专题07 一元一次方程实际应用的六种考法（原卷版）（人教版）

专题07一元一次方程实际应用的六种考法

1.数字问题

例．（1）把100拆分成2个数的和，使得第一个数加3，第二个数减3，得到的结果相等．则拆分成的这两

个数分别是和；

（2）把100拆分成2个数的和，使得第一个数乘2．第二个数除以2，得到的结果相等．则拆分成的这两

个数分别是和；

（3）把100拆分成4个数的和，使得第一个数加5，第二个数减5，第三个数乘5，第4个数除以5，得到

的的结果都相等，问拆分成的这四个数分别是多少．

【变式训练1】将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表．

(1)写出数表所表示的规律；（至少写出4个）

(2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，求方框里中间数是多少？

【变式训练2】如图所示的10×5（行×列）的数阵，是由一些连续奇数组成的．

(1)形如图框中的四个数，设第一行的第一个数为x，用含x的式子表示另外三个数；

(2)若这样框中的四个数的和是200，求出这四个数；

(3)是否存在这样的四个数，它们的和为296？为什么？

【变式训练3】将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数表．

(1)十字形框内的五个数之和是中间数的______；若设十字形框内的五个数中最中间一个数是x，用代数式表

示十字形框内五个数之和为______；

(2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述规律吗？直接写出答案，不需要证

明；

(3)十字形框能否框到五个数，使这五个数之和等于2400呢？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．

2.配套问题

例．列方程解应用题

某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生

产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已

有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．

(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌

装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？

(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？

【变式训练1】小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，

每张白板纸可以用A，B，两种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板

纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白

板纸．

(1)按B种方法剪裁的有______张白板纸；（用含x的代数式表示）

(2)将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？

【变式训练2】某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣

和一条裤子为一套．

(1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？

(2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几

件上衣或裤子？（本问直接写出结果）

【变式训练3】某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个

G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型

装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置

数量正好全部配套组成GH型产品．

(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？

(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，

且每人每天只能加工4个G型装置．请问至少需要补充多少名新工人？

3.销售利润问题

例.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%

的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、

乙两件服装的成本各为多少元？

【变式训练1】“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果篮和坚果礼盒，每个

水果篮的成本为200元，每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多100

元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润相同．

(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；

(2)在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动．水果店规定，

每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒，每个水果篮在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100

元减m元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售

卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求

m的值．

【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产

品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产

品售价和为300元．

(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？

(2)今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价

不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价

2

将提高2a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．

3

【变式训练3】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：

进价（元/只）售价（元/只）

甲型2530

乙型4560

（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？

（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯

的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？

【变式训练4】武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装商品

每件售价1200元，可盈利50%．

（1）每件甲种服装利润率为，乙种服装每件进价为元；

（2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，

共盈利多少？

（3）在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”（比如：某顾客购物1200元，他只

需付款700元）．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减500元”的活动．张先生买

了一件标价为3200元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了20元钱问大洋百货商场晚上八点后

推出的活动是先打多少折之后再参加活动？

4.工程问题

例．某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程，由甲、乙两个施工小队分别从南、

北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米，经过5天施工后，两个小队共完成施工路段135

米．

(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？

(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1米，乙队平均每天

能比原来多施工2米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道路改造任务？

【变式训练1】某校职工周转房已经落成，有一些结构相同的房间需要粉刷墙面．已知3名一级技工去粉刷

8个房间，结果有30m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间，另外又多粉刷20m2

墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷12m2墙面．

(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；（列方程解决问题）

(2)若粉刷1m2墙面给付一级技工6元费用，给付二级技工5.5元费用，问一级技工和二级技工每人每天各挣

多少工钱？

【变式训练2】湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程，该工程预算国拨总投资为24亿

4

元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的，设施投资比土建投资少40%、由于物

5

价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍，设施投资的增长

率达到路面投资增长率的2倍，

(1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？

(2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100万辆，每辆车的平均收益为40元．这样，可

将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分

率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿元？

5.行程问题

例．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、

乙两人间的距离为s(km)）与甲行驶的时间为t(h)之间的关系如图所示．

(1)以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上．

①甲到达终点_________．

②甲乙两人相遇_________．

③乙到达终点_________．

(2)AB两地之间的路程为_________千米；

(3)求甲、乙各自的速度；

(4)如果乙到达A地后立刻原路原速返回到B地，在甲到达B地的过程中，甲出发_________小时，甲乙相距

100千米．

【变式训练1】为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A

市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原

速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两

车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．

(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；

(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变

量的取值范围）；

(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．

【变式训练2】随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出

租车、滴滴快车等网约车，收费标准见下图．

出租车滴滴快车

起步价：14元起步价：12元

里程费：超过3公里的部分里程费：2.5元/公里

2.4元/公里时长费：0.4元/分钟

（不足1公里按1公里计）（滴滴快车行驶的平均速度为40公里/时）

(1)若乘坐这两种网约车的里程数都是9公里，则发现乘坐出租车最节省钱，求乘坐出租车费用为多少元？

(2)若从甲地到乙地，乘坐滴滴快车比出租车多用15元，求甲、乙两地间的里程数．

【变式训练3】A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速

行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．

（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；

（2）当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；

（3）若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为

2.2h，求C地距离A地路程．

6.方案问题

例.2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中

甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：

数量（张）1﹣5051﹣100101张及以上

单价（元/张）60元50元40元

如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．

（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？

（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？

（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你

如何购买门票才能最省钱？

【变式训练1】2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗

舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活

动，活动期间向客户提供两种优惠方案．

方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；

方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．

某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（x＞30）．

(1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款_______元（用含x的代数式表示）；

若该户外俱乐部按方案B购买，需付款_______元（用含x的代数式表示）．

(2)若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算：

(3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．

【变式训练2】某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加

工时间为4a1小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为2b3小时．

(1)当ab1时，两条生产线的加工时间分别是多少小时？

(2)某一天，该企业把5吨原材料分配到A、B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间

相同，则分配到两条生产线的吨数是多少？

【变式训练3】某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A、B两家超市了解到：同

型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，

B超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架a只．

(1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款（用

含a的式子表示）；

(2)在（1）的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？

(3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计

一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？

课后作业

1．[教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部分内容．

问题3课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工

人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题：

（1）两人合作需要__________天完成．

（2）李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到

报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？

[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余

下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．

2．为打造“安全、环保、生态”的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点（每处需安装相同长度的排污

治理管道），一天甲队3名工人去完成5个治理点管道铺设，但还有60米管道未来得及完成，乙队4名工

人完成5个治理点后，仍多铺设了40米管道，每名甲队工人比乙队工人每天多铺设20米管道．

(1)求每个排污治理点需铺设的管道长度；

(2)已知每位甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市共设立50个排污治理

点，另有5880米的同样的污水排放管道也需要安装．现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案

一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；（不到一天按一天算）．若要使总费用最少，应选择哪种

方案？请通过计算说明．

3．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基

地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师

带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：

甲型客车乙型客车

载客量（人/辆）3530

租金（元/辆）400320

学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．

(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？

(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？

(3)学校租车总费用最少是多少元？

4．某次篮球联赛积分榜如下表所示：

队名比赛场次胜场负场积分

前进1410424

东方149523

远大147721

恒大1441018

蓝天1401414

(1)通过观察积分表，填空：胜一场得分，负一场得分．

(2)雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况．

(3)联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请

你通过数学计算判断该队长是否说谎．

5．假期，某校4位教师和