2025北京五十五中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京五十五中学高三10月月考数学本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟第一部分（选择题共40分）一､选择题：共10小题，每小题4分，共40分.每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，若，则（）A.1 B. C. D.3.双曲线的离心率为（）A. B. C. D.即，所以，故选：B．4.已知函数，则（）A.图象关于原点对称，且在上是增函数B.图象关于原点对称，且在上是减函数C.图象关于轴对称，且在上是增函数D.图象关于轴对称，且在上是减函数5.关于函数，下列选项中是对称中心的有（）A. B. C. D.6.在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项，则的公比为（）A. B.2 C. D.8.若函数,恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.9.设函数的定义域为，对于函数图象上一点，若集合只有1个元素，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是（）A. B.C. D.10.如图，棱长为2的正方体中，动点，，，分别在棱，，，上，且满足，，设，，下列四个结论正确的是（）①当时，则四面体的表面积为8；②存在，，使得四面体的表面积为9；③当时，四面体的体积为；④四面体的体积与，无关.A.②③④ B.②③ C.②④ D.①②④第二部分（非选择题共110分）二､填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.若，则__．12.抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离______．13.已知集合，，若为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是___________．14.已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则___________．15.已知，图形的面积为，给出下列四个结论：①是中心对称图形；②是轴对称图形；③；④.其中所有正确的结论是________.三､解答题：共6小题，共85分.16.在中，．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角的大小；（2）求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点（1）证明：平面；（2）求与平面所成的角；（3）求点到平面的距离.18.某新能源汽车门店为了解某款汽车的销售情况，将每个月的销售量（单位：辆）进行等级划分：若当月的销售量在内，则等级为“良”；若当月的销售量在内，则等级为“优”；若当月的销售量在内，则等级为“特优”.已知该门店该款汽车2024年每个月的销售量如表所示.月份123456789101112销售量652331425228374544512538（1）求2024年月销售等级为“特优”的频率.（2）若从2024年任选两个月的销售情况进行分析，求至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率.（3）为了鼓励销售团队，销售等级为“良”“优”“特优”的月份销售团队将分别获得5万元、10万元、20万元的奖金.以2024年各销售等级的频率代替2026年各销售等级的概率，记销售团队2026年某两个月获得的总奖金为万元，求的分布列与期望.19.已知椭圆：过，两点.（1）求椭圆的方程；（2）设，，过点的直线与椭圆交于两点，连接、交x轴于两点（不重合），已知，求直线的方程.20.已知函数，（，且，，且）.（1）当时，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）讨论函数的单调性；（3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.21.已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，（，2，3…，），若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列.（1）已知无穷数列的通项公式为，，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为，公比为实数q的等比数列为有界变差数列，求q的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列.

参考答案第一部分（选择题共40分）一､选择题：共10小题，每小题4分，共40分.每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的.12345678910DBBBCBCDDC第二部分（非选择题共110分）二､填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】因为，令可得，故答案为：12.【答案】设点，则，所以，所以，所以，故答案为：.13.【答案】集合表示直线上的点，集合表示圆上的点，圆心为，半径，为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即，解得.故答案为：14.【答案】由于若，且在区间上有最小值无最大值，，则，所以，，由于，所以的值为.故答案为：15.【答案】当时，，，则；当时，，，，，当时，，，，，；当时，，，，，.综上，或.画出直线，和的图形，如图所示，满足集合的点是如图阴影部分的点的集合，注意，不包括曲线上的点，不包括直线和上的点，包括和上的点，作直线和，设直线与轴交于点，直线和相交于点，直线和相交于点，和相交于点，和直线相较于，和相交于点，和相交于，关于轴对称，设在段的曲线和线段、围成的面积为，设在段的曲线和线段、围成的面积为，，阴影部分的面积为，联立，解得，则，又，，，，阴影部分的面积为，③错误，④正确.从图中可得的图形关于轴对称，则的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，①不正确，②正确.故答案为：②④.三､解答题：共6小题，共85分.16.【答案】（1）依题意，，由正弦定理得.选①，，则，三角形不存在，不符合题意.选②，，则，，则为锐角，且.且由得，三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.选③，，由正弦定理得，由于，所以，则，则为锐角，且.由余弦定理得，即，得，所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，所以.17.【答案】（1）连接BD交AC于O，连接OE.易得O为BD中点，又为的中点，则，又平面，平面，则平面；（2）如图作，因平面，平面，则，又平面，，则平面.连接，则为与平面所成的角.由题可得，，，则.（3）如图，取CD中点为，连接AH，易得.则以A为原点，AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，AH所在直线为y轴建立空间直角坐标系.则.,.设平面法向量为，则.令，则，故取.则点到平面的距离为.18.【答案】（1）由题可知，2024年中1月、5月、10月的销售等级均为“特优”，故2024年月销售等级为“特优”的频率为.（2）由题可知，2024年2月、6月、11月的销售等级均为“良”，从2024年中任选两个月的销售情况进行分析，则至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率为（或）.（3）由题可知，2024年，有6个月的销售等级为“优”，从而每个月的销售等级为“良”“优”“特优”的概率分别为，的可能取值为，且，，，则的分布列为101520253040.19.【答案】（1）将，代入椭圆的方程可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）结合题意可知，直线的斜率存在，又，设直线方程为，，如下图所示：联立，整理可得，所以可得，且，可得，即或；因为，所以、的斜率分别为，因此直线、的方程分别为，则交点的坐标为；结合可知，即，也即，整理可得，又，可得，又因为，将代入，可得，解得，所以，代入计算可得，解得，即或，经检验符合题意，所以直线的方程为或.20.【答案】（1）当时，，，，由条件可知，，得；（2），，当时，恒成立，所以在单调递增，当时，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，综上可知，时，的增区间是，无减区间，当时，的减区间是，增区间是；（3）当，当时，，，所以，即，不满足条件，当时，由（2）可知，在处取得最小值，最小值为，若对任意的，恒成立，即即，得，即，所以的取值范围是.21.【答案】（1），则即可，则为有界数列.由，知，，（，2，3…，），，则即可