2025北京一七一中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京一七一中高三10月月考数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则为（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，既是奇函数又在上为增函数的是（）A. B. C. D.4.的展开式中常数项是（）A.8 B.16 C.24 D.325.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（）A. B. C. D.6.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知集合则集合M的元素个数为（）A.2 B.4C.6 D.88.已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A. B. C.5 D.9.已知是函数的图象上两个不同的点则下面结论正确的是（）A. B.C. D.10.在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，其表达式为：，其中自变量L，K分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值Q表示产量，常数A是代表生产技术水平的参数，常数分别表示劳动和资本的产出弹性系数.已知在某企业中，，且时，时，则当时，对应的约为（）参考数据：，，，，A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是____________.12.在中，已知，，.则_______.13.设抛物线的焦点为F，准线l与轴的交点为M，P是C上一点.若，则_____.14.设函数．①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称，_________；②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是_________．15.已知函数，其定义域记为集合D，，给出下列四个结论：①；②若，则；③存在，使得；④对任意a，存在b使得．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值.17.某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10份，.获得数据如下表：甲同学86.5667.5885.597.5乙同学6777.57.58.5979.59已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”.假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立.（1）从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率；（2）从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取3份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的分布列和期望：（3）样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为和，试比较和的大小（结论不要求证明）.18.在△ABC中,（1）求∠B；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长.条件①:；条件②：△ABC的面积为；条件③：AC边上的高等于注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.已知椭圆，其中，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程及上顶点的坐标；（2）过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．20.已知函数，曲线在处的切线方程为.（1）求a，b的值；（2）①求证：只有一个零点；②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围.21.设，为平面直角坐标系上的两点，其中，令，，若，且，则称点B为点A的“相关点”，记作：.已知（）为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.（1）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；（2）求证：若与重合，一定为偶数；（3）若，且，记，求T的最大值.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910DDCBDCBCCD第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】.【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，故答案为：.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.【答案】##【分析】根据正弦定理求解，即可根据余弦的二倍角公式求解.【详解】由正弦定理可得，故，故,故答案为：.13.【答案】【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可.【详解】由抛物线的标准方程可知该抛物线的准线方程为，因此准线l与x轴的交点M的坐标为，设点的坐标为，则有，因为，所以由抛物线的定义可得，于是，故答案为：14.【答案】①.（答案不唯一）②.【分析】，则，取计算即可，确定，根据零点个数得到，解得答案【详解】由题意可得，因为的图像关于原点对称，所以，即，当时，；，则，有且仅有两个零点，则，解得，故答案为：（答案不唯一）；15.【答案】①②④.【分析】本题围绕函数展开，需结合函数定义域、单调性、函数值等知识，对四个关于函数的结论逐一分析判断，通过求解定义域确定集合D，利用对数运算、导数或函数单调性分析等方法，研究函数在不同区间的取值、单调性以及是否存在特定值等情况，进而判断各结论的正误.【详解】要使函数有意义，则需满足，解得且，所以且，故①正确.当时，，因为，当时，，当时，因为，，所以，故②正确；因为当时，，，所以，又所以，在上单调递减，当时，单调递增，所以，同理可得，在上单调递减，又时，，，所以当时，，所以即当时，函数图象在轴下方单调递减，当时，函数图象在上方单调递减，所以不存在，使得，故③错误；由②可联想考虑，则对任意，存在，使得1，故④正确.故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）函数的最小正周期为，单调增区间为.（2）函数在区间上的最大值为，最小值为．【分析】（1）利用两角差的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简可得：，利用最小正周期公式求周期，结合正弦函数性质求单调递增区间即可，（2）由正弦函数的单调性求出在区间上的单调性，结合单调性即可求出在区间上的最大值和最小值．【小问1详解】因为，所以所以

，所以函数的最小正周期，由得，，，所以函数的最小正周期为，单调增区间为.【小问2详解】由于

，令，解得：,所以函数的单调递减区间为，结合（1）可得，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，又，，所以,所以函数在区间上的最大值为，最小值为．17.【答案】（1）（2）分别列见详解，期望（3）相等【分析】（1）先算出甲同学“得分达到良好”的个数，再利用古典概型求解即可；（2）先算出乙同学“得分达到优秀”的个数，用样本估计总体，发现X服从二项分布，计算相关情况概率，写出分布列并计算期望；（3）分别求出甲乙样本的均值与方差比较即可.【小问1详解】根据题意甲同学“得分达到良好”的有：8，7.5，8，8，9，7.5共6个，所以从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率为.【小问2详解】乙同学“得分达到优秀”的有：8.5，9，9.5，9共4个，所以乙同学所以数学小练习中“得分达到优秀”的概率为，从中随机抽取3份，随机变量X服从二项分布，，，，，所以分布列为X0123P期望.【小问3详解】根据题意样本中甲同学成绩的均值，乙同学成绩的均值，所以甲同学成绩的方差，乙同学成绩的方差，所以甲、乙两位同学小练习成绩的方差相等.18.【答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）由余弦定理可求出，再由可求出；（2）若选择①：不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一；若选择②：由面积公式可求得，再代入可得，即可求出△ABC的周长；若选择③：由等面积法可求出，再代入可得，即可求出△ABC的周长.【小问1详解】由可得，由余弦定理可得：，因为，所以，又因为，所以，所以，因为，所以.【小问2详解】若选择①：因为，，所以，所以，则，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①.若选择②：由（1）可得，即，则，解得，再代入可得：，所以△ABC的周长为：.若选择③：由（1）可得，即，由可得：，所以，又因为AC边上的高等于，，所以，解得：，所以，，所以△ABC的周长为：.19.【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列方程组式求解，进而可得结果；（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.【小问1详解】由题意可得，解得.所以椭圆方程为.上顶点的坐标为；【小问2详解】由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设，联立方程，消去得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即,同理可得，所以线段的中点是定点.20.【答案】（1）（2）①证明见解析；②【分析】（1）利用导数的几何意义，结合题意得切线方程建立方程，解之即可求解；（2）①由（1），利用导数研究函数的单调性，结合零点的定义即可证明；②利用导数的几何意义求出切线方程，令可得，结合，利用导数研究函数的单调性可得当时，当时，即可求解.【小问1详解】由题意知，，所以曲线在处的切线的斜率为，又曲线在处的切线方程为，所以，解得；【小问2详解】①：由（1）知，，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，且当时，，当时，，所以函数在上存在唯一，使得，即函数在上存在唯一零点.②：由①知，切线的斜率为，又，所以，令，得，设，则，令或，或，所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，当时，，即，由①知，故不符合题意；当时，由，得，即，符合题意，故实数的取值范围为.21.【答案】（1）个，在圆上（2）证明见解析（3）【分析】（1）由题意可得，或，，即可得的“相关点”个数，再利用点到点的距离为定值即可得圆的方程；（2）由题意可得，，则，再利用为奇数即可得证；（3）先利用或可计算出的最小值，再表示出后可得的个数越多，则越大，再分、进行讨论即可得.【小问1详解】的“相关点”有个，且都在圆上，理由如下：由，且，，则，或，，故的“相关点”有个，又因为，即有，故这些“相关点”在圆上；【小问2详解】若与重合，则、，令、，则，，则，由（