立体几何建系题目讲解及答案

立体几何建系题目讲解及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

题型及格式参考：

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)到x轴的距离是

A.2

B.3

C.2√2

D.√14

2.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,-1,1)，则向量a与向量b的夹角余弦值是

A.1/2

B.3/√14

C.-1/2

D.-3/√14

3.过点A(1,0,0)且与平面x+y+z=1平行的平面方程是

A.x+y+z=1

B.x-y+z=1

C.x+y-z=1

D.x-y-z=1

4.空间中三点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)是否共线

A.共线

B.不共线

5.向量c=(1,1,1)与向量a=(1,2,3)的向量积是

A.(1,-2,1)

B.(1,1,1)

C.(-2,1,1)

D.(1,1,-2)

6.空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是

A.x=1，y=2，z=3

B.x-1=2(y-2)=-z-3

C.x-1=y-2=z-3

D.2x-y+z=1

7.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的夹角是

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

8.已知直线L过点A(1,2,3)且方向向量为(1,1,1)，则点B(2,3,4)到直线L的距离是

A.√2

B.√3

C.√5

D.√6

9.空间中过点A(1,2,3)且与向量a=(1,2,3)平行的直线方程是

A.x=1，y=2，z=3

B.x-1=y-2=z-3

C.x-1=2(y-2)=3(z-3)

D.2x-y+z=1

10.已知平面α与平面β的法向量分别为(1,0,0)和(0,1,0)，则平面α与平面β的夹角是

A.0°

B.45°

C.90°

D.135°

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.空间中点A(1,2,3)关于平面x+y+z=1的对称点坐标是

2.向量a=(1,2,3)在向量b=(2,-1,1)上的投影长度是

3.空间中过点A(1,2,3)且与平面2x-y+z=1垂直的平面方程是

4.已知直线L过点A(1,2,3)且方向向量为(1,1,1)，则直线L的参数方程是

5.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的法向量的向量积是

6.空间中点A(1,2,3)到平面2x-y+z=1的距离是

7.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,-1,1)，则向量a与向量b的向量积是

8.空间中过点A(1,2,3)且与向量a=(1,2,3)平行的直线方程是

9.空间中平面α与平面β的法向量分别为(1,0,0)和(0,1,0)，则平面α与平面β的夹角余弦值是

10.空间中过点A(1,2,3)且与平面x+y+z=1平行的平面方程是

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列说法正确的有

A.空间中三点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)共线

B.向量a=(1,2,3)与向量b=(2,-1,1)的向量积是(1,-2,1)

C.空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是x-1=2(y-2)=-z-3

D.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的法向量的向量积是(1,1,1)

2.下列说法正确的有

A.向量c=(1,1,1)与向量a=(1,2,3)的向量积是(1,-2,1)

B.空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是x-1=2(y-2)=-z-3

C.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的法向量的向量积是(1,1,1)

D.空间中点A(1,2,3)到平面2x-y+z=1的距离是2√3/√6

3.下列说法正确的有

A.空间中三点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)共线

B.向量a=(1,2,3)与向量b=(2,-1,1)的向量积是(1,-2,1)

C.空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是x-1=2(y-2)=-z-3

D.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的法向量的向量积是(1,1,1)

4.下列说法正确的有

A.向量c=(1,1,1)与向量a=(1,2,3)的向量积是(1,-2,1)

B.空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是x-1=2(y-2)=-z-3

C.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的法向量的向量积是(1,1,1)

D.空间中点A(1,2,3)到平面2x-y+z=1的距离是2√3/√6

5.下列说法正确的有

A.空间中三点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)共线

B.向量a=(1,2,3)与向量b=(2,-1,1)的向量积是(1,-2,1)

C.空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是x-1=2(y-2)=-z-3

D.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的法向量的向量积是(1,1,1)

6.下列说法正确的有

A.向量c=(1,1,1)与向量a=(1,2,3)的向量积是(1,-2,1)

B.空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是x-1=2(y-2)=-z-3

C.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的法向量的向量积是(1,1,1)

D.空间中点A(1,2,3)到平面2x-y+z=1的距离是2√3/√6

7.下列说法正确的有

A.空间中三点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)共线

B.向量a=(1,2,3)与向量b=(2,-1,1)的向量积是(1,-2,1)

C.空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是x-1=2(y-2)=-z-3

D.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的法向量的向量积是(1,1,1)

8.下列说法正确的有

A.向量c=(1,1,1)与向量a=(1,2,3)的向量积是(1,-2,1)

B.空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是x-1=2(y-2)=-z-3

C.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的法向量的向量积是(1,1,1)

D.空间中点A(1,2,3)到平面2x-y+z=1的距离是2√3/√6

9.下列说法正确的有

A.空间中三点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)共线

B.向量a=(1,2,3)与向量b=(2,-1,1)的向量积是(1,-2,1)

C.空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是x-1=2(y-2)=-z-3

D.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的法向量的向量积是(1,1,1)

10.下列说法正确的有

A.向量c=(1,1,1)与向量a=(1,2,3)的向量积是(1,-2,1)

B.空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是x-1=2(y-2)=-z-3

C.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的法向量的向量积是(1,1,1)

D.空间中点A(1,2,3)到平面2x-y+z=1的距离是2√3/√6

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.空间中点A(1,2,3)到平面x+y+z=1的距离是√14/√3

2.向量a=(1,2,3)与向量b=(2,-1,1)是互相垂直的

3.空间中过点A(1,2,3)且与向量a=(1,2,3)平行的直线方程是x-1=y-2=z-3

4.空间中三点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)共线

5.向量c=(1,1,1)与向量a=(1,2,3)的向量积是(1,-2,1)

6.空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是x-1=2(y-2)=-z-3

7.空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的法向量的向量积是(1,1,1)

8.空间中点A(1,2,3)到平面2x-y+z=1的距离是2√3/√6

9.已知直线L过点A(1,2,3)且方向向量为(1,1,1)，则点B(2,3,4)到直线L的距离是√2

10.空间中过点A(1,2,3)且与向量a=(1,2,3)平行的平面方程是x+y+z=3

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求空间中过点A(1,2,3)且与平面x+y+z=1平行的平面方程

2.求空间中过点A(1,2,3)且垂直于向量a=(1,2,3)的平面方程

3.求空间中过点A(1,2,3)且与向量a=(1,2,3)平行的直线方程

4.求空间中点A(1,2,3)到平面2x-y+z=1的距离

5.求空间中向量a=(1,2,3)与向量b=(2,-1,1)的向量积

6.求空间中直线L过点A(1,2,3)且方向向量为(1,1,1)的参数方程

7.求空间中平面x+y+z=1与平面2x-y+z=3的夹角

8.求空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程

9.求空间中点A(1,2,3)关于平面x+y+z=1的对称点坐标

10.求空间中向量a=(1,2,3)在向量b=(2,-1,1)上的投影长度

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：点A(1,2,3)到x轴的距离是点A到x轴上的垂线段的长度，即点A的y和z坐标构成的向量(2,3)的模，√2^2+3^2=√13，所以答案是C。

2.B

解析：向量a与向量b的夹角余弦值是(a·b)/(|a||b|)，(1*2+2*(-1)+3*1)/(√1^2+2^2+3^2*√2^2+(-1)^2+1^2)=3/√14，所以答案是B。

3.C

解析：与平面x+y+z=1平行的平面方程形式为x+y+z=D，将点A(1,0,0)代入得1+0+0=D，所以答案是C。

4.B

解析：三点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)的向量AB=(1,1,1)，向量AC=(2,2,2)，由于向量AB与向量AC成比例，所以三点共线，答案是B。

5.A

解析：向量积的定义是a×b=(a2*b3-a3*b2,a3*b1-a1*b3,a1*b2-a2*b1)，所以(1*1-2*1,2*1-3*1,1*2-2*1)=(1,-2,1)，答案是A。

6.B

解析：直线垂直于平面，其方向向量与平面的法向量相同，平面的法向量为(2,-1,1)，所以直线方程为x-1=2(y-2)=-z-3，答案是B。

7.D

解析：两个平面的夹角是它们的法向量的夹角，法向量分别为(1,1,1)和(2,-1,1)，夹角余弦值是(1*2+1*(-1)+1*1)/(√1^2+1^2+1^2*√2^2+(-1)^2+1^2)=1/√3，夹角是120°，答案是D。

8.D

解析：点B到直线L的距离是点B到直线L上的垂线段的长度，利用点到直线的距离公式，得到距离为√6，答案是D。

9.B

解析：与向量a平行的直线方程形式为x-1=y-2=z-3，答案是B。

10.C

解析：两个平面的夹角是它们的法向量的夹角，法向量分别为(1,0,0)和(0,1,0)，夹角是90°，答案是C。

二、填空题答案及解析

1.(-1,0,-1)

解析：点关于平面的对称点坐标可以通过解方程组得到，设对称点为(x,y,z)，则有(x+1)/2=1，(y+2)/2=0，(z+3)/2=1，解得x=-1，y=0，z=-1，所以对称点坐标为(-1,0,-1)。

2.√30/√5

解析：向量a在向量b上的投影长度是|a·b|/|b|，|1*2+2*(-1)+3*1|/√2^2+(-1)^2+1^2=√30/√5，所以答案是√30/√5。

3.2x-y+z=5

解析：与平面2x-y+z=1垂直的平面方程形式为2x-y+z=D，将点A(1,0,0)代入得2*1-0+0=5，所以答案是2x-y+z=5。

4.x=1+t，y=2+t，z=3+t

解析：直线的参数方程形式为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，所以参数方程为x=1+t，y=2+t，z=3+t。

5.(1,1,1)

解析：两个平面的法向量的向量积是(1,1,1)和(2,-1,1)的向量积，即(1*1-1*(-1),1*2-1*1,1*(-1)-1*2)=(1,1,1)，所以答案是(1,1,1)。

6.√6/√6=1

解析：点A到平面的距离是|2*1-1*2+1*3-1|/√2^2+(-1)^2+1^2=1，所以答案是1。

7.(1,2,3)×(2,-1,1)=(-3,-5,3)

解析：向量a与向量b的向量积是(1*1-3*(-1),3*2-1*1,1*(-1)-2*2)=(-3,-5,3)，所以答案是(-3,-5,3)。

8.x=1+t，y=2+2t，z=3+3t

解析：直线的参数方程形式为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，所以参数方程为x=1+t，y=2+2t，z=3+3t。

9.√14/√3

解析：两个平面的法向量的向量积是(1,1,1)和(1,2,3)的向量积，即(1*3-1*2,1*1-1*3,1*2-1*1)=(1,-2,1)，模长为√1^2+(-2)^2+1^2=√6，所以答案是√6。

10.x+y+z=6

解析：与平面x+y+z=1平行的平面方程形式为x+y+z=D，将点A(1,2,3)代入得1+2+3=6，所以答案是x+y+z=6。

三、多选题答案及解析

1.A、C

解析：空间中三点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)的向量AB=(1,1,1)，向量AC=(2,2,2)，由于向量AB与向量AC成比例，所以三点共线，A正确；向量a=(1,2,3)与向量b=(2,-1,1)的向量积是(1*1-3*(-1),3*2-1*1,1*(-1)-2*2)=(-3,-5,3)，C正确。

2.A、B、D

解析：向量c=(1,1,1)与向量a=(1,2,3)的向量积是(1*3-1*2,1*1-1*3,1*2-1*1)=(1,-2,1)，A正确；空间中过点A(1,2,3)且垂直于平面2x-y+z=1的直线方程是x-1=2(y-2)=-z-3，B正确；空间中点A(1,2,3)到平面2x-y+z=1的距离是|2*1-1*2+1*3-1|/√2^2+(-1)^2+1^2=2√3/√6，D正确。

3.A、B、C、D

解析：空间中三点A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)的向量AB=(1,1,1)，向量AC=(2,2,2)，由于向量AB与向量AC成比例，所以三点共线，A正确；向量a=(1,2,3)与向量b=(2,-1,1)的向量积是(1*1-3*(-1),3*2-1*1,1*(-1)-2*2)=(-3,-5,3)，B正确；空间中过点A(1,2,3)