初中数学八年级下册《分式》单元概念与性质深度探究教案

初中数学八年级下册《分式》单元概念与性质深度探究教案

一、前端分析

（一）教材内容深度解构

本章内容隶属于“数与代数”领域，是学生在完成了有理数、整式及其运算的学习之后，代数知识体系的一次关键扩充与深化。从数的角度看，分式是分数概念在代数式范畴内的自然推广；从式的角度看，分式是继整式之后，对代数式形式的进一步丰富，为后续学习函数（特别是反比例函数）、方程（分式方程）以及更复杂的代数运算奠定不可或缺的基础。

本单元以“分式的概念”为逻辑起点，明确分式作为两个整式相除（分母中含字母）的代数表达式的本质。核心在于“分式的基本性质”，该性质不仅是分式变形的理论基石（约分、通分），更是贯通分数与分式、联系整式运算与分式运算的桥梁。教材的编排遵循“背景引入—抽象概念—探究性质—初步应用”的认知脉络，体现了从具体到抽象、从特殊到一般、从模仿到创新的数学思维建构过程。

在学科大概念的视域下，本单元是“运算与关系”这一核心主题的重要组成部分。它深化了学生对“运算对象”扩展的理解（从数到整式再到分式），并强化了“等价变形”与“恒等变换”的数学思想。其学习效果直接影响学生对代数系统整体性、层次性的认知，以及对后续函数、方程中变量关系复杂性的处理能力。

（二）学情精准诊断

八年级下学期的学生，其抽象逻辑思维正从经验型向理论型加速转化，具备了一定的符号意识、运算能力和类比推理能力。

已有的认知基础包括：

1.扎实的有理数（分数）运算技能，深刻理解分数的基本性质及其在约分、通分中的应用。

2.系统的整式概念及整式的加、减、乘（包括幂的运算）运算能力。

3.初步的代数思维，能够用字母表示数，理解代数式的含义。

可能存在的认知障碍与思维难点在于：

1.从“数”到“式”的抽象飞跃：学生容易将分数运算的经验机械迁移至分式，但可能忽视分母为“字母代数式”所带来的根本性变化，即分母的“不确定性”。这种不确定性引出了“分式有意义的条件”这一全新且关键的概念。

2.对“形式”与“本质”的辩证理解：分式在形式上表现为A/B，但其本质是除法运算。学生可能仅将其视作一个静态的“式子”，而忽略其背后的“过程”（相除）和“结果”（在分母不为零时为一个值）。对分式基本性质的理解，需建立在对其“值不变”这一动态本质的把握上。

3.分类讨论思想的初步应用：讨论分式有意义、无意义、值为零的条件，是学生首次在代数式学习中系统、规范地运用分类讨论思想，这对思维的严谨性和条理性提出了较高要求。

4.复杂情境下的符号处理：分式中的分子、分母可能是多项式，在进行条件判断、约分、变形时，对学生的整式因式分解能力、整体观察能力提出了即时挑战。

（三）核心素养导向的教学目标

基于以上分析，确立以下三维教学目标：

1.知识与技能：

1.2.理解分式的概念，能准确识别分式，并能用分式表示现实情境中的数量关系。

2.3.深刻掌握分式有意义的条件，会求分式有意义时字母的取值范围。

3.4.理解分式值为零的条件，并能熟练求解。

4.5.通过类比分数，探索、理解并掌握分式的基本性质，了解其作为分式约分与通分的理论依据。

5.6.能初步运用分式的基本性质进行简单的约分和通分。

7.过程与方法：

1.8.经历从具体情境中抽象出分式概念的过程，体会模型思想。

2.9.通过类比分数概念与性质，探究分式的概念与性质，发展类比推理和合情推理能力。

3.10.在探究分式有意义、值为零的条件及运用基本性质的过程中，体会分类讨论、从特殊到一般、化归等数学思想方法。

4.11.通过小组合作、交流研讨，提升数学语言表达和逻辑论证能力。

12.情感、态度与价值观：

1.13.感受分式来源于实际又服务于实际的价值，激发学习兴趣。

2.14.在类比探究中体验数学知识之间的内在联系与统一性，感受数学的严谨与和谐。

3.15.养成独立思考、合作交流、言必有据的良好学习习惯，增强克服困难的信心。

（四）教学重难点研判

1.教学重点：分式的概念；分式有意义的条件；分式的基本性质。

2.教学难点：从分数到分式的意义建构与思维跃迁；灵活运用分式的基本性质进行变形；对分式值为零等条件的综合分析与求解。

（五）教学资源与技术支持

1.多媒体课件（呈现问题情境、动态演示、要点归纳）。

2.几何画板或类似动态数学软件（用于可视化探究分式值随字母变化而变化的规律）。

3.实物投影仪（展示学生探究成果）。

4.设计精当的学案（导学、探究、反馈）。

二、教学过程实施

第一课时：分式的概念及其意义

（一）创设情境，提出问题（时长：约8分钟）

1.情境一（几何中的度量）：

1.2.展示问题：一块长方形的田地面积为S

S

S平方米，长为a

a

a米，则宽可表示为______米。若另一块田地面积为(

x

2

−

y

2

)

(x^2-y^2)

(x2−y2)平方米，长为(

x

+

y

)

(x+y)

(x+y)米，则宽可表示为______米。

2.3.学生快速口答：S

/

a

S/a

S/a，(

x

2

−

y

2

)

/

(

x

+

y

)

(x^2-y^2)/(x+y)

(x2−y2)/(x+y)。

3.4.引导：第二个表达式在形式上与第一个（分数）类似，但分子、分母由数变成了代数式。

5.情境二（行程问题中的关系）：

1.6.呈现问题：一列火车提速后，行驶s

s

s千米比提速前节省了t

t

t小时。已知提速前后的速度分别为v

1

v_1

v1​千米/时和v

2

v_2

v2​千米/时。你能用含有s

,

t

,

v

1

,

v

2

s,t,v_1,v_2

s,t,v1​,v2​的式子表示提速后比提速前每小时多走的路程吗？

2.7.引导学生分析：提速后速度为s

/

(

原时间

−

t

)

s/(原时间-t)

s/(原时间−t)…最终可得到诸如s

s

v

2

−

t

−

v

2

\frac{s}{\frac{s}{v_2}-t}-v_2

v2​s​−ts​−v2​或其它等价形式，其中必然出现分母含有字母的式子。

8.情境三（经济生活中的单价）：

1.9.问题：某商品原价m

m

m元，现打n

n

n折出售，则现价可表示为______元。若用a

a

a元购买此打折商品，能购买的数量为______件。

2.10.学生得出：现价为0.1

n

⋅

m

0.1n\cdotm

0.1n⋅m元，数量为a

/

(

0.1

n

⋅

m

)

a/(0.1n\cdotm)

a/(0.1n⋅m)。

11.观察与聚焦：

1.12.将上述问题中得到的代数式S

/

a

S/a

S/a，(

x

2

−

y

2

)

/

(

x

+

y

)

(x^2-y^2)/(x+y)

(x2−y2)/(x+y)，a

/

(

0.1

n

⋅

m

)

a/(0.1n\cdotm)

a/(0.1n⋅m)等并列展示。

2.13.提问：这些式子与之前学过的整式（如3

x

3x

3x,a

+

b

a+b

a+b,x

2

−

1

x^2-1

x2−1）有什么明显的不同？

3.14.学生归纳：它们都含有除法运算，并且分母中含有字母。

（二）抽象概括，形成概念（时长：约12分钟）

1.定义初探：

1.2.引导学生类比分数（两个整数相除）的定义，尝试描述这类式子的特征。

2.3.学生尝试表述：形如A/B，其中A、B是整式，且B中含有字母。

3.4.教师板书规范定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成A

B

\frac{A}{B}

BA​的形式。如果B中含有字母，式子A

B

\frac{A}{B}

BA​就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

4.5.强调三个关键词：“整式”、“相除”、“分母含字母”。特别指出，分式是两个整式相除的商，分数线兼具除号和括号的作用。

6.概念辨析（深度互动）：

1.7.出示一组式子：3

/

x

3/x

3/x,(

x

+

y

)

/

2

(x+y)/2

(x+y)/2,1

/

(

a

−

1

)

1/(a-1)

1/(a−1),0.5

x

0.5x

0.5x,(

m

−

n

)

/

π

(m-n)/π

(m−n)/π,1

/

(

x

+

1

/

y

)

1/(x+1/y)

1/(x+1/y)。

2.8.任务一：快速判断哪些是分式？哪些是整式？并说明理由。

3.9.重点辨析：

1.4.10.(

x

+

y

)

/

2

(x+y)/2

(x+y)/2：分母是数字2，属于整式（单项式）。

2.5.11.(

m

−

n

)

/

π

(m-n)/π

(m−n)/π：π是常数，不是字母，故该式是整式。

3.6.12.1

/

(

x

+

1

/

y

)

1/(x+1/y)

1/(x+1/y)：分母x

+

1

/

y

x+1/y

x+1/y不是整式（因为1

/

y

1/y

1/y是分式），因此整个式子不符合分式定义。这引出了对分子、分母必须为“整式”这一前提的深刻理解。

7.13.归纳：判断分式的唯一标准是定义，核心是“分母中含有字母，且分母是整式”。

14.概念符号化与理解：

1.15.强调分式中字母的代表性：A、B可以是任意整式，包括单独的数或字母，以及多项式。

2.16.练习：请写出几个形式不同的分式（如分子为常数、分子为多项式等）。

（三）探究深化，理解内涵（时长：约15分钟）

1.分式的“值”与“存在性”：

1.2.提出问题：对于分式x

−

1

x

−

2

\frac{x-1}{x-2}

x−2x−1​，

1.2.3.当x

=

3

x=3

x=3时，它的值是多少？（代入计算，值为2）

2.3.4.当x

=

2

x=2

x=2时，它的值是多少？学生计算：分母为0，算式无意义。

4.5.追问：是不是所有分式都一定有意义？什么情况下分式无意义？

5.6.学生通过具体实例归纳：当分母的值为0时，分式无意义。

7.归纳分式有意义的条件：

1.8.引导学生用数学语言精准表述：分式A

B

\frac{A}{B}

BA​有意义的条件是B

≠

0

B\neq0

B=0。

2.9.深化理解：因为分式表示除法运算，而除数不能为零。

10.例题精讲与变式：

1.11.例1：下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？

(1)2

x

\frac{2}{x}

x2​(2)1

x

−

3

\frac{1}{x-3}

x−31​(3)x

+

2

2

x

−

5

\frac{x+2}{2x-5}

2x−5x+2​(4)3

x

2

−

1

\frac{3}{x^2-1}

x2−13​

2.12.学生口答，教师板书规范步骤：要使分式有意义，则分母≠0。解对应的方程或不等式。

1.3.13.(1)x

≠

0

x\neq0

x=0

2.4.14.(2)x

−

3

≠

0

x-3\neq0

x−3=0，即x

≠

3

x\neq3

x=3

3.5.15.(3)2

x

−

5

≠

0

2x-5\neq0

2x−5=0，即x

≠

5

2

x\neq\frac{5}{2}

x=25​

4.6.16.(4)x

2

−

1

≠

0

x^2-1\neq0

x2−1=0，即x

≠

1

x\neq1

x=1且x

≠

−

1

x\neq-1

x=−1

7.17.变式探究：对于(4)，若改为“分式无意义”，则条件是什么？（x

=

1

x=1

x=1或x

=

−

1

x=-1

x=−1）。明确“有意义”与“无意义”是互斥的。

18.探究分式值为零的条件：

1.19.回到分式x

−

1

x

−

2

\frac{x-1}{x-2}

x−2x−1​，提问：当x

x

x取何值时，分式的值为零？

2.20.学生可能直接令分子x

−

1

=

0

x-1=0

x−1=0，得x

=

1

x=1

x=1。教师追问：当x

=

1

x=1

x=1时，分母x

−

2

=

−

1

≠

0

x-2=-1\neq0

x−2=−1=0，符合条件。若分式为x

−

1

x

−

1

\frac{x-1}{x-1}

x−1x−1​呢？当x

=

1

x=1

x=1时，分子分母同时为0，分式无意义，值不为零。

3.21.学生小组讨论，总结分式值为零的条件：

1.4.22.分子等于零；

2.5.23.分母不等于零。

6.24.数学语言：分式A

B

=

0

\frac{A}{B}=0

BA​=0的条件是A

=

0

A=0

A=0且B

≠

0

B\neq0

B=0。二者必须同时满足。

25.综合应用：

1.26.例2：当x

x

x为何值时，分式∣

x

∣

−

2

x

2

−

5

x

+

6

\frac{|x|-2}{x^2-5x+6}

x2−5x+6∣x∣−2​的值为零？

2.27.引导学生分步分析：

第一步：令分子为零，∣

x

∣

−

2

=

0

|x|-2=0

∣x∣−2=0，得x

=

2

x=2

x=2或x

=

−

2

x=-2

x=−2。

第二步：检查分母：当x

=

2

x=2

x=2时，分母2

2

−

5

×

2

+

6

=

0

2^2-5\times2+6=0

22−5×2+6=0，分式无意义，舍去；当x

=

−

2

x=-2

x=−2时，分母(

−

2

)

2

−

5

×

(

−

2

)

+

6

=

20

≠

0

(-2)^2-5\times(-2)+6=20\neq0

(−2)2−5×(−2)+6=20=0。

第三步：结论：当x

=

−

2

x=-2

x=−2时，分式的值为零。

3.28.强调解题规范：必须验证分母是否为零。

（四）巩固练习，分层递进（时长：约7分钟）

1.基础巩固：

1.2.判断哪些是分式。

2.3.填空：当x

x

x______时，分式5

3

x

\frac{5}{3x}

3x5​有意义；当x

x

x______时，分式x

x

+

1

\frac{x}{x+1}

x+1x​无意义。

3.4.当x

x

x为何值时，分式2

x

−

4

x

+

3

\frac{2x-4}{x+3}

x+32x−4​的值为零？

5.能力提升：

1.6.已知分式x

2

−

4

x

−

2

\frac{x^2-4}{x-2}

x−2x2−4​。

(1)当x

=

3

x=3

x=3时，分式的值是多少？

(2)当x

x

x为何值时，分式无意义？

(3)当x

x

x为何值时，分式的值为零？

(4)观察(1)(3)，你对这个分式有什么新的发现？（引发对约分和分式恒等变形的初步思考，为下节课铺垫）

（五）课堂小结，反思建构（时长：约3分钟）

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行小结：

1.知识：今天我们学习了什么叫做分式，以及分式有意义、无意义、值为零的条件。

2.方法：我们是如何学习这些知识的？（从实际问题出发，类比分数，抽象概括）

3.思想：体会到了哪些数学思想？（类比思想、分类讨论思想、模型思想）

（六）布置作业，拓展延伸

1.必做题：教材对应练习，完成关于概念和条件判断的基础习题。

2.选做题：(1)请你为同桌设计一道有关分式值为零的题目，要求答案唯一。(2)查阅资料，了解分式在物理学（如速度、密度公式变形）、化学（浓度计算）中的具体应用实例。

第二课时：分式的基本性质探究与应用

（一）温故知新，搭建桥梁（时长：约5分钟）

1.复习回顾：

1.2.分式的定义是什么？关键点是什么？

2.3.分式2

x

x

−

1

\frac{2x}{x-1}

x−12x​有意义的条件是什么？值为零的条件是什么？

3.4.核心追问：我们知道，分数2

3

\frac{2}{3}

32​是否等于4

6

\frac{4}{6}

64​？是否等于6

9

\frac{6}{9}

96​？依据是什么？

5.明确目标：

1.6.分数有基本性质，那么与分数形式相似的分式，是否也具有类似的性质？这个性质是什么？它有什么用途？这就是本节课要探究的核心问题。

（二）类比猜想，实验探究（时长：约15分钟）

1.猜想提出：

1.2.引导学生回忆分数的基本性质：一个分数的分子、分母同时乘（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变。

2.3.猜想：分式是否具有类似的性质？即A

B

\frac{A}{B}

BA​是否等于A

⋅

C

B

⋅

C

\frac{A\cdotC}{B\cdotC}

B⋅CA⋅C​？是否等于A

÷

C

B

÷

C

\frac{A\divC}{B\divC}

B÷CA÷C​？（其中C是整式，且…）

3.4.学生提出关键限制：C必须是不等于零的整式。

5.实验验证：

1.6.活动一：数值验证。

1.2.7.以分式x

y

\frac{x}{y}

yx​为例，取一组x

,

y

x,y

x,y的值，如x

=

2

,

y

=

3

x=2,y=3

x=2,y=3，则x

y

=

2

3

\frac{x}{y}=\frac{2}{3}

yx​=32​。

2.3.8.分子分母同乘以2，得新分式2

x

2

y

\frac{2x}{2y}

2y2x​，当x

=

2

,

y

=

3

x=2,y=3

x=2,y=3时，其值为4

6

=

2

3

\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

64​=32​。值相等。

3.4.9.分子分母同乘以m

m

m(m

≠

0

m\neq0

m=0)，得x

m

y

m

\frac{xm}{ym}

ymxm​，值仍为2

m

3

m

=

2

3

\frac{2m}{3m}=\frac{2}{3}

3m2m​=32​(前提m

≠

0

m\neq0

m=0)。

4.5.10.尝试除以一个非零整式，如x

x

x(x

≠

0

x\neq0

x=0)，得x

÷

x

y

÷

x

=

1

y

/

x

\frac{x\divx}{y\divx}=\frac{1}{y/x}

y÷xx÷x​=y/x1​，此时当x

=

2

,

y

=

3

x=2,y=3

x=2,y=3时，值为1

3

/

2

=

2

3

\frac{1}{3/2}=\frac{2}{3}

3/21​=32​。形式虽复杂，但值未变。

6.11.活动二：几何直观验证（利用数形结合）。

1.7.12.课件动态演示：将表示分式a

b

\frac{a}{b}

ba​的矩形（面积为a，宽为b，则长为a/b），将其长和宽同时扩大c倍，新的矩形面积变为ac，宽为bc，则长变为(

a

c

)

/

(

b

c

)

(ac)/(bc)

(ac)/(bc)，直观上看，长（即分式的值）并未改变。

8.13.活动三：代数推理。

1.9.14.引导学生从除法运算的角度理解：A

⋅

C

B

⋅

C

=

(

A

⋅

C

)

÷

(

B

⋅

C

)

=

A

÷

B

=

A

B

\frac{A\cdotC}{B\cdotC}=(A\cdotC)\div(B\cdotC)=A\divB=\frac{A}{B}

B⋅CA⋅C​=(A⋅C)÷(B⋅C)=A÷B=BA​。这里的关键是C

≠

0

C\neq0

C=0，保证除法可以正常进行。

15.归纳定理：

1.16.学生小组合作，尝试用数学语言严谨表述分式的基本性质。

2.17.教师板书完善：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为：

A

B

=

A

⋅

C

B

⋅

C

,

A

B

=

A

÷

C

B

÷

C

(

C

≠

0

)

\frac{A}{B}=\frac{A\cdotC}{B\cdotC},\quad\frac{A}{B}=\frac{A\divC}{B\divC}\quad(C\neq0)

BA​=B⋅CA⋅C​,BA​=B÷CA÷C​(C=0)

3.18.强调：“都”、“同一个”、“不等于零的整式”是性质成立的关键词。与分数性质相比，将“数”拓展为“整式”，这是质的飞跃。

（三）性质初用，理解本质（时长：约12分钟）

1.辨析明理：

1.2.判断正误，并说明理由：

(1)x

y

=

x

2

y

2

\frac{x}{y}=\frac{x^2}{y^2}

yx​=y2x2​（错误，分子分母不是乘以同一个整式）

(2)a

+

b

a

−

b

=

(

a

+

b

)

2

(

a

−

b

)

2

\frac{a+b}{a-b}=\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}

a−ba+b​=(a−b)2(a+b)2​（正确，符合性质，C=(a+b)且隐含a+b≠0？此处需讨论：性质要求C≠0，若a+b=0，则变形前后分式均为-1，但性质表述中要求C≠0。引出对“C是不等于零的整式”的深入思考：性质成立本身要求C≠0，但当C=0时，右边的式子无意义，所以这种变形在C可能为0时需谨慎，通常我们只在C明确不为零时使用该性质进行恒等变形。）

(3)−

x

y

=

x

−

y

\frac{-x}{y}=\frac{x}{-y}

y−x​=−yx​（正确，分子分母同乘以-1）

(4)x

−

1

x

2

−

1

=

1

x

+

1

\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}

x2−1x−1​=x+11​（正确吗？从左到右，分子分母同除以整式(x-1)，但需满足x-1≠0。当x≠1时，这个等式成立；当x=1时，左边无意义，右边为1/2，等式不成立。因此，这是一个在分子分母有公因式时，在公因式不为零的条件下，利用基本性质进行“约分”的例子。）

3.符号法则探究：

1.4.观察下列等式：−

2

3

=

2

−

3

=

−

2

3

\frac{-2}{3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}

3−2​=−32​=−32​。分式的符号变化有何规律？

2.5.学生探究：

1.3.6.分子、分母、分式本身三者中，任意改变其中两个的符号，分式的值不变。

2.4.7.即：−

A

B

=

A

−

B

=

−

A

B

\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}=-\frac{A}{B}

B−A​=−BA​=−BA​；−

A

−

B

=

A

B

-\frac{A}{-B}=\frac{A}{B}

−−BA​=BA​。

5.8.这是分式基本性质的特殊应用（同乘以-1）。

（四）核心应用：约分与通分（时长：约25分钟）

1.约分概念与法则：

1.2.类比分数约分：把分数8

12

\frac{8}{12}

128​化成最简分数2

3

\frac{2}{3}

32​的过程。

2.3.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

3.4.经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式（1除外），这样的分式称为最简分式。

4.5.关键点：约分的依据是分式的基本性质；约分的目标是化为最简分式；约分的实质是分子分母同时除以它们的公因式。

6.约分方法探究：

1.7.例3约分：(1)6

a

2

b

−

8

a

b

2

\frac{6a^2b}{-8ab^2}

−8ab26a2b​(2)x

2

−

9

x

2

+

6

x

+

9

\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}

x2+6x+9x2−9​

2.8.师生共同分析：

(1)系数：找最大公约数；字母：找相同字母的最低次幂。公因式为2

a

b

2ab

2ab。

解：6

a

2

b

−

8

a

b

2

=

2

a

b

⋅

3

a

2

a

b

⋅

(

−

4

b

)

=

3

a

−

4

b

=

−

3

a

4

b

\frac{6a^2b}{-8ab^2}=\frac{2ab\cdot3a}{2ab\cdot(-4b)}=\frac{3a}{-4b}=-\frac{3a}{4b}

−8ab26a2b​=2ab⋅(−4b)2ab⋅3a​=−4b3a​=−4b3a​

(2)分子分母是多项式，先分解因式。

解：x

2

−

9

x

2

+

6

x

+

9

=

(

x

−

3

)

(

x

+

3

)

(

x

+

3

)

2

\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}

x2+6x+9x2−9​=(x+3)2(x−3)(x+3)​。观察公因式为(

x

+

3

)

(x+3)

(x+3)。

强调：必须讨论x

+

3

≠

0

x+3\neq0

x+3=0，即x

≠

−

3

x\neq-3

x=−3。在此条件下，约去(

x

+

3

)

(x+3)

(x+3)，得x

−

3

x

+

3

\frac{x-3}{x+3}

x+3x−3​。

3.9.归纳步骤：

1.4.10.若分子、分母是单项式：直接约去系数的最大公约数和相同字母的最低次幂。

2.5.11.若分子、分母是多项式：先分解因式，再约去分子分母的公因式。

3.6.12.结果必须是最简分式。

13.通分概念与法则：

1.14.类比分数通分：将1

2

\frac{1}{2}

21​和1

3

\frac{1}{3}

31​化为分母为6的分数。

2.15.定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。这个相同的分母叫做最简公分母。

3.16.关键点：通分的依据也是分式的基本性质；通分的关键是确定最简公分母。

17.最简公分母的确定方法：

1.18.探究活动：如何为分式1

2

x

2

y

\frac{1}{2x^2y}

2x2y1​和1

3

x

y

2

\frac{1}{3xy^2}

3xy21​确定最简公分母？

2.19.学生类比分数（取分母最小公倍数）：系数取各分母系数的最小公倍数；字母取各分母中所有字母；相同字母取最高次幂。

3.20.归纳：最简公分母由三部分乘积构成：

1.4.21.系数：各分母系数的最小公倍数。

2.5.22.字母：各分母中所有出现的字母（或整式因式）。

3.6.23.指数：各字母（或整式因式）在各分母中的最高次幂。

24.通分方法实践：

1.25.例4通分：(1)2

3

a

2

\frac{2}{3a^2}

3a22​与1

−

6

a

b

\frac{1}{-6ab}

−6ab1​(2)x

x

−

3

\frac{x}{x-3}

x−3x​与2

x

+

3

\frac{2}{x+3}

x+32​

2.26.分析：

(1)分母为3

a

2

3a^2

3a2和−

6

a

b

-6ab

−6ab。系数最小公倍数6；字母a、b；a的最高次幂是2，b的最高次幂是1。故最简公分母为6

a

2

b

6a^2b

6a2b。

2

3

a

2

=

2

⋅

2

b

3

a

2

⋅

2

b

=

4

b

6

a

2

b

\frac{2}{3a^2}=\frac{2\cdot2b}{3a^2\cdot2b}=\frac{4b}{6a^2b}

3a22​=3a2⋅2b2⋅2b​=6a2b4b​；1

−

6

a

b

=

1

⋅

(

−

a

)

−

6

a

b

⋅

(

−

a

)

=

−

a

6

a

2

b

\frac{1}{-6ab}=\frac{1\cdot(-a)}{-6ab\cdot(-a)}=-\frac{a}{6a^2b}

−6ab1​=−6ab⋅(−a)1⋅(−a)​=−6a2ba​（或直接处理负号）。

(2)分母为x

−

3

x-3

x−3和x

+

3

x+3

x+3，均为多项式且已是最简形式。最简公分母为(

x

−

3

)

(

x

+

3

)

(x-3)(x+3)

(x−3)(x+3)。

x

x

−

3

=

x

(

x

+

3

)

(

x

−

3

)

(

x

+

3

)

=

x

2

+

3

x

x

2

−

9

\frac{x}{x-3}=\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x^2+3x}{x^2-9}

x−3x​=(x−3)(x+3)x(x+3)​=x2−9x2+3x​；2

x

+

3

=

2

(

x

−

3

)

(

x

+

3

)

(

x

−

3

)

=

2

x

−

6

x

2

−

9

\frac{2}{x+3}=\frac{2(x-3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2x-6}{x^2-9}

x+32​=(x+3)(x−3)2(x−3)​=x2−92x−6​。

3.27.归纳步骤：

1.4.28.确定最简公分母。

2.5.29.利用分式的基本性质，将每个分式的分子分母同时乘以一个适当的整式，使其分母化为最简公分母。

（五）综合练习，深化理解（时长：约10分钟）

1.约分：(1)−

15

a

2

b

3

c

25

a

3

b

c

2

\frac{-15a^2b^3c}{25a^3bc^2}

25a3bc2−15a2b3c​(2)m

2

−

4

m

+

4

m

2

−

4

\frac{m^2-4m+4}{m^2-4}

m2−4m2−4m+4​

2.通分：(1)y

2

x

\frac{y}{2x}

2xy​与x

3

y

2

\frac{x}{3y^2}

3y2x​(2)1

x

2

−

4

\frac{1}{x^2-4}

x2−41​与x

4

−

2

x

\frac{x}{4-2x}

4−2xx​（注意第二个分母变形：4

−

2

x

=

−

2

(

x

−

2

)

4-2x=-2(x-2)

4−2x=−2(x−2)，处理符号，最简公分母为2

(

x

+

2

)

(

x

−

2

)

2(x+2)(x-2)

2(x+2)(x−2)）

3.（拓展）已知x

2

=

y

3

=

z

4

≠

0

\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\neq0

2x​=3y​=4z​=0，求分式x

+

y

−

z

x

−

y

+

z

\frac{x+y-z}{x-y+z}

x−y+zx+y−z​的值。（设参数k，渗透方程思想）

（六）课堂总结，体系建构（时长：约3分钟）

引导学生绘制本课时的思维导图或知识树，核心包括：

1.分式的基本性质（文字、符号表述）。

2.性质的应用：

1.3.符号法则。

2.4.约分（概念、步骤、最简分式）。

3.5.通分（概念、步骤、最简公分母）。

6.贯穿的思想方法：类比、从一般到特殊、整体思想。

（七）分层作业，巩固拓展

1.必做题：教材练习，完成约分与通分的基础题。

2.选做题：

1.3.探究：分式x

2

−

1

x

−

1

\frac{x^2-1}{x-1}

x−1x2−1​与x

+

1

x+1

x+1是同一个代数式吗？为什么？（深化对分式变形与取值范围的讨论）

2.4.实践：利用分式的基本性质，尝试解释物理中电阻并联公式1

R

=

1

R

1

+

1

R

2

\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}

R1​=R1​1​+R2​1​是如何推导出R

=

R

1

R

2

R

1

+

R

2

R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}

R=R1​+R2​R1​R2​​的。

三、板书设计（两课时整合框架）

左侧主板：核心概念与性质

1.一、分式的概念

1.2.定义：形如A

B

\frac{A}{B}

BA​，A、B为整式，B中含字母。

2.3.注意：分母为整式且含字母。

4.二、分式的条件

1.5.有意义：B

≠

0

B\neq0

B=0

2.6.无意义：B

=

0

B=0

B=0

3.7.值为零：A

=

0

A=0

A=0且B

≠

0

B\neq0

B=0

8.三、分式的基本性质

1.9.文字：分子分母同乘（除）以同一非零整式，值不变。

2.10.符号：A

B

=

A

⋅

C

B

⋅

C

=

A

÷

C

B

÷

C

(

C

≠

0

)

\frac{A}{B}=\frac{A\cdotC}{B\cdotC}=\frac{A\divC}{B\divC}\quad(C\neq0)

BA​=B⋅CA⋅C​=B÷CA÷C​(C=0)

3.11.符号法则：−

A

B

=

A

−

B

=

−

A

B

\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}=-\frac{A}{