初中数学九年级下册：用列表法求概率教案 394211

初中数学九年级下册：用列表法求概率教案

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》视角审视，本节课隶属于“统计与概率”领域中的“随机事件发生的可能性”。其核心在于引导学生从定性描述可能性，过渡到用定量方法——概率，来刻画随机事件发生的可能性大小。列表法作为求解古典概型概率的一种基础且重要的枚举工具，其教学价值远不止于掌握一项计算技能。在知识技能图谱上，它上承“概率的古典定义”（等可能性与有限性），下启更为复杂的“用树状图法求概率”，是学生系统掌握枚举策略、构建概率求解模型知识链的关键一环，认知要求为“理解”并“综合应用”。从过程方法路径看，列表法的探究与应用过程，本质上是“数学建模”思想的初步体现：学生需要将现实情境抽象为数学模型（列出所有等可能结果），进行数学运算（计算概率），再回归解释现实问题。这为发展学生的模型观念与应用意识提供了绝佳载体。在素养价值渗透层面，列表过程要求“不重不漏”的严谨列举，是对“数据观念”中有序思考、严谨推理素养的锤炼；同时，概率问题本身蕴含的随机思想，有助于学生形成理性看待不确定世界的科学态度。

基于“以学定教”原则进行学情研判。学生的已有基础与障碍在于：他们已经理解概率的古典定义，能够判断简单事件的等可能性，并有用直接枚举（如一一列举）法求概率的体验。然而，当试验涉及两个或更多因素，且可能出现的结果较多时，学生普遍会遇到思维障碍：列举时易出现重复或遗漏，难以确保“等可能性”这一前提，更缺乏系统化、结构化的枚举策略。在过程评估设计上，将通过导入环节的尝试任务、新授中的探究活动与即时提问、巩固练习的完成情况，动态监测学生对“有序思考”必要性的认同度以及对列表规则的掌握程度。相应的教学调适策略是：对于基础较弱的学生，提供半结构化的表格模板作为“脚手架”，降低起步难度；对于思维活跃的学生，则引导其探究列表法的本质（二维结构的优越性）及其局限性（如因素过多时不方便），并鼓励其尝试初步的算法优化（如对称性思考）。

二、教学目标

知识目标：学生能够准确理解列表法适用于解决涉及两个因素且每个因素有有限个等可能结果的概率问题；能清晰表述列表法的操作步骤，特别是“有序”列表的核心原则；能够独立、规范地运用列表法列出所有等可能结果，并据此计算简单事件与稍复杂事件的概率。

能力目标：学生能够从复杂的实际问题中，准确识别出“两个关键因素”，并将其抽象为列表的两个维度；在列表过程中，表现出系统化、条理化的枚举能力，确保结果的完整性与等可能性；发展从具体列表操作中提炼一般方法（建模）并进行迁移应用的能力。

情感态度与价值观目标：通过从尝试解决复杂问题（无序、易错）到掌握高效工具（有序、清晰）的体验，学生能感受到数学方法的力量与简洁之美，增强学好数学的信心；在小组合作列举与互评中，养成严谨、细致、有条理的思维习惯和理性精神。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思想与有序思维。引导学生经历“情境识别→因素抽象→模型构建（列表）→求解应用→验证反思”的完整建模过程。通过对比不同列举方式的优劣，深刻体会有序思考对于解决复杂问题、避免混乱的逻辑优越性。

评价与元认知目标：学生能够依据“是否明确两个因素”、“列表是否有序”、“结果是否等可能且不重不漏”等量规，对自己或同伴的列表过程与结果进行评价与修正。能反思在何种情境下选择列表法最为有效，并初步思考其应用边界，形成初步的策略选择意识。

三、教学重点与难点

教学重点为“规范运用列表法列出所有等可能结果，并计算概率”。确立依据在于：从课标要求看，列表法是求解古典概型概率的核心方法之一，是理解概率模型思想的重要抓手。从学业评价导向分析，无论是学业水平考试还是中考，涉及两步试验的概率问题均是高频考点，而规范列表是准确求解这类问题的基石和关键能力，直接决定了答题的规范性与正确率。

教学难点在于“如何引导学生自觉、有序地列出所有等可能结果，并深刻理解‘有序’是确保‘不重不漏’和‘等可能’的关键”。预设依据源于学情分析：学生正处于从具象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，面对多因素问题，其思维往往呈发散状，缺乏系统组织策略，易陷入混乱。常见错误分析也显示，学生在作业和考试中此类题目的失分，绝大部分源于列举时的重复或遗漏。突破方向在于，创设认知冲突情境，让学生亲历“无序列举”的麻烦与易错，从而内生对“有序工具”的需求，再通过教师示范与结构化练习，将“有序”内化为思维习惯。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含问题情境动画、动态生成列表的演示、分层练习题）；实物投影仪。

1.2学习材料：设计并印制分层学习任务单（含探究活动指引、分层巩固练习）；课堂小结思维导图模板。

2.学生准备

2.1知识预备：复习概率的古典定义及简单事件的概率求法。

2.2学具：铅笔、直尺、练习本。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设与冲突激发：“同学们，上节课我们学会了求抛一枚硬币这样的简单事件的概率。今天，我们来点更有挑战性的——心理博弈！”呈现情境：小明和小红玩“石头、剪刀、布”游戏。约定只玩一次。问：小红赢的概率是多少？（稍停）“先别急，给大家1分钟，用你学过的方法，在练习本上试试看。”

2.暴露问题与提出核心驱动问题：巡视后，选取两种典型做法投影：一种是结果列举混乱、有遗漏的；另一种是尝试列出但自己也不确定是否齐全的。“看来，直接想或者乱糟糟地写，很容易出错啊。当一次游戏涉及两个‘出拳’动作，情况变复杂了，我们急需一个既清晰又不会漏掉任何可能性的‘法宝’。这节课，我们就来共同探寻和掌握这个法宝——列表法。”

3.明晰学习路径：“我们将分三步走：第一步，亲自动手，设计出能清晰呈现所有对决情况的表格；第二步，总结列表法的‘武功秘籍’，也就是它的规范步骤和核心要领；第三步，成为‘列表高手’，用它去解决更多生活中的概率谜题。”

第二、新授环节

本环节采用支架式探究，通过环环相扣的任务，引导学生自主建构列表法模型。

任务一：初探列表，体验“无序”之困与“有序”之需

教师活动：承接导入问题，组织小组合作。“请大家以小组为单位，共同设计一个表格，要求能把小明和小红所有可能的出拳情况，一种不落地、清清楚楚地摆出来。比一比，哪个小组的设计最一目了然。”巡视指导，关注各组是随机填写还是有序排列。五分钟后，邀请两个设计思路迥异的小组上台展示：一组可能是随机填写的矩阵；另一组可能是先行（如小明的动作）固定，再逐列（或逐行）填写小红动作的有序列表。

学生活动：小组内积极讨论，尝试在纸上绘制表格。可能经历从随意填写到讨论如何排列更清晰的思维过程。上台展示的小组需向全班解释其表格的设计思路。

即时评价标准：1.表格是否包含“小明”和“小红”两个明确的维度？2.表格内填写的内容是否完整（共9种情况）？3.小组能否解释其排列顺序的思考（无论有序或无序）？

形成知识、思维、方法清单：★列表法的适用情境：当一次试验涉及两个因素（如小明出拳、小红出拳），并且每个因素有若干种等可能结果时，可以考虑用列表法。▲认知起点：学生已有的直接枚举经验在复杂情境下面临挑战，产生对结构化工具的内在需求。★初步体验：表格提供了一种二维结构，能同时呈现两个因素的所有搭配。

任务二：建构列表，掌握“有序”之规

教师活动：引导学生对比两个小组的表格。“大家觉得，哪种表格更容易检查有没有漏掉情况？为什么？”引导学生发现“有序”列表（如先固定小明出“石头”，看小红所有出法；再固定小明出“剪刀”…）的优越性。“这就是列表法的核心秘诀——有序思考！”教师进行规范示范：1.确定横行、纵列分别代表哪个因素。2.在第一行和第一列分别列出该因素的所有等可能结果。3.从左上角开始，有序地将行、列的结果进行配对，填入表格内部。“好，现在请大家用这种规范的方法，在任务单上重新整理出‘石头剪刀布’游戏的所有等可能结果。”

学生活动：观察、对比、思考，得出“有序排列更容易查漏”的结论。跟随教师示范，理解列表步骤。动手在任务单上规范地列出所有9种等可能结果。

即时评价标准：1.能否说出“有序”是列表清晰的关键？2.列表示范能否遵循“确定因素→分行列→有序配对”的步骤？3.最终列出的表格是否工整、有序、完整？

形成知识、思维、方法清单：★列表法的规范步骤：①定因素（明确行、列各代表什么）；②列结果（在第一行、第一列分别列出所有等可能结果）；③有序填（系统生成所有配对）。★核心思维：有序枚举。这是数学中化繁为简、保证严谨性的基本思想。▲教学提示：此处的教师规范示范至关重要，是学生从“感觉”到“规范”的桥梁。

任务三：应用列表，求解概率

教师活动：“表格列好了，它就成了我们的‘概率地图’。现在来解决最初的问题：小红赢的概率。请问，在表格中，哪些情况代表‘小红赢’？”引导学生从表格中圈出符合条件的格子（如：小明石头-小红布；小明剪刀-小红石头；小明布-小红剪刀）。“大家数一数，一共有几种？所有等可能结果总数又是多少？概率怎么算？”“对，P(小红赢)=3/9=1/3。看，有了清晰的列表，找目标事件就像在地图上找目标地点一样方便！”

学生活动：根据游戏规则，在自己列出的表格中识别并标记出“小红赢”的所有结果。数出有利结果数（3）和所有等可能结果总数（9），计算概率。

即时评价标准：1.能否准确依据规则从表格中筛选出目标事件？2.概率计算过程是否规范（公式应用）？

形成知识、思维、方法清单：★概率计算：在列出所有等可能结果（n）后，事件A发生的概率P(A)=事件A包含的结果数（m）/n。★列表的效用：列表不仅用于生成所有结果，更为事件识别与计数提供了直观、不易出错的平台。

任务四：变式深化，辨析“等可能”

教师活动：提出升级版问题（变式）：“如果游戏规则改成：小明‘出石头’的可能性是‘出剪刀或布’的两倍，其他不变。还能用刚才的列表法直接求小红赢的概率吗？”给予学生短暂思考。“好像有点不对劲？说说你的感觉。”引导学生发现：此时，表格中的9种结果不再具有等可能性，因为小明出拳的各种结果本身概率不均等。古典概型的前提被破坏。“所以，列表法有个非常重要的‘使用须知’：它要求我们列出的每一个基本结果，必须是等可能的！这是列表法的生命线。”

学生活动：思考并讨论变式问题。意识到由于小明出各种拳的概率不同，导致列表中各行（或各列）的“权重”不同，表格内部配对出的9种结果不再等可能。从而理解“等可能性”是列表法有效的前提。

即时评价标准：1.能否指出变式情境下“等可能性”被破坏？2.能否口头表述列表法适用前提的关键词？

形成知识、思维、方法清单：★列表法的前提：必须确保所列表格中的每一个基本结果（每个格子）是等可能发生的。这是古典概型的要求。▲易错点警示：面对实际问题，首先要判断是否满足“有限个”、“等可能”这两个条件，再决定是否采用列表法（或树状图法）。★思维深化：从“如何列表”到“何时列表”，是对方法本质的更深理解。

任务五：抽象建模，内化方法

教师活动：引导学生回顾整个探究过程，进行方法层面的提炼。“经历了这几个问题，谁能总结一下，我们是怎么用列表法解决一个概率问题的？分几步走？每一步要注意什么？”鼓励学生用自己的语言概括。教师最后用精炼的语言总结流程：“一审（审题，判断是否为两步等可能试验）；二建（建立表格，有序列出所有等可能结果）；三标（在表格中标记出关注的事件）；四算（根据概率公式计算）。这就是我们今天掌握的‘列表法四部曲’。”

学生活动：跟随教师引导，回顾、反思、提炼，尝试概括列表法解题的一般步骤和注意事项。参与形成“四部曲”共识。

即时评价标准：1.概括是否涵盖“判断、列表、找事件、计算”等关键环节？2.是否强调“有序”和“等可能”？

形成知识、思维、方法清单：★列表法解题一般流程：审题→建模（列表）→识别事件→计算概率。▲方法整合：将具体操作上升为一般化的解题策略，促进迁移应用。★元认知提示：引导学生建立解决概率问题的策略库，列表法是其中针对特定情境（两因素、等可能）的有效工具之一。

第三、当堂巩固训练

设计分层训练体系，提供即时反馈。

基础层（面向全体）：“一个不透明的袋子中装有红、白两色小球，除颜色外无差别。随机摸出一个记下颜色后放回，再随机摸出一个。用列表法求两次都摸到红球的概率。”（反馈：投影展示正确列表，重点强调“放回”保证了每次摸球的等可能性，是列表适用的关键。）

综合层（面向大多数）：“同时抛掷两枚质地均匀的硬币。用列表法求一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率。”（反馈：请学生板演。讨论：列表时，行和列分别代表什么？（第一枚、第二枚）结果应表示为（正，正）等形式。典型错误辨析：是否有人将“一正一反”当成一种结果？强调基本结果是有序数对。）

挑战层（供学有余力者选做）：“小颖有两件上衣（红、蓝）和三条裙子（黑、白、花），它们除颜色外完全相同。她随机拿出一件上衣和一条裙子穿上。用列表法求她恰好穿上红色上衣和白色裙子的概率。如果她先随机选裙子，再随机选上衣，概率有变化吗？为什么？”（反馈：鼓励学生讲解，重点在于理解无论顺序如何，列表法都能处理，且概率不变，深化对等可能性的理解。教师点评其思维的全面性。）

第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。

知识整合：“请大家拿出小结模板，用思维导图或关键词的方式，梳理本节课的核心内容。比如，中心词是‘列表法’，延伸出：适用条件、核心思想、规范步骤、注意事项……”邀请几位学生分享他们的知识结构图。

方法提炼：“回顾今天的学习过程，我们从遇到难题开始，一起设计工具（列表）、优化工具（有序）、使用工具、最后还明确了工具的‘说明书’（前提条件）。这种‘遇到问题-创造/优化工具-解决问题’的思路，在数学乃至其他学科的学习中都非常有用。”

作业布置：公布分层作业（详见第六部分）。并预告下节课：“列表法能很好地处理‘两步’问题，如果是‘三步’或更多步呢？我们下节课将探索更强大的工具——树状图法。有兴趣的同学可以提前想想，树状图可能会是什么样子。”

六、作业设计

基础性作业（必做）：1.教材对应章节的基础练习题（3道），巩固列表法的基本操作和概率计算。2.整理课堂笔记，用自己的话复述列表法的步骤和前提条件。

拓展性作业（建议大多数学生完成）：设计一个可以用列表法求解概率的生活中的小情境（如：抽签问题、简单的游戏规则），并完整解答。要求清晰说明两个因素分别是什么。

探究性/创造性作业（选做）：1.（历史与数学）查阅资料，了解古典概型的起源以及历史上数学家们如何开始系统研究概率问题，写一份不超过200字的简介。2.（实践与应用）调查一个简单的抽奖活动规则（如班级联欢会的抽奖），尝试用列表法分析中奖概率，并思考其设计是否合理。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.列表法的定义：一种通过画出两行两列（或多行多列）的表格，系统枚举出一次试验中涉及两个因素时所有等可能结果的方法。它是解决古典概型问题的重要工具。

★2.核心适用条件：①试验涉及两个因素（或可视为两个步骤）；②每个因素有有限个等可能结果；③试验生成的所有基本结果等可能。三者缺一不可。

★3.规范操作步骤：一审（判断适用性）；二建（确定行、列代表的因素，并在首行首列列出其所有可能结果）；三填（有序地将行列结果配对，填满表格内部）；四找（在表格中找出目标事件包含的结果）；五算（用概率公式计算）。

★4.“有序”原则的重要性：有序列举是确保“不重不漏”最有效的思维策略。通常固定一个因素，遍历另一个因素，形成系统化的网格。

★5.所有等可能结果总数（n）：等于第一个因素的可能结果数乘以第二个因素的可能结果数。列表后可通过数格子或直接计算验证。

▲6.结果的表示：表格内部每个格子代表一个基本结果，通常用有序数对（a,b）表示，其中a来自行因素，b来自列因素。

★7.事件概率的计算：P(A)=事件A包含的格子数/总格子数。关键在于准确识别事件A对应的格子。

▲8.易混淆点辨析：“有放回”与“无放回”。有放回时，第二次试验的条件与第一次完全相同，列表适用；无放回时，第二次试验的条件受第一次结果影响，通常不直接适用标准列表法（后续会学树状图或其他方法处理）。

★9.与直接枚举法的对比：列表法是系统化、结构化的枚举，尤其适用于结果较多或需要清晰呈现配对关系时，优势明显。

▲10.常见考点：中考中常以选择题或填空题形式，考查对列表法的理解和简单应用；解答题中常作为概率求解的一部分，与游戏规则、实际情境结合，考查规范书写和计算能力。

★11.典型错误：①忽略“等可能”前提，盲目列表；②列表时顺序混乱，导致遗漏或重复；③计数错误（数格子出错）；④未将事件A对应的所有结果找全。

▲12.思想方法提升：列表法体现了“模型思想”（将实际问题转化为表格模型）和“有序思维”（有条理地解决问题）。它是从或然性中寻找必然规律（概率）的数学工具。

▲13.拓展思考：列表法本质上是二维的。对于更多因素的问题，可以思考其局限性，从而自然引出对“树状图法”（能处理多维、多步）的学习期待。

八、教学反思

假设本节课已实施完毕，基于课堂观察与学生反馈，进行如下反思：

一、教学目标达成度分析

核心知识与技能目标基本达成。通过课堂练习与随堂抽样批阅，约85%的学生能独立、规范地完成基础层和综合层的列表与概率计算。情感态度目标方面，学生在从“乱”到“序”的探究过程中表现出了较高的参与度和成就感，特别是在成功用自己设计的表格解决问题后。学科思维目标中的“有序思维”得到显著强化，但在“模型思想”的抽象提炼上，部分学生仍停留在操作层面，需后续持续渗透。元认知目标初步触及，学生在小结时能提及“要先看是不是两个东西”、“要按顺序列”，但主动进行策略选择与评价的意识尚显薄弱。

二、关键教学环节有效性评估

导入环节的“石头剪刀布”情境十分成功，迅速制造了认知冲突，激发了探究欲。任务一（初探列表）的小组设计活动是亮点，通过对比不同设计方案，学生对“有序”必要性的理解是内生的，而非教师灌输的。任务四（变式辨析）是思维的转折点，有效防止了学生机械套用方法，深化了对古典概型前提的理解。然而，任务五（抽象建模）的时间稍显仓促，部分学生未能完成完整的“四部曲”内化，仅记住了步骤口诀，对其内在逻辑联系理解不深。

三、学生表现差异化剖析

在小组探究中，思维活跃的学生（A层）不仅能快速设计有序表格，还能提出“为什么一定要画成方表格？列成两行可以吗？”等深刻