2025北京一零一中高三（上）统练一数学试题及答案

高中2025北京一零一高三（上）统练一数学一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则的共轭复数（）A. B. C. D.3.设函数，则满足（）A.在区间内均有零点B.在区间内有零点，在区间内无零点C.在区间内无零点，在区间内有零点D.在区间内均无零点4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（）A.横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B.横坐标加1（纵坐标不变）C.纵坐标减1（横坐标不变） D.纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）5.在中，点在边上，．记，则（）A. B. C. D.6.在中，，则（）A. B. C. D.7.设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.若正实数满足，则（）A.有最大值6 B.有最小值C.有最大值 D.有最小值9.自然对数的底数与连续复利有关．十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100，是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当趋于无穷大时，本息和趋于．当计息次数时，一年后本息和约为（）（参考数据：）A. B. C. D.10.已知数列满足，下面结论成立的是（）A.若存在，使得，则B.若，则数列单调递增，且存在常数，使得恒成立C.若，则存在，当时，有D.若，则对于任意，有二、填空题共5小题．11.在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转到点，那么点的坐标是_________，若角终边过点，则的值是_________．12.已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是_________．13.已知平面向量满足，则的最小值是_________．14.已知，则_________．若在上单调递减，则_________．15.已知函数，给出下列四个结论：①函数的图象关于原点中心对称；②存在，使得；③函数的图象与函数的图象没有公共点；④函数极值点个数为3．其中所有正确结论的序号是_________．三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知等差数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前n项和Sn，17.已知函数从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．（1）求的解析式；（2）设，求函数在上的单调递增区间．条件①：的最大值为1；条件②：为偶函数；条件③：；条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．18.已知函数，（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；（3）求证：当时，存在极大值，且极大值小于．19.如图，甲船从出发以每小时15海里的速度匀速向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船正西方向的处，此时两船相距海里．（将行驶区域视为平面的一部分）（1）求乙船的航行速度（单位：海里/小时）；（2）假设两船一直按照各自现在的方向和速度前行，从甲船到达处开始计时，30分钟内，当甲乙两船之间的距离最小时，甲船距多少海里？20.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）证明：当有最大值时，存在，使得；（3）当时，过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）21.如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．定义为第行与第行的积．若对于任意，都有，则称数表为完美数表．（1）当时，试写出一个符合条件的完美数表；（2）是否存在2026行2026列的完美数表，并说明理由；（3）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：．

参考答案一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．12345678910DBCCBAACBC二、填空题共5小题．11.【答案】①.②.【分析】根据三角函数定义和诱导公式可求得B的坐标，再利用二倍角的余弦公式即可得到答案.【详解】由两点间距离公式得．由三角函数的定义可知，，由二倍角公式得，将点绕原点顺时针旋转到点，由三角函数定义可得点的坐标为，即，即．故答案为：；.12.【答案】【分析】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点，对函数求导，求出过的切线的斜率，结合图象求解即可.【详解】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点，又因为直线过定点，作出函数的图象，如图所示：过点作曲线的切线，设切点为，因为，所以切线方程为，代入，得，解得，所以切线的斜率，所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点，又因为当时，也满足题意，综上，实数的取值范围是.故答案为：13.【答案】1【分析】首先确定向量与的夹角，并通过几何方法分析的轨迹，进而求解最值。【详解】已知且，由点积公式，所以夹角.设，因为，，设，则，解得，不妨取，设，则，；由，得化简得，即向量对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆；则，需在圆上求的最小值,因为圆心横坐标为，半径1，故的最小值为；因此的最小值为，即为最小值.故答案为：1.14.【答案】①.1②.【分析】由，求得，即可求解第一空，再由在上单调递减，得到，再结合，即可求解第二空.【详解】由，可得，所以，即，所以，由，可得或，，即或，，又在上单调递减，所以，，可得：，解得：，又或，，所以当时，满足题意，故答案为：1；15.【答案】②③【分析】对①，由函数奇偶性定义判断；对②，判断函数零点的存在性；对③，由的符号判断；对④，分别在和寻求函数的极值点，再结合偶函数性质判断.【详解】对于①：定义域为，对，，所以是偶函数，关于轴对称，①错误；对于②：令，，由零点存在性定理，，，即，②正确；对于③：令，因为，所以当时，，即函数的图象在函数的图象上方；当时，，即函数的图象在函数的图象下方；所以函数的图象与函数的图象没有公共点，③正确；对于④：，令，当时，因为，所以在单调递增，又，所以，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，取得极小值，是一个极小值点.当时，，所以在单调递减，又，所以，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得极大值，是一个极大值点.又是偶函数，所以当和时，也有两个极值点，所以函数至少有个极值点，④错误；故答案为：②③.三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）设等差数列的公差为d．由，可得，即，解得．所以（2）若数列是公比为3的等比数列，且，则．由（1）可得，．17.【答案】（1）因为，所以，显然当时为奇函数，故②不能选，若选择①③，即最大值为，所以，解得，所以，又，所以，即，，解得，，故不能唯一确定，故舍去；若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则函数周期，可得，解得，得到，又，所以，解得，则；若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，解得，得到，又的最大值为，所以，解得，故.（2）由（1）可得，令，，解得，，则函数的单调递增区间为，，又，所以在上的单调递增区间为和.18.【答案】（1）由可得，，则，由题意，可得，解得，即；（2）由在区间上单调递增，可知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，也即在区间上恒成立.因函数在区间上为增函数，故，则的取值范围为；（3）因，要使存在极大值，需使关于的方程有正实根，而当时，，此时方程有两正根为，由可得或，由可得，故函数在和上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极大值.不妨设，由可得，即得，则的极大值为，且因，则得，要证函数的极大值小于，只需证，设，则，因，则有，故函数在上单调递增，则，即，故时，函数的极大值小于.19.【答案】（1）由题意可得，连接，由题可得，，所以，且，所以，所以在中由余弦定理可得，即，解得，所以乙船的航行速度海里/小时.（2）如图以为坐标原点，以及过与平行所在直线为，轴建立平面直角坐标系，如图，设甲乙两船之间的距离最小时分别位于，位置，且此时的时间为小时，由（1）可得，则，又因为，所以，所以，，所以，令为二次函数，且开口向上，则在对称轴取到最小值，此时，所以甲乙两船之间的距离最小时在30分钟内，此时甲船距：海里.20.【答案】（1），①当，即时，，所以在和上单调递增；②当，即时，由可得或，由可得，所以在和上单调递增，在上单调递减；③当，即时，由可得或，由可得，所以在和上单调递增，在上单调递减；综上，时，的单调增区间为和，无单调递减区间；时，的单调增区间为和，单调递减区间为；时，的单调增区间为和，单调递减区间为.（2）由（1）知，若有最大值时，当且仅当，且，此时取，下面证明即可，令，则，则只需证明，即，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，可得，所以成立，故当有最大值时，存在，使得得证.（3）当时，，，设过点与曲线相切的切线的切点为，则由可得，，化简整理可得关于的方程：，当过点，即时，方程为，由知，有两个不等实根，验证不是方程的根，所以有2个切点，故有2条切线；当过点，即时，方程为，设，，由，有2个不等实根可知，函数在和上单调递增，在上单调递减，故至多有3个零点，又，由零点存在定理可知，至少有3个零点，故有3个零点，即方程有3个不等实根，且都不为，所以有3个切点，故有3条切线；当过点，即时，方程为，设，则，所以或时，，时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以的极大值，所以至多有1个零点，又，由零点存在定理可知，在上至少有1个零点，所以有1个零点，即方程只有1个根且不为，所以有1个切点，故有1条切线.综上，当时，过点分别存在2,3,1条直线与曲线相切.21.【答案】（1）由题意，时，数表为：要使数表为完美数表，则对于任意，都有，又，显然答案不唯一，如：1111111111（2）假设存在2026行2026列的完美数表，根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：①把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表；②交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.

完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1，2行中的数为1，且第3行中的数为”的有y列，前三行中“第1,3行中的数为1，且第2行中的数为”的