一次函数与方程（组）、不等式课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

23.3一次函数与方程（组）、不等式1.理解并掌握一次函数与方程（组）、不等式的转化关系及其本质联系.2.能运用函数的图象解释方程（组）的解、不等式的解集，并能通过图象求解或解集，利用一次函数图象的性质，解决实际问题.

今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.二元一次方程一次函数到我这里来到我这里来这是怎么回事？x+y=5

应该坐在哪里呢？探究1如图，一次函数y=2x－1的图象与x

轴交点的横坐标是0.5.当自变量x

的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x－1=0的解吗？yO－11x1－1

y=2x－1yO－11x1－1

y=2x－11.从“数”的角度看：一次函数问题方程的解2x－1=0可以看作函数y=2x－1，当y=0时，求x的值x=0.52.从“形”的角度看：一次函数问题2x－1=0在直线y=2x－1上取纵坐标为0的点，求其横坐标(0.5,0)求ax+b=0（a，b是常数，a≠0）的解一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值从“数”的角度看从“形”的角度看求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标数形结合

B探究2如图，利用一次函数y=2x–1的图象，你能得出函数值大于0时x

的取值范围吗？函数值小于0时呢？yO－11x1－1

y=2x－11.从“数”的角度看：一次函数问题不等式的解2x－1>0可以看作函数y=2x－1，当y>0时，求x的取值范围x>0.52x－1<0可以看作函数y=2x－1，当y<0时，求x的取值范围x<0.5yO－11x1－1

y=2x－12.从“形”的角度看：一次函数问题2x－1>0在直线y=2x－1上取纵坐标大于0的点，求其横坐标的范围2x－1<0在直线y=2x－1上取纵坐标小于0的点，求其横坐标的范围从“数”的角度看求ax+b>0(或ax+b<0)(a,b是常数，a≠0)的解集求一次函数y=ax+b的函数值大于0(或小于0)，求自变量x的取值范围求直线y=ax+b在x轴上方(或下方)部分的自变量x的取值范围从“形”的角度看数形结合2.在平面直角坐标系中，一次函数y=kx和y=mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式(k-m)x-n>0的解集是________．kx>mx+nx>1探究3我们知道，方程2x－y=1可以转化为y=2x－1，它们有相同的解.y=2x－1对应一次函数y=2x－1.类似地，对于二元一次方程2x－y=3，可以将其写成一次函数___________的形式．y=2x－3问题1：画出一次函数y=2x－3的图象；问题2：找出一次函数y=2x－3的几组解；问题3：将问题2中找出的几组解在平面直角坐标系中描出，你发现了什么?y=2x－3找出的几组解在平面直角坐标系中描出后，均在直线y=2x－3上．x=﹣1，y=﹣5x=0，y=﹣3x=1，y=﹣1x=2，y=1x=3，y=3x=4，y=5问题4：在一次函数y=2x－3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x－y=3的解吗?y=2x－3找出的几组解在平面直角坐标系中描出后，均在直线y=2x－3上．由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上．二元一次方程二元一次方程的解一次函数一条直线一次函数两变量的值直线上点的坐标对应对应对应对应3.直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y=2的解的是()C

yO－1213x2－2－113y=2x

－1P(1,1)

2x－y=1，3x+5y=8，（2）解方程组并结合（1）中的交点坐标，说说你的发现.解方程组

得

2x－y=1，3x+5y=8，x=1，y=1.发现：（1）中两条直线交点的坐标(x,y)的值即为方程组的解．yO－1213x2－2－113y=2x

－1P(1,1)

从数的角度看：

解这样的方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是何值；

由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从形的角度看：解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.例

同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min.（1）分别写出表示两个气球所在位置的高度y（单位：m）关于上升时间x（单位：s）的函数解析式；=起始高度+上升高度.解：气球上升时间x满足0≤x≤60.对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5.对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.（2）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？从“数”的角度看：就是对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此可列二元一次方程组y=x+5，y=0.5x+15.解这个方程组，得x=20，y=25.这就是说，当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.从“形”的角度看：同一坐标系中，这两条直线的交点坐标为(20,25)，这说明气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.y/mO105152025x/s1051520y=x+5y=0.5x+15P(20,25)一次函数与方程、不等式解一元一次方程对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与__________的横坐标.解一元一次不等式对应一次函数的函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围，即在_________________的图象所对应的

x

取值范围.

解二元一次方程组求对应两条直线____________x轴交点

x

轴上方

(或下方)交点的坐标1.已知直线y=ax-b的图象如图所示，则关于x的方程ax-b=0的解为x=_____，当x=0时，y=_____.2-12.一次函数y=ax+b的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥0的解集是().

A.x≥2 B.x≤2 C.x≥4 D.x≤4B（1）求每种付酬方案中y关于x的函数解析式；方案一：y=40x.方案二：y=20x+600.3.某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是每月推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬.公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：（2）当推销产品多少件时，选择方案一与选择方案二所得报酬