2025北京牛栏山一中高三10月月考数学试题及答案

高中2025北京牛栏山一中高三10月月考数学第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.如果集合，则（）A. B. C. D.2.复数满足，则（）A.1 B. C. D.3.若，则的大小关系为（）A. B. C. D.4.下列函数中满足定义域为且在上单调递增的是（）A. B. C. D.5.若函数满足.且当，则（）A. B.2 C. D.16.设是所在平面内的一点，满足，若，则（）A. B. C.1 D.27.对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，()A.3 B.4 C.5 D.69.某种生物的数量与时间（单位：天）之间的关系为：，其中表示该生物的初始数量，已知经过10天后，种群数量变为原来的2倍.求至少经过多少天，使该生物数量超过初始数量的10倍（参考数据：）（）A.23 B.24 C.33 D.3410.设，其中.当满足时，的最大可能取值为（）A.127 B.120 C.113 D.112第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.11.函数的定义域为______.12.已知是定义域为的连续奇函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为______.13.若，则的最小值为______.14.已知函数，当时，函数的值域为______.若函数有三个不同零点，则的取值范围是______.15.定义，集合是的非空子集.若集合满足：对于任意均有，则称集合为的“凸子集”.对于下列命题：①集合是的“凸子集”；②集合是的“凸子集”；③若集合、均为的“凸子集”，则集合也是的“凸子集”：④若集合、均为的“凸子集”，且，则集合也是的“凸子集”；其中正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6%，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）若与的夹角余弦值等于，求的值.（直接写答案）17.已知函数.（1）求；（2）若，求的取值范围；（3）设函数的定义域为，若存在，使得，求的最小值.18.数列满足.（1）求；（2）当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由：（3）求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件.19.已知.（1）令，求的最小值；（2）求证：当时，.20.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）已知，且直线是曲线在点处的切线.求证：当时，存在使得直线过点.21.已知是元数组集合，是的非空子集.对于任意元数组，定义与之间的距离为，记为子集的致密度，其中表示有限集中的最小数.（1）当时，直接写出的一个三元子集，使得其致密度；（2）当时，设是的子集.且满足致密度，求集合中元素个数的最大值，并说明理由：（3）设，记的致密度为，用表示集合中元素个数的最大值，证明：

参考答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.12345678910CACCCDBBDC第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.11.【答案】由，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.12.【答案】因为是定义域为的连续奇函数，其图象关于原点对称，又区间关于原点对称，所以函数在区间上的最大值与最小值之和为故答案为：.13.【答案】，当时，则有，所以的最小值为，当时，则有，此时没有最小值，综上所述：的最小值为，故答案为：14.【答案】当时，函数，当时，可得，可得；当时，可得，可得，所以函数的值域为；因为函数有三个不同零点，即有三个实数根，当时，由，可得，解得，若在上存在零点，则满足，解得；当时，由，可得，若方程在上两个实数根，设两根分别为，则满足解得，综上可得，若函数有三个不同零点，实数的取值范围为.故答案为：；.15.【答案】设，，，则，，即，，则点在线段上，由题意得，若对于任意，线段上一点，都有，则集合为的“凸子集”，对于命题①，集合，设，，如图，在的区域上，显然线段上任一点均在的区域上，即，所以集合是的“凸子集”，故命题①正确，对于命题②，因为，取，显然，取，则，又，而，又，所以，则集合不是的“凸子集”，故命题②错误；对于命题③，取，，若对于任意的满足，，则，函数的图象如下图，显然线段上任意一点，都有，即，

故为的“凸子集”，同理可得为的“凸子集”，如图所示，对于任意的满足，，则，但线段上存在点，不满足，也不满足，即，

所以集合不是的“凸子集”，故命题③错误；对命题④，若都是的“凸子集”，对于任意的，任意，则，，故，故也是的“凸子集”，所以命题④正确；故答案为：①④.三、解答题：本大题共6%，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2）或（3）【解析】（1）因为，又，则，解得，此时，，满足题意，所以.（2）因为，则，，又，则，所以，整理得到，解得或，所以的值为或.（3）因为，整理得到，解得或，当时，，所以不合题意，所以的值为.17.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）；（2）由该函数的解析式可知，由，或，因为，所以解得，或，或，或，因此的取值范围为；（3）显然，，即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，因为存在，使得，所以，因此的最小值为.18.【答案】（1）（2）不能，理由见解析（3）证明过程见解析【解析】（1）因为数列满足，所以；（2）假设数列能为等差数列，设它的公差为，，因此当时，恒成立，所以等式在时恒成立，所以有.因为，所以数列不能是等差数列.（3）当时，因为，所以，因此数列单调递增，当时，，显然数列单调递增，但是不成立，故“”是“数列单调递增”的充分不必要条件.19.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）因为，则，所以，易知，，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最小值为.（2）因为，则，由（1）可知在恒成立，所以在恒成立，即在区间上单调递增，所以当时，，即，命题得证.20.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）函数，求导得，则，而，所以函数图象在点处的切线方程为.（2）当时，函数，令，，则直线是曲线在点处的切线，当时，存在使得直线过点，等价于直线是曲线在点处的切线，当时，存在使得直线过点，由，求导得，则，而，于是直线的方程为，即，由，得，依题意，原问题转化为当时，方程有小于的解，设，其中，且，则，令，求导得，令函数，求导得，函数在上单调递增，于是，即，而，且函数图象连续不断，则存在，使得，即函数有小于1的零点，因此当时，方程有小于的解，所以当时，存在使得直线过点.21.【答案】（1）（2）8，理由见解析（3）证明见解析【解析】（1）.当时，满足题意.（2）中有个元素，与间的距离为4.要想满足，集合T中的任意两个4元数组中至少有两个数不同.不妨选定是的子集中含数组，则集合中的元素有如下几种情况