2025北京十一学校顺义学校高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京十一学校顺义学校高三12月月考数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知复数z=2+i，则A. B. C.3 D.53.抛物线上一点的横坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为（）A.2 B.3 C.4 D.54.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上（）A.所有点纵坐标伸长为原来的2倍B.所有点纵坐标缩短为原来的倍C.所有点横坐标伸长为原来2的倍D.所有点横坐标缩短为原来的倍5.已知等差数列的公差是，若，，成等比数列，则等于（）A. B. C. D.6.若非零实数，，满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.7.若，则称为函数的幸福点.设函数，则“”是“是的幸福点”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件8.设函数=（＞0，＜）的最小正周期为，且=，则（）A.在单调递减 B.在单调递减C.在单调递增 D.在单调递增9.某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（）A.307 B.308 C.309 D.31010.如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（）A.8 B.12 C.18 D.24第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.在的展开式中项的系数为______（用数字作答）12.若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为__________.13.已知函数，若，则的一个取值为__________．14.如图，在直角梯形ABCD中，AD=AB=4，BC=2，沿中位线EF折起，使得∠AEB为直角，连接AB，CD，则所得的几何体的体积为___________.15.已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题．共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长为．17.如图，在四棱锥中，为的中点，平面，，，．（1）若平面平面，求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张．为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下：用户平台购买景区门票用户（人）未购买景区门票用户（人）官方网站250750短视频200800景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为100元/人，其售票利润率分别是5%和2%．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率．（1）从短视频平台浏览用户中随机选取1人，估计此人为购买景区门票用户的概率，（2）从官方网站平台浏览用户中，随机选取3人，用表示这3人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望；（3）经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为15万人和40万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按5元/100人的标准支付，向短视频平台按4元/100人的标准支付．为了获得最大的净利润（净利润售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由．19.已知椭圆过点，离心率为，点为椭圆的上顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为，点在椭圆上不与椭圆的顶点重合），直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：直线过定点．20.设函数，直线是曲线在点处的切线．（1）当时，求的单调区间；（2）求证：不经过点；（3）当时，设点，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：）21.若有穷正整数数列A：，，，…，满足如下两个性质，则称数列A为T数列：①；②对任意的，都存在正整数，使得.（1）判断数列A：1，1，1，3，3，5和数列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T数列，说明理由；（2）已知数列A：，，，…，是T数列.（i）证明：对任意的，与不能同时成立；（ii）若n为奇数，求的最大值.

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．题号12345678910答案CDDDABBACC第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】的通项为，令，则，故项的系数为.故答案为：8012.【答案】因为双曲线的离心率为，所以，解得，所以所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：13.【答案】，，即，解得，，，.的一个取值为.故答案为：（答案不唯一）.14.【答案】过C作截面CMN，截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE-MCN和四棱锥C-MNFD，如下图：由题意易知，，，从而直三棱柱ABE-MCN的体积为，又因为，故，所以，从而四棱锥C-MNFD的体积为,所以所求几何体的体积.故答案为：6.15.【答案】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.三、解答题．共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）由余弦定理知，，因为，所以．（2）选择条件①：把，代入中，化简得，解得，所以存在两个，不符合题意；选择条件②：因为，，所以，由正弦定理知，，所以，因为，所以的面积．选择条件③：因为的周长为，且，所以，又，所以，解得，所以的面积.17.【答案】（1）因为，且平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.（2）取的中点，连接.因为为的中点，所以.又，所以.由平面知，所以两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：则所以，设平面的法向量为，则，即，令，解得，即.设平面的法向量为，则，即，令，解得，即.所以，即平面与平面夹角的余弦值为.18.【答案】（1）根据古典概型可知，短视频平台浏览用户是购买景区门票的概率为（2）官方网站平台浏览用户中购买景区门票的概率为，则随机抽取三人的购票费用总和随机变量可能的取值有四种情况，则，，，，可得随机变量的分布列，0100200300数学期望为（3）官方网站平台利润为（元）短视频平台利润为（元）可知官方网站平台利润更高，所以选择在官方网站平台继续加大广告宣传费用投入力度.19.【答案】（1）由题设可知，，所以，所以，所以椭圆的方程为；（2）由（1）知椭圆的方程为，．因为，，所以直线的方程为，即．设（，），，．因为三点共线，所以有，，所以，所以，则．因为三点共线，所以，即，所以．所以直线的方程为，即．又因为点在椭圆上，所以．所以直线的方程为．所以直线过定点．20.【答案】（1）当时，，定义域为则，令，即，解得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增.（2）由题意可知，则切线的斜率，切线点斜式方程为，把代入切线方程得，若切线过，等价于方程在上有解，设函数，则，可知当时，，函数在上单调递减，可得，即方程在上无解，即切线不过.（3）当时，，则，可知当时，，由（2）可知当时，切线方程为，当时，，即点，由（2）可知，则，当时，即，化简得，即，令，则，可知当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，在时，函数取得极小值，，即，在时，函数取得极大值，，即，当时，，可知在上函数恒成立，即方程在无解，所以不存在点使得成立.21.【答案】（1）数列A不是T数列，理由如下：对于数列A，因为，，且对任意的正整数，有，所以数列A不满足性质②，所以数列A不是T数列；数列B是T数列，理由如下：对于数列B，因为，，，，