专题09 几何中种动角问题的两种考法（原卷版）（人教版）

专题09几何中动角问题的两种考法

类型一、判断角的数量之间的关系

例．如图所示，O是直线AB上的一点，COD是直角，OE平分BOC．

（1）如图①，若AOC28，求DOE的度数；

（2）在图①，若AOC，直接写出DOE的度数_________（用含a的代数式表示）；

（3）将图①中的COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置．

①探究AOC和DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；

②在AOC的内部有一条射线OF，满足AOC4AOF2BOEAOF，试确定AOF与DOE的度

数之间的关系，说明理由．

【变式训练1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．

(1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案）

(2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由；

(3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论

直接写在你画的图的下面）

【变式训练2】如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使BOC70，将一个直角三角形的直角顶

点放在点O处．（注：DOE90）

（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则COE________；

（2）如图②，将直角三角板DOE转到如图位置，当OC恰好平分DOE时，求BOD的度数；

（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在BOC的内部，直接写出BOD和COE

的数量关系_________．

【变式训练3】已知AOB100，COD40，OE，OF分别平分AOD，BOD．

(1)如图1，当OA，OC重合时，EOF度；

(2)若将COD的从图1的位置绕点O顺时针旋转，旋转角AOC，满足090且40．

①如图2，用等式表示BOF与COE之间的数量关系，并说明理由；

②在COD旋转过程中，请用等式表示BOE与COF之间的数量关系，并直接写出答案．

【变式训练4】如图，已知AOB150，将一个直角三角形纸片(D90)的一个顶点放在点O处，现将

三角形纸片绕点O任意转动，OM平分斜边OC与OA的夹角，ON平分BOD.

（1）将三角形纸片绕点O转动(三角形纸片始终保持在AOB的内部)，若COD30，则MON_______；

（2）将三角形纸片绕点O转动(三角形纸片始终保持在AOB的内部)，若射线OD恰好平分MON，若

MON8COD，求COD的度数;

（3）将三角形纸片绕点O从OC与OA重合位置逆时针转到OD与OA重合的位置，猜想在转动过程中COD

和MON的数量关系？并说明理由.

类型二、定值问题

例．已知将一副三角尺（直角三角尺OAB和OCD）的两个顶点重合于点O，AOB90，COD30

（1）如图1，将三角尺COD绕点O逆时针方向转动，当OB恰好平分COD时，求AOC的度数；

（2）如图2，当三角尺OCD摆放在AOB内部时，作射线OM平分AOC，射线ON平分BOD，如果三

角尺OCD在AOB内绕点O任意转动，MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明

理由．

【变式训练1】如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方

向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM、ON

同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）

（1）当t=2时，∠MON的度数为，∠BON的度数为；∠MOC的度数为

（2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t的值；

7COM2BON

（3）当0＜t＜6时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定

MON

值？

【变式训练2】已知将一副三角板（AOB90,COD30）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将

直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置．

（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，BOD_______度；如图2，若要OB恰好平分COD，

则AOC_______度；

（2）如图3，当三角板OCD摆放在AOB内部时，作射线OM平分AOC，射线ON平分BOD，如果三

角板OCD在AOB内绕点O任意转动，MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说

明理由．

（3）当三角板OCD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线OM平分AOC、射线ON

平分BOD（AOC180,BOD180），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，

请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时MON的度数是多少）．

类型三、求值问题

例.如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，AOC30，将一直角三角板（M30）的

直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（注：本题旋转角

度最多180．）

（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t秒后，AON______

度（用含t的式子表示），若OM恰好平分BOC，则t______秒（直接写结果）．

（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6的速度沿顺时针方向旋转，

如图3，经过t秒后，AOC______度（用含t的式子表示）若OC平分MON，求t为多少秒？

（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC平分BOM？（直接写结果）

【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝；

（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；

（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方

向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°）

①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．

②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？

【变式训练2】如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，AOB，BOC．（本

题所涉及的角都是小于180°的角）

(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：

①当40，70时，COM______，CON______，MON______；

②MON______（用含有或的代数式表示）．

(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：

①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；

②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；

（∠MON的度数用含有或的代数式表示）

(3)如图（4），当40，70时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时

射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分

钟时，∠MON的度数是40°？

【变式训练3】如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2的速

度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4的速度旋转，如图2，设旋转时间为t(0t90)．

（1）用含t的代数式表示：MOA_______，MOB_______．

（2）在运动过程中，当AOB60时，求t的值．

（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得直线OB平分由射线OM、射线OA、射线ON中的任意两条

射线组成的角（大于0而小于180）？

课后训练

1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使BOC120．将一直角三角板的直角顶点放

在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方．

(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在BOC的内部，且恰好平分BOC．问：此时

直线ON是否平分AOC？请说明理由．

(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON

恰好平分AOC，则n的值为______（点接写结果）

(3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在AOC的内部时，AOMNOC的度数是多少？

2．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC

＝10°，以O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合．射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速

旋转，转速为1度/秒，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，（射线OQ旋转至与射线OF重合时

停止，射线OP旋转至与射线OE重合时停止），两条射线同时开始旋转（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）．

(1)直接写出射线OP停止运动时的时间．

(2)当射线OP平分∠AOC时，直接写山它的旋转时间．

(3)若射线OQ的转速为3度/秒，当∠POQ＝70°时，直接写出射线OP的旋转时间．

(4)若∠POA＝2∠POB时，射线OQ旋转到的位置恰好将∠AOB分成度数比为1：2的两个角，直接写出射

线OQ的旋转速度．

3．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

(1)如图1，若∠AOC=48°，求∠DOE的度数；

(2)如图1，若∠AOC=α，则∠DOE的度数为(用含有α的式子表示)；

(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出

你的结论，并说明理由．

(4)将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC=α，则∠DOE的度数

为(用含有α的式子表示)，不必说明理由．

4．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，AOC30，将一直角三角板（M30）的直角

顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（注：本题旋转角度最多180．）

（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t秒后，AON______

度（用含t的式子表示），若OM恰好平分BOC，则t______秒（直接写结果）．

（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6的速度沿顺时针方向旋转，

如图3，经过t秒后，AOC______度（用含t的式子表示）若OC平分MON，求t为多少秒？

（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC平分BOM？（直接写结果）

5．已知:AOB和COD是直角．

（1）如图，当射线OB在COD内部时，请探究