c）（d﹣c）＝1000a+100b，∴M＝1000a+100b+10c+d＝100（d+c）（d﹣c）+10c+d，∴P(M)=Mc+d=100(d+c)(d-c)+10c+dc+d=100（d∵P（M）是整数，∴9cc+d由G（M）=dc是整数可知d≥设d＝mc（m为整数且m≠0）可得：9cc+d∴91+m∴m＝2或m＝8，当m＝2时，①若c＝1，则d＝2，此时（d+c）（d﹣c）＜10，不符合题意；②若c＝2，则d＝4，a＝1，b＝2，此时M＝1224；③若c＝3，则d＝6，a＝2，b＝7，此时M＝2736；④若c＝4，则d＝8，a＝4，b＝8，此时M＝4848；⑤若c＝5，则d＝10，此时不符合题意；当m＝8时，若c＝1，则d＝8，a＝6，b＝3，此时M＝6318；若c＝2，则d＝16，此时不符合题意；综上所述，满足条件的M为1224或2736或4848或6318．【点评】本题考查因式分解的应用，涉及新定义，整除性等知识，解题的关键是用含c，d的代数式表示M．22．（2022•九龙坡区校级模拟）对于任意一个四位数m，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“倍和数”、例如：m＝6132，∵6+2＝2×（1+3），∴6132是倍和数”；m＝1374，∵1+4≠2×（3+7），∴1374不是“倍和数”；（1）判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．（2）当一个“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数”m的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为T（m），记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为R（m），令G（m）=T(m)R(m)，当G（m）能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”【考点】因式分解的应用；列代数式．【专题】阅读型；创新意识．【答案】1137.1317.7131.7311【分析】根据新概念判断即可【解答】（1）m＝1047，∵1+7＝2×（0+4），∴1047是0”倍和数“m＝4657，∵4+7≠2×（6+5），∴4657不是”倍和数“（2）设“倍和数”m=ab(4-b)(8-a)，（其中1≤a≤8，0≤b≤4且a，b∴F（m）＝|2a﹣8|，R（m）＝|2b﹣4|，G（m）=T(m)∵m千位数上的数字与个位上的数不相等，∴a≠4，∵G（m）能被3整除，∴G（m）=|a-4||b-2|=3k∴|a-4|3=k|b﹣∵1≤a≤8，∴0＜|a﹣4|≤4，∴|a﹣4|＝3，∴a＝1或7，∴K|b﹣2|＝1，∴|b﹣2|＝1，∴b＝1或3，故满足条件的所有“倍和数”m为：1137，1317，7131，7311【点评】本题考查了代数式中的新题型，结合概念的整除即可解答23．（2022•市南区校级一模）【实践操作】小明在学习了八下数学课本中“因式分解”章节，用各若立体方块进行实践操作探究，【温故知新】如图，现有编号为①②③④的四种长方体各若干块，现取其中两块拼成一个大长方体如图2，据此写出一个多项式的因式分解：x3+x2＝x2（x+1）．【问题解决】如图，若要用这四种长方体拼成一个棱长为（x+1）的正方体，需要②号长方体3个，③号长方体3个，据此写出一个多项式的因式分解：x3+3x2+3x+1＝（x+1）3．【拓展与延伸】如图3，在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，据此写出a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．【考点】因式分解的应用；展开图折叠成几何体；因式分解的意义．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）x3+x2＝x2（x+1）；（2）3，3，x3+3x2+3x+1＝（x+1）3；（3）（a﹣b）（a2+ab+b2）．【分析】（1）根据体积不变求解；（2）根据多项式乘以多项式得出结果，再根据正方体的体积求解；（3）由图可知切成的三部分分别是底面积为a2，ab，b2且高均为（a﹣b）的正方体，根据前后体积相等可解答；【解答】解：（1）x3+x2＝x2（x+1），故答案为：x3+x2＝x2（x+1）；（2）∵（x+1）（x+1）（x+1）＝（x2+2x+1）（x+1）＝x3+x2+2x2+2x+x+1＝x3+3x2+3x+1故答案为：3，3，x3+3x2+3x+1＝（x+1）3；（3）切割后的三个长方体体积分别是a2（a﹣b），ab（a﹣b）和b2（a﹣b），∴a3﹣b3＝a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2），a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）．【点评】本题考查了因式分解的应用和展开图折叠成几何体，用代数式表示图形体积及数形结合思想是解决问题的关键．24．（2022•李沧区二模）【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．例如：求1+2+3+4+…+n的值（其中n是正整数）．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为n(n+1)2，即1+2+3+4+⋯+n=【问题提出】求13+23+33+⋯+n3的值（其中n是正整数）．【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结合法，借助图形进行推理获得结论．探究1如图2，13可以看成1个1×1的正方形的面积，即13＝1×12＝12．探究2如图3，A表示1个1×1的正方形，其面积为：1×12＝13；B表示1个2×2的正方形，其面积为：1×22；C，D分别表示1个1×2的长方形，其面积的和为：2×1×2＝1×22；B，C，D的面积和为1×22+1×22＝（1+1）×22＝23，而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝（1+2）2＝32．探究3请你类比上述探究过程，借助图形探究：13+23+33＝（1+2+3）2＝62．（要求自己构造图形并写出推证过程）【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：13+23+33+⋯+n3＝（1+2+3+•••+n）2＝．（要求直接写出结论，不必写出推证过程）【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：6×6×6＝63个，棱长是2的正方体有：5×5×5＝53个，…棱长是6的正方体有：1×1×1＝13个；然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为441．【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么棱长为1的小正方体的个数为6859．【拓展探究】观察下列各式：13＝1；23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；⋯⋯若m3（m为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则m的值m≥45．【考点】因式分解的应用；几何体的展开图；近似数和有效数字；规律型：图形的变化类．【专题】探究型；几何直观；推理能力．【答案】解：探究3，（1+2+3）2，62，理由：如图，A表示1个1×1的正方形，其面积为：1×12＝13；B，C，D的面积和为1×22+1×22＝（1+1）×22＝23；E，F，G，H，I的面积和为1×32+2×32＝（1+2）×32＝33，而A，B，C，D，E，F，G，H，I恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形．由此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62．【结论归纳】（1+2+3+•••+n）2，．【结论应用】441．【逆向应