2025北京一六一中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京一六一中高三10月月考数学考生须知1．本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟．2．试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效．3．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束后，将答题卡、试卷和草稿纸一并交回．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.3.已知，则（）A.1 B.2 C. D.4.已知函数，则当时，有（）A.最大值 B.最小值C.最大值 D.最小值5.已知函数，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（）A. B.C. D.7.设函数，若为上单调递减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（）A.由上图推测，甲地的绿化好于乙地B.当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率C.当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率D.当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同9.对于函数定义域中任意的，给出如下四个结论：①；②；③；④．满足其中三个结论的函数是（）A. B. C. D.10.已知函数，，记函数的最大值为，则的最小值为（）A.3.5 B.4 C.4.5 D.5二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．11.已知复数满足，则___________．12.若函数，，则___________．13.已知，则___________．14.设函数，若只有一个零点，则的一个取值为___________，若存在最小值，则的最大值为___________．15.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称是的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：①若，则存在唯一一个周期为1的周期点；②若，则存在周期为2的周期点；③若则不存在周期为3的周期点；④若，则对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点．其中所有正确结论的序号是_________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案填在答题卡中相应黑色框区域内．16.在三棱柱中，侧面为矩形，平面，D，E分别是棱的中点.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.17.已知函数．(I)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最大值．18.某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为分，规定测试成绩在之间为“体质优秀”，在之间为“体质良好”，在之间为“体质合格”，在之间为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取名学生，测试成绩如下：学生编号1234567高一年级60858065909175高二年级7985917560其中是正整数.（1）若该校高一年级有学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；（2）若从高一年级抽取的名学生中随机抽取人，记为抽取的人中为“体质良好”的学生人数，求的分布列及数学期望；（3）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出的值.（只需写出结论）19.已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.（1）求圆O和椭圆C的方程；（2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.20.已知函数．（1）若函数在处与轴相切，求的值；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若函数存在两个极小值点，求证：．21.设n为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记（Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素（Ⅱ）设且，求的最大值和最小值；（Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．12345678910CDDBADBCBC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．11.【答案】因为，所以，所以，所以，故答案为：.12.【答案】因为，所以，因为，所以，所以，故答案为：13.【答案】因为的展开式通项为，可得，所以.故答案为：.14.【答案】若，则当时，，即在时无零点，当时，令，则，则有，由，则恒成立，故此时只有一个零点；若，则当时，，为零点，则当时，无零点，若，符合，若，则有，解得或，即有或；综上可得：若只有一个零点，则或或；若，，则；若，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符；若，当时，单调递减，，当时，，故或，解得，综上可得，故的最大值为.故答案为：（答案不唯一）；.15.【答案】①设，则，显然是增函数，由得，时，，递减，时，，递增，所以时，，只有唯一解，因此只有唯一解，即存在唯一一个周期为1的周期点，①正确；②，，解得，此时，不合题意，所以不周期为2的周期点，②错误；③，若，则，，，所以存在周期为3的周期点，③错；④，所以无解，因此对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点，④正确．故答案为：①④．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案填在答题卡中相应黑色框区域内．16.【答案】（1）在三棱柱中，，且，因为D，E分别是棱的中点，所以，且,所以四边形是平行四边形，所以,又平面，平面，所以平面.（2）分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，于是，所以，所以直线与平面所成角的正弦值.17.【答案】（Ⅰ）因为，所以的最小正周期．（Ⅱ）因为，所以．当，即时，取得最大值为．18.【答案】解：（1）高一年级随机抽取的7名学生中，“体质优秀”的有3人，优秀率为，将此频率视为概率，估计高一年级“体质优秀”的学生人数为.（2）高一年级抽取的7名学生中“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有5人.所以的可能取值为所以所以随机变量的分布列为：（3）19.【答案】（1）由题意可得，解得，，所以圆的方程为，椭圆的方程为．（2）证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为，则，即，又由，得点M的坐标为，由，得点N的坐标为，所以，，，所以，所以，即20.【答案】（1），由条件可知，，，得；（2），，设，当时，恒成立，当时，，得，当，，单调递减，当，，单调递增，所以当时，取得最小值，，所以当时，恒成立，所以的变号零点由决定，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的减区间是，增区间是；（3），，由（2）可知，当时，只有1个极小值，不满足条件，当时，，，，得，当，，单调递减，当，，单调递增，所以当时，取得最小值，，时，，时，，所以在区间和分别有1个零点，设为，，所以有3个变号零点，分别是，如下表，（说明是极小值点）000单调递减极小值点单调递增极大值点单调递减极小值点单调递增且，即，得，且，即，，，所以.21.【答案】(Ⅰ)满足的元素为（Ⅱ）记，，注意到，所以，所以因为，所以所以中有个量的值为1，个量的值为0.显然，当，时，满足，.所以的最大值为又注意到只有时，，否则而中个量的值为1，个量的值为0所以满足这样的元素至多有个，当为偶数时，.当时，满足，且.所以的最小值为当为奇数时，且，这样的元素至多有个，所以.当，时，满足，.所以的最小值为综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，.（Ⅲ）中的元素个数最大值为设集合是满足条件的集合中元素个