中考数学代数式测试复习

第1页（共1页）2026年菁优中考数学解密之代数式一．选择题（共10小题）1．（2025•重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（）A．32 B．28 C．24 D．202．（2025•重庆）已知整式M：a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，其中a0为自然数，n，a1，a2，⋯，an为正整数，且a0+a1+⋯+an＝4．下列说法：①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1；③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2025•道外区三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（）A．C12H24 B．C12H25 C．C12H26 D．C12H284．（2025•渝中区校级二模）如图，小巴用同样大小的黑色棋子摆放“中”字，其中第①个图形中有10颗棋子，第②个图形中有14颗棋子，第③个图形中有18颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图形中，棋子的个数为（）A．30 B．32 C．34 D．365．（2025•北碚区模拟）蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计，如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，…，按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（）A．59 B．67 C．75 D．966．（2025•祥云县模拟）有一组单项式依次为a，-2a2，3a3A．﹣100a100 B．100a100 C．﹣10a100 D．10a1007．（2025•新余校级模拟）下列式子计算正确的是（）A．a2+a2＝a4 B．3xy2﹣2xy2＝1 C．3ab﹣2ab＝ab D．（﹣2）3﹣（﹣3）2＝﹣18．（2025•新余校级模拟）如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的右上端剪去一个直径为1的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪去的半圆的半径）得到图形P3，P4，…，Pn…，记纸板Pn的面积为Sn，则Sn﹣Sn+1的值为（）A．(12)nπC．(12)2n+19．（2025•云南模拟）按一定规律排列的代数式：ab2，2ab4，3ab6，2ab8，5aA．nab2(n+1) BC．n+1ab2n 10．（2025•遵义模拟）近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为m元，现打九折，再让利n元，那么该手机现在的售价为（）A．(109m-n)元 B．C．（9m﹣n）元 D．（9n﹣m）元二．填空题（共10小题）11．（2025•南岗区校级模拟）如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为个．12．（2025•碑林区校级三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种甲烷CH4如图①有4个氢原子，第2种乙烷C2H6如图②有6个氢原子，第3种丙烷C3H8如图③有8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是．13．（2025•安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m=n3；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为；（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为．14．（2025•湖北模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的正六边形组成，第1个图案中有5个正六边形，第2个图案中有8个正六边形，第3个图案中有11个正六边形……按此规律，第60个图案中正六边形的个数为个．15．（2025•南关区校级二模）由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第n个图案需要根火柴棒．16．（2025•河南校级三模）已知代数式x2+2y的值为2，则3x2+6y﹣1的值是．17．（2025•济宁校级三模）现有一列数：a1＝2，a2，a3，a4，•••，an﹣1，an（n为正整数），规定a1＝2，a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，•••，an﹣an﹣1＝2n（n≥2），若1a2+1a3+1a18．（2025•蓬江区校级一模）有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯子叠放在一起高度是cm（用含n的式子表示）．19．（2025•白河县校级二模）2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形…按此规律拼接下去，第n个图案中需要个基本图形．（用含n的代数式表示）20．（2025•费县一模）有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，﹣2，10，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，﹣14，﹣2，12，10，继续依次操作下去，问：从数串5，12，10，开始操作第2025次以后所产生的那个新数串的所有数之和是．三．解答题（共5小题）21．（2025•镜湖区校级二模）【观察思考】如图所示【规律发现】（1）第5个图案中，“▲”的个数为；（2）第n个图案中，“★”的个数可表示为；【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．22．（2025•东莞市校级三模）为美化市容，某广场用规格为10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．【观察思考】图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．【规律总结】（1）图5灰砖有块，白砖有块；图n灰砖有块，白砖有块；【问题解决】（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，请通过计算说明你的理由．23．（2025•龙子湖区三模）杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．行数系数展开式n＝11（a+b）0＝1n＝211（a+b）1＝a+bn＝3121（a+b）2＝a2+2ab+bn＝41331（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3…呈现的是杨辉三角的部分数据，根据图中蕴含的规律，解答下列问题：（1）在杨辉三角中，从左边数第7行第3个数是；（2）当n＞3时，在系数中，从左边数第n行第3个数是（用含n的式子表示）；（3）（a+b）n展开后各项的系数和为（用含n的式子表示）．24．（2025•安庆模拟）【观察思考】第1个等式：1+1第2个等式：1+1第3个等式：1+1第4个等式：1+【规律发现】（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式1+11+2+⋯+11+2+⋯+n【规律应用】（3）应用规律计算：11+2+⋯+1025．（2025•包河区三模）【问题提出】因式分解：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2⋯+x（1+x）n﹣1+x（1+x）n【问题探究】为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解：①（1+x）+x（1+x）＝（1+x）（1+x）＝（1+x）2②由①知（1+x）+x（1+x）＝（1+x）2，继续添加下一项得：（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3（1）仿照②，把代数式（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3进行因式分解．【发现规律】（2）推广到一般形式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2⋯+x（1+x）n﹣1+x（1+x）n＝；【问题解决】（3）化简：a+a（1+2）+a（1+2）2+a（1+2）3+⋯+a（1+2）2025＝．

2026年菁优中考数学解密之代数式参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CCCCBCCCBB一．选择题（共10小题）1．（2025•重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（）A．32 B．28 C．24 D．20【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型．【答案】C【分析】第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n＝6计算即可．【解答】解：第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，第④个图案中有16个黑色圆点，…，则第n个图案中有4n个黑色圆点，所以第⑥个图中圆点的个数是4×6＝24个，故选：C．【点评】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律．2．（2025•重庆）已知整式M：a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，其中a0为自然数，n，a1，a2，⋯，an为正整数，且a0+a1+⋯+an＝4．下列说法：①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1；③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】规律型：数字的变化类；整式的加减．【专题】规律型．【答案】C【分析】根据题意逐项分析，对a0进行分类讨论，即可求解．【解答】解：当n＝1时，a0+a1＝4，当a0＝0，a1＝4时，整式M为4x，当a0＞0时，整式M不可能为单项式，当n＞1时，∵a1，a2，…，an为正整数，∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；当n＝3时，a0+a1+a2+a3＝4，当a0＝0时，a1+a2+a3＝4，则a1，a2，a3中有一个可能为2，故会有三种情况，对应的整式M为x+x2+2x3，x+2x2+x3，2x+x2+x3，当a0＝1时，a1+a2+a3＝3，则a1＝a2＝a3＝1，故会有一种情况，对应的整式M为1+x+x2+x3，当a0＞1时，a1+a2+a3＜3，与a1，a2，…，an为正整数矛盾，故不存在，∴满足条件的所有整式M的和为5x3+5x2+5x+1，故②错误；∵多项式为二次三项式，∴n＝2，∴a0+a1+a2＝4，因为多项式为三项式，故a0≠0，当a0＝1时，a1+a2＝3，则有1+x+2x2，1+2x+x2两种，∵1+x+2x2＝2（x+14)2+78＞0，1+2x+x2∴1+x+2x2，1+2x+x2两种都满足条件，当a0＝2时，a1+a2＝2，则有2+x+x2一种，∵2+x+x∴2+x+x2满足条件，当a0＞2时，a1+a2＜2与a1，a2，…，an为正整数矛盾，故不存在，所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，其中正确的个数是2个，故选：C．【点评】本题综合考查了整式与配方法理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．3．（2025•道外区三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（）A．C12H24 B．C12H25 C．C12H26 D．C12H28【考点】规律型：图形的变化类．【专题】推理填空题；推理能力．【答案】C【分析】由甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，总结规律得十二烷的化学式为C12H2+2×12，即C12H26．【解答】解：由甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，得十二烷的化学式为C12H2+2×12，即C12H26．故选：C．【点评】本题主要考查了找规律，解题关键是正确找到规律并应用．4．（2025•渝中区校级二模）如图，小巴用同样大小的黑色棋子摆放“中”字，其中第①个图形中有10颗棋子，第②个图形中有14颗棋子，第③个图形中有18颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图形中，棋子的个数为（）A．30 B．32 C．34 D．36【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】C【分析】观察图形可得前4个图形中棋子个数的规律，进而求解即可．【解答】解：第①个图有10个棋子，第②个图有14个棋子，第③个图有18个棋子，第④个图有22个棋子，……，∴第⑦个图形中棋子的个数为4×7+6＝34个棋子．故选：C．【点评】本题主要考查了图形类的规律探索，发现规律是关键．5．（2025•北碚区模拟）蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计，如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，…，按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（）A．59 B．67 C．75 D．96【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】B【分析】根据所给图形，依次求出图形中小棒的根数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，第①个图案所用小棒的根数为：11＝1×8+3；第②个图案所用小棒的根数为：19＝2×8+3；第③个图案所用小棒的根数为：27＝3×8+3；…，所以第n个图案所用小棒的根数为（8n+3）根．当n＝8时，8n+3＝8×8+3＝67（根），所以第⑧个图案所用小棒的根数为67根．故选：B．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小棒的根数依次增加8是解题的关键．6．（2025•祥云县模拟）有一组单项式依次为a，-2a2，3a3A．﹣100a100 B．100a100 C．﹣10a100 D．10a100【考点】规律型：数字的变化类；单项式．【专题】规律型；运算能力．【答案】C【分析】根据题意，可以发现第n个单项式的规律为(-1)n+1【解答】解：第1个单项式为a＝（﹣1）1+1a1，第2个单项式为-2第3个单项式为3a第4个单项式为-2a……，∴第n个单项式为(-1)n+1∴第100个单项式是(-1)100+1故选：C．【点评】本题考查了单项式规律题，算术平方根，理解题意找到式子的规律是解题的关键．7．（2025•新余校级模拟）下列式子计算正确的是（）A．a2+a2＝a4 B．3xy2﹣2xy2＝1 C．3ab﹣2ab＝ab D．（﹣2）3﹣（﹣3）2＝﹣1【考点】合并同类项；有理数的混合运算．【专题】实数；整式；运算能力．【答案】C【分析】根据同类项的含义以及合并同类项的法则逐一分析判断即可．【解答】解：A．a2+a2＝2a2，故A不符合题意；B.3xy2﹣2xy2＝xy2，故B不符合题意；C.3ab﹣2ab＝ab，运算正确，故C符合题意；D．（﹣2）3﹣（﹣3）2＝﹣8﹣9＝﹣17，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是合并同类项，有理数的混合运算，掌握“合并同类项的法则”是解本题的关键．8．（2025•新余校级模拟）如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的右上端剪去一个直径为1的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪去的半圆的半径）得到图形P3，P4，…，Pn…，记纸板Pn的面积为Sn，则Sn﹣Sn+1的值为（）A．(12)nπC．(12)2n+1【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；推理能力．【答案】C【分析】根据题意可得S1=12π×12=12π，进而可得S2，发现规律可得Sn﹣【解答】解：根据题意得，n≥2．S1=12π×12=S2=12π-12π×（…，Sn=12π-12π×（12）2-12π×[（12）2]2-⋯-12πSn+1=12π-12π×（12）2-12π×[（12）2]2-⋯-12π×[（12）n﹣1]∴Sn﹣Sn+1=12π×（12）2n＝（12）2故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据圆的面积公式表示出Sn、Sn+1的面积的表达式．9．（2025•云南模拟）按一定规律排列的代数式：ab2，2ab4，3ab6，2ab8，5aA．nab2(n+1) BC．n+1ab2n 【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】B【分析】通过观察排列的单项式可以看出，其系数都是连续奇数的算术平方根；字母指数都是连续的偶数，根据此规律可以得出第n个代数式．【解答】解：通过观察排列的单项式可以看出：第n个代数式为na故选：B．【点评】本题考查了根据单项式排列的规律，求未知单项式，解题的关键是找出变化规律，然后把这种变化规律用代数式的序号表示出来．10．（2025•遵义模拟）近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为m元，现打九折，再让利n元，那么该手机现在的售价为（）A．(109m-n)元 B．C．（9m﹣n）元 D．（9n﹣m）元【考点】列代数式．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】根据题意可得打九折后手机的价格为910m元，故再让利n元后，手机的售价为【解答】解：让利后手机的售价为：(9故选：B．【点评】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式是关键．二．填空题（共10小题）11．（2025•南岗区校级模拟）如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为40个．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】40．【分析】由题意可知第1个图案有小黑点3×1＝3个；第2个图案有小黑点4×（2﹣1）＝4个；第3个图案有小黑点5×（3﹣1）＝10个；第4个图案有小黑点6×（4﹣1）＝18个；……；第n个图案有小黑点（n+2）（n﹣1）个（除第一个图案外）；然后问题可求解．【解答】解：第1个图案有小黑点3个；第2个图案有小黑点4个；第3个图案有小黑点10个；第4个图案有小黑点18个；……；∴第n个图案有小黑点（n+2）（n﹣1）个（除第一个图案外）；∴第6个图案中的小黑点个数为（6+2）×（6﹣1）＝40（个）；故答案为：40．【点评】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是找出图形的一般规律．12．（2025•碑林区校级三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种甲烷CH4如图①有4个氢原子，第2种乙烷C2H6如图②有6个氢原子，第3种丙烷C3H8如图③有8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是18．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】18．【分析】根据所给图形，依次求出化合物分子结构模型中的氢原子个数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4＝1×2+2；第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6＝2×2+2；第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8＝3×2+2；…，所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为（2n+2）个．当n＝8时，2n+2＝2×8+2＝18（个），即第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为18个．故答案为：18．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．13．（2025•安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则m=n3；若余数为1，则m＝2n；若余数为2，则m＝n+1．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数n＝4，根据4除以3的余数为1，由4×2＝8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1＝9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3＝3知，对4进行三次变换得到的数为（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为2；（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为11．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型；推理能力．【答案】（1）2；（2）11．【分析】（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数；（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或12或0，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n【解答】解：（1）∵15÷3＝5…0，∴15进行一次变换后得到的数为153∵5÷3＝1…2，∴15进行二次变换后得到的数为5+1＝6；∵6÷3＝2…0，∴15进行三次变换后得到的数为2，故答案为：2；（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为1×3＝3，此时符合题意；当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为12当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为1﹣1＝0，此时不符合题意；综上所述，第一次变换后所得的数为3，当n除以3的余数为0时，则n＝3×3＝9，符合题意；当n除以3的余数为1时，则n=3当n除以3的余数为2时，则n＝3﹣1＝2，符合题意；∴符合题意的n的值是9或2，∴所有满足条件的n的值之和为2+9＝11，故答案为：11．【点评】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．14．（2025•湖北模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的正六边形组成，第1个图案中有5个正六边形，第2个图案中有8个正六边形，第3个图案中有11个正六边形……按此规律，第60个图案中正六边形的个数为182个．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】182．【分析】根据所给图形，依次求出图形中正六边形的个数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，第1个图案中正六边形的个数为5＝1×3+2，第2个图案中正六边形的个数为8＝2×3+2，第3个图案中正六边形的个数为11＝3×3+2，…，所以第n个图案中正六边形的个数为（3n+2）个．当n＝60时，3n+2＝3×60+2＝182（个），即第60个图案中正六边形的个数为182个．故答案为：182．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正六边形的个数依次增加3是解题的关键．15．（2025•南关区校级二模）由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第n个图案需要（2n+1）根火柴棒．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】（2n+1）．【分析】根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题．【解答】解：由所给图形可知，第1图案所需火柴棒的根数为：3＝1×2+1；第2图案所需火柴棒的根数为：5＝2×2+1；第3图案所需火柴棒的根数为：7＝3×2+1；…，所以第n图案所需火柴棒的根数为（2n+1）根．故答案为：（2n+1）．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加2是解题的关键．16．（2025•河南校级三模）已知代数式x2+2y的值为2，则3x2+6y﹣1的值是5．【考点】代数式求值．【专题】计算题；整体思想；整式；运算能力．【答案】5．【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可．【解答】解：当x2+2y＝2时，原式＝3（x2+2y）﹣1＝3×2﹣1＝5．故答案为：5．【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值．17．（2025•济宁校级三模）现有一列数：a1＝2，a2，a3，a4，•••，an﹣1，an（n为正整数），规定a1＝2，a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，•••，an﹣an﹣1＝2n（n≥2），若1a2+1a3+1【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型；运算能力．【答案】98．【分析】先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出an的通项公式：an＝n（n+1），再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出n的值．【解答】解：∵a1＝2，a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，•••，an﹣an﹣1＝2n（n≥2），∴a1+a2﹣a1+a3﹣a2+⋯+an﹣an﹣1＝2+4+6+⋯+2n，∴an∴1a2=12×3=1∴1a∴12∴1n+1∴n＝98，经检验，n＝98是原分式方程的解，∴n＝98，故答案为：98．【点评】本题考查了解分式方程，通过错项相加法得到an＝n（n+1）是解题的关键．18．（2025•蓬江区校级一模）有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯子叠放在一起高度是2n+8cm（用含n的式子表示）．【考点】列代数式．【专题】整式；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加2cm，从而可以得到n个杯子叠在一起的高度．【解答】解：由图可得，每增加一个杯子，高度增加2cm，则n个这样的杯子叠放在一起高度是：10+2（n﹣1）＝（2n+8）（cm）．故答案为：2n+8．【点评】本题考查用代数式表示图形的规律，解答本题的关键是探究出规律，列出相应的代数式．19．（2025•白河县校级二模）2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形…按此规律拼接下去，第n个图案中需要（2n+2）个基本图形．（用含n的代数式表示）【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．【专题】规律型；运算能力．【答案】（2n+2）．【分析】观察图形发现，第n个图案中需要2（n+1）个基本图形，即可得到答案．【解答】解：观察图形发现：第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形，……，第n个图案中需要（2n+2）个基本图形，故答案为：（2n+2）．【点评】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现一般规律是解题关键．20．（2025•费县一模）有依次排列的3个数：5，12，10，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：5，7，12，﹣2，10，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：5，2，7，5，12，﹣14，﹣2，12，10，继续依次操作下去，问：从数串5，12，10，开始操作第2025次以后所产生的那个新数串的所有数之和是10152．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】10152．【分析】根据题意依次求出每次操作后所产生数串的所有数之和，发现规律即可解决问题．【解答】解：由题知，因为5+12+10＝27，5+7+12+（﹣2）+10＝32，5+2+7+5+12+（﹣14）+（﹣2）+12+10＝37，…，所以每次操作加5．则27+2025×5＝10152，即第2025次操作后所有数之和为10152．故答案为：10152．【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现每次操作加5是解题的关键．三．解答题（共5小题）21．（2025•镜湖区校级二模）【观察思考】如图所示【规律发现】（1）第5个图案中，“▲”的个数为14；（2）第n个图案中，“★”的个数可表示为12(n+2)(n+1)【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】（1）14；(2)1（3）当n＝2或7时，“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．【分析】（1）根据图案中“▲”的个数的变化规律得到第5个图案中“▲”的个数即可；（2）根据图案中“★”的个数的变化规律得到第n个图案中“★”的个数即可；（3）根据图案中“▲”的个数的变化规律和“★”的个数的变化规律得到关于n的一元二次方程，解方程求出n即可．【解答】解：（1）由所给图形可知，第1个图案中“▲”的个数为2＝1×3﹣1，第2个图案中“▲”的个数为5＝2×3﹣1，第3个图案中“▲”的个数为8＝3×3﹣1，…，所以第n个图案中“▲”的个数为（3n﹣1）个．当n＝5时，3n﹣1＝3×5﹣1＝14（个），即第5个图案中“▲”的个数为14个．故答案为：14；（2）由所给图形可知，第1个图案中“★”的个数为3＝1+2，第2个图案中“★”的个数为6＝1+2+3，第3个图案中“★”的个数为10＝1+2+3+4，⋯，所以第n个图案中“★”的个数为1+2+3+⋯+(n+1)=1故答案为：12（3）设第n个图案中“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4，则2（3n﹣1）=1解得n＝2或7，所以当n＝2或7时，“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现“▲”和“★”个数的变化规律是解题的关键．22．（2025•东莞市校级三模）为美化市容，某广场用规格为10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．【观察思考】图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．【规律总结】（1）图5灰砖有25块，白砖有24块；图n灰砖有n2块，白砖有（4n+4）块；【问题解决】（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，请通过计算说明你的理由．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】猜想归纳；推理能力．【答案】（1）25，24，n2，（4n+4）；（2）存在，理由见解析过程．【分析】（1）根据所给图形，分别求出灰砖和白砖的块数，发现规律即可解决问题．（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．【解答】解：（1）由所给图形可知，图1中灰砖的块数为：1＝12，白砖的块数为：8＝1×4+4；图2中灰砖的块数为：4＝22，白砖的块数为：12＝2×4+4；图3中灰砖的块数为：9＝32，白砖的块数为：16＝3×4+4；…，所以图n中灰砖的块数为n2块，白砖的块数为（4n+4）块．当n＝5时，n2＝25（块），4n+4＝24（块），即图5中灰砖的块数为25块，白砖的块数为24块．故答案为：25，24，n2，（4n+4）．（2）存在，理由如下：由题知，n2﹣（4n+4）＝56，解得n＝10或﹣6，因为n为正整数，所以n＝10，所以存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形．【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现白砖和灰砖块数的变化规律是解题的关键．23．（2025•龙子湖区三模）杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．行数系数展开式n＝11（a+b）0＝1n＝211（a+b）1＝a+bn＝3121（a+b）2＝a2+2ab+bn＝41331（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3…呈现的是杨辉三角的部分数据，根据图中蕴含的规律，解答下列问题：（1）在杨辉三角中，从左边数第7行第3个数是15；（2）当n＞3时，在系数中，从左边数第n行第3个数是(n-1)(n-2)2（用含n（3）（a+b）n展开后各项的系数和为2n（用含n的式子表示）．【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．【专题】规律型；创新意识．【答案】（1）15；（2）(n-1)(n-2)2（3）2n．【分析】（1）利用杨辉三角每行数字左右对称、由1开始先变大后变小、除两端1外每个数等于肩上两数之和等规律，依次写出前7行数字，从而得出第7行第3个数．（2）通过列举第4、5、6、7行第3个数的计算过程，发现规律为从1加到n﹣2，进而得出第n行第3个数的表达式，得出（a+b）n展开式各项系数和的表达式（3）分别计算（a+b）1，（a+b）2等展开式各项系数和，发现各项系数的规律可得结论；【解答】解：（1）杨辉三角有这样的规律：每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小到1；第n行的数字个数为n个；除了每行两端的1，每个数都等于它