九年级数学几何知识点归纳与测试

九年级数学几何知识点归纳与测试一、知识点归纳（一）三角形1.三角形的基本概念与性质*三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。*三角形的边：三角形有三条边，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这个性质是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。*三角形的角：三角形有三个内角，三角形内角和等于180°。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个与它不相邻的内角。*三角形的中线、角平分线、高线：*中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，三角形的三条中线交于一点，称为重心。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍。*角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。三角形的三条角平分线交于一点，称为内心，内心到三角形三边的距离相等（内切圆的圆心）。*高线：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。三角形的三条高线（或其延长线）交于一点，称为垂心。2.全等三角形*定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。*性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。对应边上的中线、高线、角平分线也分别相等。*判定方法：*SSS(边边边)：三边对应相等的两个三角形全等。*SAS(边角边)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。*ASA(角边角)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。*AAS(角角边)：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。*HL(斜边、直角边)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。3.等腰三角形与等边三角形*等腰三角形：*定义：有两边相等的三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。*性质：两腰相等；两底角相等（等边对等角）；顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”）。*判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。*等边三角形：*定义：三边都相等的三角形，也叫正三角形。*性质：三边都相等；三个角都相等，并且每一个角都等于60°；具有等腰三角形的所有性质。*判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。4.直角三角形*定义：有一个角是直角（90°）的三角形。*性质：两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。*判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）；如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（二）四边形1.平行四边形*定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。*性质：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。*判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。2.矩形*定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。*性质：具有平行四边形的所有性质；四个角都是直角；对角线相等。*判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。3.菱形*定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。*性质：具有平行四边形的所有性质；四条边都相等；对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。*判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。4.正方形*定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。*性质：同时具有矩形和菱形的所有性质。即：四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角。*判定：先判定是矩形，再判定它有一组邻边相等；先判定是菱形，再判定它有一个角是直角。5.梯形（了解）*定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。*等腰梯形性质：两腰相等；同一底上的两个角相等；对角线相等。*等腰梯形判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。（三）圆1.圆的基本概念*圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所经过的封闭曲线叫做圆。定点O叫做圆心，线段OA叫做半径。*弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦。*弧与半圆：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。*圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。*圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。2.圆的基本性质*圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。*垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。*圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。*圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。3.点与圆、直线与圆的位置关系*点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d。点在圆外⇔d>r；点在圆上⇔d=r；点在圆内⇔d<r。*直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d。直线和圆相离⇔d>r；直线和圆相切⇔d=r；直线和圆相交⇔d<r。*切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。*切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（四）几何变换*平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。*旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的形状和大小。经过旋转，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。*轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。（五）相似形*比例线段：四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。*相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比。*相似三角形的判定：*平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。*两角对应相等的两个三角形相似。*两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。*三边对应成比例的两个三角形相似。*相似三角形的性质：*相似三角形的对应角相等，对应边成比例。*相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。*相似三角形周长的比等于相似比。*相似三角形面积的比等于相似比的平方。（六）解直角三角形*锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A为锐角，则：*sinA=∠A的对边/斜边*cosA=∠A的邻边/斜边*tanA=∠A的对边/∠A的邻边*特殊角的三角函数值：（30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值需要熟记）*解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。二、综合测试（一）选择题(每小题只有一个正确答案)1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1,2,3B.2,2,4C.3,4,5D.3,4,82.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若CD=3，AB=10，则△ABD的面积为（）A.15B.30C.20D.10（此处应有图：Rt△ABC，∠C=90°，AD为∠BAC平分线，交BC于D，CD=3）3.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A.对角相等B.对边平行且相等C.对角线互相垂直D.对角线相等4.下列命题中，正确的是（）A.平分弦的直径垂直于弦B.圆的切线垂直于半径C.三点确定一个圆D.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等5.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠BOC的度数为（）A.40°B.50°C.80°D.100°（此处应有图：圆O，AB为直径，C为圆上一点，连接OC、BC）6.若两个相似三角形的相似比为2:3，则它们的面积比为（）A.2:3B.4:9C.:√3D.3:27.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，则cosB的值为（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3（二）填空题8.等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为_________。9.平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为_________。10.一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则这个扇形的弧长为_________（结果保留π）。11.已知△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为_________。（三）解答题12.已知：如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。（此处应有图：平行四边形ABCD，对角线AC，E、F在AC上，AE=CF，连接BE、ED、DF、FB）13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。（1）用含t的代数式表示线段PC和CQ的长度。（2）当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？（此处应有图：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，P在AC上从A向C运动，Q在BC上从C向B运动）14.如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD。求证：DC是⊙O的切线。（此处应有图：圆O，AB为直径，BC为切线，切点B，AD为弦，OC∥AD，连接OD、CD）---参考答案与解析（一）选择题1.C解析：三角形三边关系，任意两边之和大于第三边。A中1+2=3，不能；B中2+2=4，不能；D中3+4=7<8，不能；C中3+4>5，能组成。2.A解析：过D作DE⊥AB于E。因为AD平分∠BAC，∠C=90°，所以DE=CD=3。△ABD面积=(AB×DE)/2=(10×3)/2=15。3.C解析：菱形和矩形都具有对角相等、对边平行且相等的性质。矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直但不一定相等。4.D解析：A选项，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；B选项，圆的切线垂直于过切点的半径；C选项，不在同一直线上的三点确定一个圆；D选项正确。5.C解析：因为OA=OC，所以∠ACO=∠A=40°。∠BOC是△AOC的外角，所以∠BOC=∠A+∠ACO=40°+40°=80°。6.B