2025北京贸大附中高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京贸大附中高三12月月考数学2025.12一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.1.已知集合，，若，则的值为（）A. B.1 C.2 D.32.已知复数，则（）A.4 B. C.5 D.3.若的展开式中，二项式系数和为64，则展开式的常数项为（）A.-240 B.240 C.15 D.-154.设，，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.5.已知，使为真命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.6.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A. B. C.2 D.7.已知等差数列，正项等比数列，则“”是“存在正整数，当时，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年，我国城乡深化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米，已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是（参考数据：，）（）A.1个月 B.3个月 C.半年 D.1年9.已知函数图像的两条相邻对称轴间的距离为，现将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，下列说法正确的是（）A.直线是函数的图像的一条对称轴B.点是函数图像的对称中心C.函数在上的值域是D.函数在上单调递增10.某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为2的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（）A. B. C. D.20二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.圆与直线相切于点，则圆的半径为__________，直线的方程为__________.12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为__________.13.已知定义在R上的函数满足下列条件：①；②；③图象关于点对称，则______．14.已知，，，．若，则的最大值为______．15.已知无穷数列的前项和满足，其中为常数，且．给出下列四个结论：①实数；②数列为等差数列；③当时，对任意，存在，当时，；④当恒成立时，一定为递减数列．其中所有正确结论的序号是_____．三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，．（1）求的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①.，．条件②.，．条件③.，．17.如图，在四棱锥中，，，，，，是棱上的点．（1）若，证明：平面；（2）若平面平面，直线与平面所成角的正弦值为，求的长．18.年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲.下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）.《哪吒之魔童降世》综合票房及占比《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比（1）从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率；（2）从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望；（3）设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）.19.已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴，（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值.20.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若，求k的取值范围；（3）设s，t为正数，证明：，至少有一个小于．21.已知集合A为非空数集.定义：（1）若集合，直接写出集合S，T；（2）若集合且．求证：；（3）若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值.

参考答案一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案CBBDBDABCC二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】①由条件可知点在圆上，即，解得：，圆的方程，所以圆的半径；设圆的圆心，②由条件可知直线与直线垂直，所以直线的斜率，所以直线的方程，即.故答案为：①;②12.【答案】由题意，画出图形，得，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴当且仅当时等号成立，即的最小值为.故答案为：.13.【答案】因为，所以图象关于对称，即又图象关于点对称，所以，即，令代替代入上式可得，即，所以函数的周期为8，所以，又，即.故答案为：.14.【答案】因为，所以以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系，因为，所以，则，因为，所以，又，即，所以，因为，即，平方化简为，设，则，所以的最大值为.故答案为：.15.【答案】对于①，当时，，移项可得，即，，，即，，故①正确.对于②，当时，，已知，则，等式两边同乘得，化简得，又，数列是以为首项，为公差的等差数列.故②正确.对于③，当时，则，由②可知数列是以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列通项公式可得，或，取，则当n为大于等于3的奇数时，，当n为奇数且时，，对任意，不存在，当时，，故③错误.对于④，由②可知数列是以为首项，为公差的等差数列，，即，，.当时，，则，，，故一定为递减数列．故④正确.故答案为：①②④三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.【答案】（1）由正弦定理可得，在中，，所以，所以原方程变为，因为，所以，所以原方程变为．（2）选择条件①：在中，因为，所以，因为，所以，又，所以，．因为，所以．由知角唯一确定，故存在且唯一确定，所以，由正弦定理，可得，设边上中线为，则由余弦定理得．即边上中线的长为．选择条件②：，．由余弦定理，即，即，可得或，故不唯一，不符合题意；选择条件③：，．由余弦定理，即，即，可得或（舍去），经检验存在且唯一确定，设边上的中线为，由余弦定理得．即边上中线的长为．17.【答案】（1）如图，过作交于，连接，则，；又，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以；又平面，平面，所以平面；（2）如图，作的中点，连接，过作交于，则，因为，所以；在中，因为，，所以，所以；又，所以，；又平面，平面平面，平面平面，所以平面；因此两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系，则，所以，，设，则，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以；所以，设直线与平面所成角，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得，或（舍去）；所以，即的长为.18.【答案】（1）由图电影《哪吒之魔童闹海》上映后电影综合票房比前一天增多的天数有7天，所以从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，该天电影综合票房比前一天增多的概率为；（2）由图可知两部电影综合票房占比均超过的天数共有4天，所以的取值有，所以的分布列为，所以的分布列数学期望；（3）因为，，又由图可知《哪吒之魔童降世》除个别数据外综合票房数据大小比较变化幅度较小，所以，所以，.19.【答案】（1）因为短轴长为2，所以，因为，所以，，又因为轴，所以，则，且，解得，则椭圆的标准方程为.（2）设，则，，联立，整理得，则，，则，直线：，令，得，故，，，则的中点坐标为，由于与的面积相等，故到直线的距离相等，因此的中点在上，可得，，则，解得，又，所以.20.【答案】（1）由题意可知的定义域为，.令，得，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的单调递增区间为，递减区间为.（2）当时，，不等式恒成立；当时，若，即，等价于①.令，，则，①式等价于，即.令，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.当，即时，.综上，若，则的取值范围是.（3）由（1）可知，当时，单调递增；当时，单调递减.（i）当时，，故，符合题意；（ii）当时，若，则，符合题意；若，则，即.当时，.令，则，令，则，单调递减，所以，所以，单调递增，则，即.令，则，