2025北京一零九中高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京一零九中高三12月月考数学学校：________姓名：________班级:_________学号：________1．已知复数满足，则（

）A． B． C．4 D．82．已知集合，，，则的真子集共有（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．《周髀算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后20位数字分别为14159

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23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（

）A． B． C． D．4．已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，(

)A．3 B．4 C．5 D．65．已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．7．如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（

）

A． B． C． D．8．已知函数，,，如图A，B是直线与曲线的交点，若，，则（

）．

A．， B．，C．， D．，9．在矩形中，，，，交于点，，分别为边，边上的点，且关于点中心对称.为矩形所在平面内的动点，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的75次方是一个86位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（

）35711130.4770.6990.8451.0411.114A．13 B．14 C．15 D．1611．若1−2x6=a0+a112．若，是第二象限的角，则，．13．已知定义在R上的奇函数，对任意x都满足，且当，，则.14．已知函数，当时，函数的值域为；若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是.15．如图，在正方体中，分别是棱，的中点，点在面对角线上运动，给出下列四个结论：

①直线平面；②平面截正方体所得的截面图形是五边形；③；④三棱锥的体积不变．其中所有正确结论的序号是．16．在中，.(1)求；(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：的周长为；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.17．已知底面是平行四边形，平面，，，，且.(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18．某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）．车型低收入群体（20万/年）中收入群体（20万/年-50万/年）高收入群体（50万/年）愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意EV703070504040PHEV208060606020假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率．(1)从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率；(2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望；(3)假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小．19．已知椭圆经过点，且其离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)直线与轴交于点，与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点．是否存在定点，使得与的面积之比为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)曲线在点处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值；(3)若有两个根，，写出a的范围并证明.21．对于n行n列（）的数表，定义T变换：任选一组，其中，，对于A中第行和第j列个数，将每个数同时加1，或者将每个数同时减1，其余的数不变，得到一个新数表．(1)已知对依次进行4次T变换，如下：，写出a，b，c，d的值．(2)已知，，那么是否可以依次进行有限次T变换，将A变换为B？说明理由．(3)已知11行11列的数表，那么是否可以依次进行k次T变换，将其变换为？若可以，求k的最小值；若不可以，说明理由．

参考答案题号12345678910答案BADBDDDCAB1．B【详解】因为，所以.2．A【详解】因为集合，且，则，即集合有2个元素，所以集合的真子集共有个.3．D【详解】因为从这20个数字的前10个数字中有7个奇数，后10个数字中有5个奇数，所以从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，这两个数字均为奇数的概率为.4．B【详解】设数列的公差为，则，，，因为，，成等比数列，所以，即，化简得，解得或，因为数列为递增的等差数列，所以，故舍去，，所以开口向上，对称轴为直线，由于为正整数，且离更近，所以当时，取得最小值。5．D【详解】连接，，如图：因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线与所成角，设正方体的棱长为，，，在中，，所以异面直线与所成角的余弦值是.6．D【详解】由，且为偶函数，故，由导数性质结合图象可得当时，，当时，，当时，即，则由，有，解得，亦可得，或，或，或，由可得或，即，由可得，即，由，可得，即或（舍去，不在定义域内），由，可得，综上所述，关于x的不等式的解集为.7．D【详解】在中，，，则，由正弦定理得，则，在中，，所以.8．C【详解】由题意，令，则由图可知，.所以，解得.又，结合图象可知，则，又，解得.9．A【详解】建立如图所示坐标系，由题意得：，，，,,则，设，则，，，，，，，对于，的最小值是0，最小值是，对于，的最小值是，最大值是0，所以值域为.10．B【详解】由题意知，，即，，而，，，，，，正整数的值为14.11．120；1【详解】因为1−2x6的展开式的通项Tr+1=2rC令x=1可得：a012．//【详解】因为，是第二象限的角，所以，所以，，所以，13．2【详解】解：由可得，又由在R上为奇函数，即，有，则是周期为12的周期函数．．14．【详解】当时，，若，则，即；若，则，即，综上可得，函数的值域为；因为增函数，最多只有一个零点，而最多可有两个零点，由函数恰有两个零点可分为两种情况：①当时，有一个零点，且时，也只有一个零点，由在有1个零点，可得；而在上只有一个零点，当时，显然不合题意；当时，则需使，即.综上可得；②当时，没有零点，且时，有两个零点，由在上没有零点，可得；而在上有两个零点，即.综上可得.故实数的取值范围为.15．①②④【详解】对于①，因为为的中位线，所以，而平面，平面，得平面，故①正确；对于②，连接分别与的延长线分别交于，连接分别交于，连接，如图所示：

易知平面与平面为同一平面，其截正方体所得的截面图形是，为五边形，即②正确；对于③，如图，

假设，而，为平面内的两条相交直线，得平面，平面，得，这与相矛盾，故假设不成立，故③错误；对于④，如图，

由，及平面，而点在面对角线上运动，则点到平面的距离是定值，三角形的面积也是定值，故体积也是定值，故④正确，16．【详解】（1）由正弦定理，，因，则，，则，故得，即得：，因，故.（2）若选择①：因，的周长为，则（i），由余弦定理，，则（ii），联立（i），（ii）可得：，则的面积为；若选择②：因，，则，因，由正弦定理，，则，又，则，则的面积为：；若选择③：因，，由正弦定理，，则，因，故，由，故角不唯一（可以是锐角，也可以是钝角），故条件③不成立.17．【详解】（1）证明：在中，，，，则，可得，所以，所以.因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）是平行四边形，平面，，，，且.假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，，设，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，可得，所以，设直线与平面所成角的大小为，故，整理得，解得或，所以或.18．【详解】（1）由表可知300名调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为；（2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率，由题意的可能取值为0，1，2，3，4，，．所以的分布列为01234．（3）低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为；中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为；高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为．利用全概率公式可得：．19．【详解】（1）由题意，解得，故椭圆方程为：．（2）设直线与轴交点为，则由题意斜率存在，设，与椭圆方程联立得，由得．设，由韦达定理得，直线为，令，则点横坐标为，同理．设，则所以.若存在定值，即不随变化而改变，则，解得，但此时过点，不合题意．所以定点不存在．20．【详解】（1）由，故当时，，当时，，所以的单调增区间为，减区间为；（2）曲线在处的切线斜率，又，所以其切线方程为，令，得，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以；（3）由（1），的单调增区间为，减区间为，且，，当时，，当时，，即时，，时，，若有两个根，则，且，，要证，即证，又在上单调递减，即证，又，即证在上恒成立，又，即证，两边取对数，原命题即证在上恒成立，令，，，故在上单调递减，所以，所以在上恒成立，故得证.21．【详解】（1）经过变换得到，显然没有变，从1变为2，所以和均增加1，故，经过变换得到，显然没有变，从1变为2，故和均增加1，故，经过变换得到，满足要求，综上，，；（2）不可以，理由如下：由题可知，每次变换，数表中的所有数的和增加或减少5，因为中所有数的和为0，所以经过有限次T变换后，各数之和应为5的倍数，而中所有数的和为9，不合要求，故不可以依次进行有限次T变换，将A变换为B．（3