2021年大学初等数论课后习题+考试题库附全解答案

2021年大学初等数论课后习题+考试题库附全解答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.若整数a、b满足a≡b(modm)，则下列哪项不一定成立？A.m|(a-b)B.a与b除以m的余数相同C.a=b+km（k为整数）D.a与b互质2.关于最大公约数gcd(a,b)，以下说法正确的是：A.若gcd(a,b)=1，则a与b均为质数B.gcd(a,b)是a和b的公倍数中最小的C.若a|bc且gcd(a,b)=1，则a|cD.gcd(a,b)一定小于a和b中的较小者3.欧拉函数φ(n)表示的是：A.小于n的质数的个数B.小于n且与n互质的正整数的个数C.n的所有正因数的个数D.n的标准分解式中质因数的个数4.若p为奇质数，则关于二次剩余的说法错误的是：A.模p的二次剩余恰有(p-1)/2个B.勒让德符号(a/p)=1表示a是模p的二次剩余C.若a是模p的二次剩余，则a^(p-1)/2≡1(modp)D.对于任意整数a，(a²/p)=15.同余方程ax≡b(modm)有解的条件是：A.a与m互质B.gcd(a,m)|bC.m为质数D.b为a的倍数6.中国剩余定理适用于：A.模数两两互质的同余方程组B.任意同余方程组C.仅含两个方程的同余方程组D.模数为质数的同余方程组7.关于完全数的叙述，正确的是：A.完全数都是奇数B.若2^p-1是质数，则2^(p-1)(2^p-1)是完全数C.完全数的个数是无限的D.28不是完全数8.费马小定理指出：若p是质数，且p不整除a，则：A.a^p≡a(modp)B.a^(p-1)≡1(modp)C.a^p≡1(modp)D.a^(p-2)≡1(modp)9.若n的标准分解式为n=p₁^α₁p₂^α₂…p_k^α_k，则φ(n)等于：A.n(1-1/p₁)(1-1/p₂)…(1-1/p_k)B.n/(p₁p₂…p_k)C.(p₁-1)(p₂-1)…(p_k-1)D.α₁α₂…α_k10.关于原根的存在性，以下正确的是：A.模m有原根的充要条件是m=2,4,p^α或2p^α（p为奇质数）B.任意模数m都存在原根C.仅质数模有原根D.模合数一定没有原根二、填空题（总共10题，每题2分）1.若a≡3(mod7)，b≡5(mod7)，则ab≡______(mod7)。2.不定方程7x+11y=1的通解为______。3.模13的最小正原根是______。4.若gcd(56,72)=d，则d=______。5.同余方程3x≡5(mod11)的解为______。6.欧拉函数φ(24)=______。7.若p为质数，则(p-1)!≡______(modp)。8.勒让德符号(3/11)的值为______。9.若n是正奇数，则n²≡______(mod8)。10.满足x≡2(mod3)，x≡3(mod5)的最小正整数解是______。三、判断题（总共10题，每题2分）1.若a≡b(modm)且c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)。（）2.任意大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。（）3.若a与m互质，则同余方程ax≡b(modm)有唯一解模m。（）4.模p的二次非剩余个数等于二次剩余个数。（）5.若n是合数，则φ(n)一定小于n-1。（）6.威尔逊定理指出：若p是质数，则(p-1)!≡-1(modp)。（）7.原根的阶等于模数m。（）8.若a是模m的原根，则a的幂模m两两不同。（）9.完全数一定是三角形数。（）10.中国剩余定理要求模数必须两两互质。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述欧几里得算法求最大公约数的步骤，并以gcd(1071,462)为例说明。2.解释什么是同余关系，并举例说明其基本性质。3.说明二次互反律的内容及其在数论中的意义。4.简述原根的定义，并说明模9是否存在原根。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论费马小定理与欧拉定理的联系与区别。2.分析中国剩余定理的证明思路，并说明为何模数需两两互质。3.探讨完全数的性质与已知的完全数形式。4.比较二次剩余与二次非剩余在模质数下的分布特性。答案与解析一、单项选择题1.D解析：a≡b(modm)意味着m|(a-b)，余数相同，且a=b+km，但a与b互质不一定成立，如a=6,b=12,m=6。2.C解析：选项A错误，如gcd(4,9)=1但4和9非质数；B错误，gcd是最大公约数；D错误，如gcd(8,8)=8；C是数论基本引理。3.B解析：欧拉函数φ(n)定义为小于n且与n互质的正整数个数。4.D解析：勒让德符号(a²/p)=1成立，但若a≡0(modp)，则(a/p)=0，故D不总是成立。5.B解析：ax≡b(modm)有解当且仅当gcd(a,m)|b。6.A解析：中国剩余定理要求模数两两互质。7.B解析：欧几里得-欧拉定理指出若2^p-1是质数，则2^(p-1)(2^p-1)是完全数。8.B解析：费马小定理为a^(p-1)≡1(modp)。9.A解析：欧拉函数公式为φ(n)=n∏(1-1/p_i)。10.A解析：原根存在性定理指出模m有原根当且仅当m=2,4,p^α或2p^α（p为奇质数）。二、填空题1.1解析：ab≡3×5=15≡1(mod7)。2.x=8+11t,y=-5-7t（t为整数）解析：扩展欧几里得算法得特解(8,-5)，通解为x=8+11t,y=-5-7t。3.2解析：2的幂模13依次为2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7,1，阶为12，故2是原根。4.8解析：56=2³×7，72=2³×3²，gcd=2³=8。5.x≡9(mod11)解析：3在模11下的逆元为4，x≡5×4=20≡9(mod11)。6.8解析：φ(24)=φ(2³×3)=24×(1-1/2)×(1-1/3)=8。7.-1解析：威尔逊定理：(p-1)!≡-1(modp)。8.1解析：3^(5)=243≡1(mod11)，故(3/11)=1。9.1解析：奇数n=2k+1，n²=4k(k+1)+1，k(k+1)为偶数，故n²≡1(mod8)。10.8解析：解同余方程组得x≡8(mod15)，最小正整数解为8。三、判断题1.√解析：同余式可相加。2.×解析：哥德巴赫猜想尚未证明。3.√解析：此时a模m有逆元，方程有唯一解。4.√解析：模p的二次剩余和非剩余各占(p-1)/2个。5.√解析：n为质数时φ(n)=n-1，合数时φ(n)<n-1。6.√解析：威尔逊定理内容。7.×解析：原根的阶是φ(m)，不一定等于m。8.√解析：原根的幂生成缩剩余系。9.√解析：完全数可表示为n(n+1)/2的形式。10.√解析：模数两两互质是定理的前提条件。四、简答题1.欧几里得算法基于gcd(a,b)=gcd(b,amodb)。计算gcd(1071,462)：1071÷462=2余147，gcd(462,147)；462÷147=3余21，gcd(147,21)；147÷21=7余0，故gcd=21。2.同余是整数间的等价关系，a≡b(modm)表示m整除a-b。性质包括自反性、对称性、传递性；运算性质如加法、乘法保同余。例如，若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，ac≡bd(modm)。3.二次互反律：对于奇质数p≠q，有(q/p)(p/q)=(-1)^((p-1)/2×(q-1)/2)。它简化了勒让德符号计算，是二次剩余理论的核心。4.原根是模m的一个整数g，使得g的幂模m能生成所有与m互质的剩余类。模9的缩系为{1,2,4,5,7,8}，φ(9)=6，但每个元素的阶均为3或1，无阶为6的元素，故模9无原根。五、讨论题1.费马小定理是欧拉定理的特例（模数为质数）。欧拉定理将模数推广到任意正整数m：若gcd(a,m)=1，则a^φ(m)≡1(modm)。区别在于适用范围，费马小定理要求模为质数，欧拉定理更一般。2.中国剩余定理的证明通过构造解完成。设模数两两互质，乘积为M，计算每个模数的逆元，线性组合得解。模数互质确保逆元存在，且解在模M下唯一。若模数不互质